“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)新探修武青年教師高科峰經(jīng)驗(yàn)的重組——夯實(shí)學(xué)生的自我建構(gòu)之基師：同學(xué)們，今天我們要研究的知識(shí)和“三角形”關(guān)系密切（板書：三角形）。請(qǐng)大家在自己的白紙上任意畫出幾個(gè)三角形，盡可能把它們畫得不太一樣。畫好之后，可以選擇用剪刀把你畫的三角形仔仔細(xì)細(xì)地剪下來(lái)。學(xué)生自主操作，教師請(qǐng)三位學(xué)生在黑板上畫出幾個(gè)不同類型的三角形。師：大家“制造”了這么多的三角形，看上去真是各不相同。請(qǐng)你認(rèn)真地觀察觀察，把這些三角形之間的共同點(diǎn)找一找。看誰(shuí)發(fā)現(xiàn)的最多？學(xué)生以小組為單位，互相觀察各自畫出或剪出的三角形，輕聲交流著自己的發(fā)現(xiàn)。我穿梭于學(xué)生中間了解信息，不暗示，不指導(dǎo)。小組活動(dòng)持續(xù)了大約5分鐘。師：哪位同學(xué)說(shuō)說(shuō)你們通過(guò)觀察找到的這些三角形的共同點(diǎn)？生1：這些三角形都有三條邊、三個(gè)角、三個(gè)頂點(diǎn)。師：說(shuō)得很清楚！數(shù)學(xué)上，我們把三角形內(nèi)的這三個(gè)角，叫做三角形的內(nèi)角(板書：內(nèi)角。教師選擇黑板上的一個(gè)三角形標(biāo)上∠1、∠2、∠3，要求同學(xué)們?cè)谧约寒嫷幕蚣舫龅娜切沃幸矘?biāo)出它的3個(gè)內(nèi)角)。還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？生2：它們都是由三條線段首尾順次連接圍成的。師：這個(gè)“圍”字用得好?。∩?：這些三角形都有穩(wěn)定性。生4：老師，我有一個(gè)新發(fā)現(xiàn)！我發(fā)現(xiàn)一個(gè)三角形中，邊不一樣長(zhǎng)，對(duì)著的角也不一樣大。師：能說(shuō)得具體一點(diǎn)嗎？生4：就是一個(gè)三角形中，最長(zhǎng)的邊對(duì)著的內(nèi)角是最大的，最短的邊對(duì)著的內(nèi)角是最小的，一樣長(zhǎng)的邊對(duì)著的角也一樣大。學(xué)生聽(tīng)得很入神。話音剛落，教室里自發(fā)響起了熱烈的掌聲。師（有些興奮地）：真是了不起的發(fā)現(xiàn)！你能把三角形的內(nèi)角與它對(duì)著的邊聯(lián)系起來(lái)看，了不起！還有其他新發(fā)現(xiàn)嗎？生5：有！我發(fā)現(xiàn)每個(gè)三角形里都有銳角，但是不一定有直角和鈍角。大家有沒(méi)有看到？其他同學(xué)都點(diǎn)頭表示贊同。生6：也就是說(shuō)，在三角形的3個(gè)內(nèi)角中，直角要么沒(méi)有，要么只有一個(gè)。生7：鈍角在三角形中也是這樣，要么沒(méi)有，要么只有一個(gè)。師：我想問(wèn)問(wèn)，在三角形的內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)是怎樣的？生8：都至少有一個(gè)。生9：不對(duì)！應(yīng)該是至少2個(gè)吧！不信你們仔細(xì)看看自己的三角形？其他同學(xué)認(rèn)真看著自己的三角形，有的還特意把銳角一一標(biāo)了出來(lái)。果然，生9說(shuō)得一點(diǎn)都沒(méi)錯(cuò)！師：我必須要表?yè)P(yáng)這位同學(xué)！他找到了三角形內(nèi)一個(gè)容易被大家忽視的重要特點(diǎn)——每個(gè)三角形內(nèi)至少有2個(gè)銳角！我也要表?yè)P(yáng)大家，你們聽(tīng)了他的觀點(diǎn)之后，沒(méi)立刻表示同意，而是先仔細(xì)地和自己的三角形對(duì)照了一番后才表示贊同。問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)——開(kāi)掘?qū)W生的自我建構(gòu)之源師：剛才同學(xué)們獲得了很多自己的發(fā)現(xiàn)。現(xiàn)在你的頭腦中，除了這些發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，有沒(méi)有產(chǎn)生幾個(gè)疑問(wèn)？是到問(wèn)幾個(gè)“為什么”的時(shí)候了！學(xué)生面面相覷，不知該提什么問(wèn)題。師：搞研究，不能滿足于發(fā)現(xiàn)了什么。凡事都有原因。要接著追問(wèn)這些發(fā)現(xiàn)背后的原因！學(xué)生們不再你看我，我看你，轉(zhuǎn)而盯著手邊的各種三角形，頭腦里似乎在孕育著什么。我耐心地等待著，等待著……我感覺(jué)課堂上開(kāi)始散逸出一種靜思默想的美妙氣息。終于，有個(gè)學(xué)生舉手了！接著，更多的學(xué)生舉起手來(lái)！師：經(jīng)過(guò)一番思索之后，誰(shuí)來(lái)率先發(fā)表自己想到的問(wèn)題？生1（有些怯怯地）：為什么直角和鈍角在一個(gè)三角形里只能出現(xiàn)一次？?jī)纱尾恍袉?？師：這是個(gè)很好的問(wèn)題！大家自己試著畫一個(gè)有兩個(gè)直角或兩個(gè)鈍角的“三角形”，看看會(huì)出現(xiàn)什么情況？學(xué)生很快就畫好了（如下圖）。生2：有兩個(gè)直角或兩個(gè)鈍角的“三角形”根本畫不出來(lái)，那張著的兩條邊圍不起來(lái)啊！生3：有兩條邊不能相交，不能相交就形不成三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)了。師：事實(shí)勝于雄辯！有兩個(gè)直角或兩個(gè)鈍角的“三角形”在平面內(nèi)是不存在的。還有其他問(wèn)題嗎？生4（很平靜地）：我想提的問(wèn)題是，為什么在一個(gè)三角形里銳角至少會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)，有時(shí)甚至有三個(gè)呢？生5：當(dāng)三角形內(nèi)出現(xiàn)一個(gè)鈍角時(shí)，為什么另外兩個(gè)銳角變得很小呢？生6：當(dāng)三角形內(nèi)出現(xiàn)的是一個(gè)直角時(shí)，好像另外兩個(gè)銳角比有鈍角時(shí)變得大了點(diǎn)。這是為什么？師：大家有沒(méi)有注意到，在一個(gè)三角形內(nèi)，不是隨便安排三個(gè)角就能行的，它們?nèi)齻€(gè)內(nèi)角的大小是互相聯(lián)系的。一個(gè)內(nèi)角變大了，另外的兩個(gè)內(nèi)角就會(huì)受影響，變小了。一個(gè)內(nèi)角變小了，另外的兩個(gè)內(nèi)角反而會(huì)變大。這樣的變化規(guī)律說(shuō)明了什么？看到學(xué)生沒(méi)有什么思路，我隨手畫出一條線段，并依次點(diǎn)上3個(gè)點(diǎn)，再配以圖示和語(yǔ)言進(jìn)行說(shuō)明：這條線段就這么長(zhǎng)了，如果左邊這部分變長(zhǎng)一點(diǎn)，右邊這部分就會(huì)變短一點(diǎn)。如果左邊這部分變短一點(diǎn)，右邊這部分就會(huì)變長(zhǎng)一點(diǎn)。無(wú)論左右兩邊的長(zhǎng)度怎樣變來(lái)變?nèi)?，這條線段的什么不會(huì)變？生（齊）：總長(zhǎng)度不會(huì)變！師：說(shuō)的不錯(cuò)！回到我們關(guān)注的三角形中，無(wú)論三個(gè)內(nèi)角的大小怎樣變來(lái)變?nèi)?，這些三角形的什么有可能是不會(huì)變的呢？生7（有些興奮，急沖沖地）：老師，我知道了，三角形三個(gè)內(nèi)角的和可能是不變的?。ㄋ选昂汀弊终f(shuō)得格外重?。煟捍蠹艺J(rèn)為有這種可能嗎？生（齊）：有可能！師：什么有可能??？生（齊）：三角形三個(gè)內(nèi)角的和有可能是不變的！生8（插話，舉著自己畫的一個(gè)鈍角三角形）：應(yīng)該是的，你們看，當(dāng)這個(gè)鈍角變得越來(lái)越大，快接近180°時(shí)，那兩個(gè)銳角是不是已經(jīng)小得不行了？這說(shuō)明什么？這說(shuō)明，180°就是三角形三個(gè)內(nèi)角和的最大數(shù)了！師（故作疑惑狀地看著黑板上的三角形，手比劃著）：大家的意思是，三角形三個(gè)內(nèi)角的和有可能是不變的，有可能是180°。是嗎？（將板書補(bǔ)成：內(nèi)角和180°）同學(xué)們點(diǎn)頭表示認(rèn)同。師（由衷地贊嘆）：現(xiàn)在不是一個(gè)角一個(gè)角地看了，而是把三個(gè)內(nèi)角合起來(lái)想問(wèn)題，很大膽、很獨(dú)特的想法??！師（話鋒一轉(zhuǎn)）：不過(guò)，這還只是個(gè)想法，還有待進(jìn)一步證實(shí)。（將板書補(bǔ)成：內(nèi)角和180°?）探究的開(kāi)展——鋪設(shè)學(xué)生的自我建構(gòu)之路1.第一步：用度量的辦法來(lái)證實(shí)。師：說(shuō)到角的度數(shù)，得找誰(shuí)來(lái)幫忙？生（齊）：量角器！師：那好，就用量角器量量你畫出的三角形的內(nèi)角，再算算每個(gè)三角形的內(nèi)角和?？纯从惺裁从腥さ陌l(fā)現(xiàn)等著你！學(xué)生測(cè)量自己手邊的各個(gè)三角形內(nèi)角的度數(shù)，計(jì)算了它們?nèi)齻€(gè)內(nèi)角的和。發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)蕩漾在每個(gè)孩子的臉上！師：說(shuō)說(shuō)你們的發(fā)現(xiàn)吧！生1：老師，三角形三個(gè)內(nèi)角的和都是180°！真的太神了！生2：不對(duì)！我算的三角形內(nèi)角和怎么還有182°、179°這樣的結(jié)果呢？生1：是你量的不準(zhǔn)！不關(guān)三角形的事兒！生2：我量得很認(rèn)真的，難道我的量角器有問(wèn)題？看兩位同學(xué)爭(zhēng)執(zhí)不休，其他同學(xué)也禁不住議論開(kāi)了，各有各的立場(chǎng)，各有各的說(shuō)法，漸漸地，變成了班級(jí)內(nèi)的討論“混戰(zhàn)”。師：同學(xué)們能較真是很好的。這里老師說(shuō)明一下，因?yàn)榱拷瞧鞯木壒剩覀兪遣豢赡軠y(cè)量出每個(gè)內(nèi)角的準(zhǔn)確度數(shù)的，所以大家算出來(lái)的三角形的內(nèi)角和也會(huì)有點(diǎn)偏差。不過(guò)，通過(guò)剛才的測(cè)量和計(jì)算，我們已經(jīng)可以確信一點(diǎn)：三角形的內(nèi)角和確實(shí)有可能是180°！生3：老師，應(yīng)該說(shuō)是很有可能！聽(tīng)他這么一說(shuō)，大家都禁不住笑了起來(lái)！剛才的劍拔弩張，在笑聲中煙消云散。2.第二步：用剪拼的辦法來(lái)證實(shí)。師：?jiǎn)栴}是，既然用量角器測(cè)量證實(shí)不了我們的想法，還有沒(méi)有更好的辦法呢？學(xué)生陷入了沉思。師：回想一下，我們學(xué)過(guò)的哪些角的度數(shù)是固定的？哪些平面圖形的內(nèi)角和也是固定的呢？想好了，說(shuō)不定你會(huì)想出一個(gè)證實(shí)“三角形的內(nèi)角和是180°”的妙招來(lái)！學(xué)生獨(dú)立思考了一會(huì)兒后，開(kāi)始有學(xué)生與自己的同桌或其他小組成員進(jìn)行小聲交流。有的學(xué)生在自己的練習(xí)本上畫來(lái)畫去，嘴里還不停地解釋著什么。我注意到，有的學(xué)生畫出了直角和平角的草圖，還有的學(xué)生畫出了長(zhǎng)方形和正方形的草圖。我預(yù)感，學(xué)生已經(jīng)進(jìn)入了深度思維的狀態(tài)，距離產(chǎn)生新的創(chuàng)意、獲得新的發(fā)現(xiàn)越來(lái)越近了?？粗鴮W(xué)生們忙得如此投入，我十分滿足，感覺(jué)上這樣的數(shù)學(xué)課真是一種享受。然而，我又禁不住為自己頭腦里新躍出的期待所激動(dòng)著，我期待著學(xué)生即將帶來(lái)的驚喜……（此處大約持續(xù)了七八分鐘）師：誰(shuí)想到了新的證實(shí)“三角形的內(nèi)角和是180°”的妙招？生4（利用投影出示下圖）：我想到了學(xué)過(guò)的平角正好是180°，于是想能不能把三角形的三個(gè)內(nèi)角剪下來(lái)，拼到一塊兒，看能不能恰好拼成一個(gè)平角。真想不到，還真行??！直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形我都試過(guò)了，都行！師：大家覺(jué)得她這方法怎么樣？生（齊）：好！師：好在哪里？生5：把三個(gè)內(nèi)角拼在一塊兒，這我可沒(méi)想到，我覺(jué)得這樣做很巧妙！生6：平角是一個(gè)角，三角形的三個(gè)角是分著的，三個(gè)合起來(lái)“頂”一個(gè)，很容易看明白！師：這位同學(xué)把過(guò)去學(xué)到的知識(shí)用上了，還讓三角形的三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行了一次親密“合作”，還把直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形挨個(gè)都試了試，想得巧，想得全，很可信！同學(xué)們，為咱們同學(xué)的智慧鼓掌吧！同學(xué)們興高采烈地鼓掌！3.第三步：用推理的辦法來(lái)證實(shí)。師：剪拼的辦法不錯(cuò)！還有其他的辦法嗎？生7（利用投影出示一張長(zhǎng)方形紙片）：我想到了直角是90°，又想到長(zhǎng)方形的4個(gè)內(nèi)角都是90°，也就是說(shuō)一個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是90°×4＝360°。然后我把兩個(gè)對(duì)著的角的頂點(diǎn)連起來(lái)，就把長(zhǎng)方形分成了兩個(gè)一樣大的直角三角形，每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是360°÷2＝180°。師：你怎么知道這兩個(gè)直角三角形完全一樣呢？靠感覺(jué)？生7：不光靠感覺(jué)。我有辦法證明。（邊說(shuō)邊做）先用剪刀沿著虛線剪開(kāi)，再把兩個(gè)三角形重疊一下，能完全重合，所以它們是完全一樣的。生8（生7的同桌）：我有補(bǔ)充。兩個(gè)直角三角形完全一樣，每個(gè)內(nèi)角都有和它一樣的，所以，一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和和另一個(gè)直角三角形一樣大，正好是長(zhǎng)方形內(nèi)角和360°的一半。師：其他長(zhǎng)方形也能通過(guò)這種辦法分出兩個(gè)完全一樣的直角三角形嗎？生9：沒(méi)問(wèn)題！都一回事兒！師：看上去都能行得通。這樣做證明了什么？生10：證明了三角形的內(nèi)角和都是180°！師：是證明所有三角形的內(nèi)角和都是180°嗎？生11：不是所有的，是直角三角形的內(nèi)角和是180°?。◣煱鍟褐苯侨切蔚膬?nèi)角和是180度。）師：可是在我看來(lái)，銳角三角形和鈍角三角形都不能像這樣正好拼成長(zhǎng)方形啊？它們的內(nèi)角和是180°怎么來(lái)證明？有的學(xué)生面露難色，有的學(xué)生卻高揚(yáng)起了手臂。剛才學(xué)生獨(dú)立探究時(shí)，我知道有個(gè)別學(xué)生已經(jīng)形成了自己的想法。我并不急著讓他們發(fā)表意見(jiàn)。在如此關(guān)鍵的思考節(jié)點(diǎn)上，我希望更多的同學(xué)思考起來(lái)，能自己多想一分就多想一分，能自己更進(jìn)一步就更進(jìn)一步。此刻，他們需要的是機(jī)會(huì)，靜靜思考的機(jī)會(huì)。同學(xué)們自覺(jué)進(jìn)入了思考的狀態(tài)。我示意有想法的同學(xué)先靜下心來(lái)，再想得更周全些。對(duì)那些暫時(shí)沒(méi)有想法的同學(xué)，我指了指“直角三角形的內(nèi)角和都是180度”這句話，提醒他們嘗試用這個(gè)結(jié)論來(lái)說(shuō)明銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和。又是一段愉悅的探究之旅，不算熱鬧，但很實(shí)在。大多數(shù)時(shí)候，我只是在看，只是在等?？吹讲簧偻瑢W(xué)有了自己的想法，我組織大家開(kāi)始新一輪的交流。像我一樣，每位同學(xué)的臉上滿含期待。生12（對(duì)著黑板上的一個(gè)銳角三角形，邊做邊說(shuō)）：我首先給這個(gè)銳角三角形做了一條高，這樣直角三角形就出現(xiàn)了。左邊這個(gè)大一點(diǎn)的直角三角形的內(nèi)角和是180°，右邊這個(gè)小的也是180度，所以整個(gè)大銳角三角形的內(nèi)角和就是180°＋180°＝360°。生13（插話）：不對(duì)！不對(duì)！銳角三角形的內(nèi)角和怎么成了360°了？生12：別急?。∥疫€沒(méi)說(shuō)完呢！但是，里面的兩個(gè)直角不能加上，因?yàn)樗鼈儾皇窃瓉?lái)的銳角三角形里的內(nèi)角，是畫高后畫出來(lái)的。所以，要從360°中再減去兩個(gè)直角的180°。所以，原來(lái)的銳角三角形的內(nèi)角和還是180°！原來(lái)是這樣！有不少同學(xué)露出恍然大悟的表情，有幾個(gè)禁不住又鼓起掌來(lái)。生12：同學(xué)們還有問(wèn)題要問(wèn)我嗎？（這不是個(gè)小老師嗎？看來(lái)我們這里正在推行的生本教育實(shí)驗(yàn)很鍛煉學(xué)生?。。┥?4：是不是所有銳角三角形都能這樣分成兩個(gè)直角三角形呢？生12：是的。只要沿著它的高畫，肯定行！師：其他同學(xué)同意他的說(shuō)法嗎？誰(shuí)還有疑問(wèn)？生（齊）：沒(méi)有！師：好，誰(shuí)能大聲說(shuō)出我們得出的新結(jié)論！生15：銳角三角形的內(nèi)角和都是180°。（師板書：銳角三角形的內(nèi)角和是180度。）師（指著黑板上的一個(gè)鈍角三角形）：光剩鈍角三角形了，怎么辦？生16（指著黑板上的一個(gè)鈍角三角形）：方法和銳角三角形的一樣！還是先給這個(gè)鈍角三角形做上一條高，這樣鈍角三角形也就分成了兩個(gè)直角三角形。（學(xué)生用直角三角板畫出鈍角三角形的一條高，分出了兩個(gè)直角三角形。）生16（接著說(shuō)）：因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形的內(nèi)角和一共是360度，里面的兩個(gè)直角不是原來(lái)鈍角三角形的內(nèi)角，所以鈍角三角形的內(nèi)角和是360度減去180度等于180度。所以，任意一個(gè)鈍角三角形的內(nèi)角和就是180度。師：對(duì)這種方法有不同意見(jiàn)嗎？生（齊）：沒(méi)有！師：那我們得到的新結(jié)論是——生（齊）：鈍角三角形的內(nèi)角和都是180度。（師板書：鈍角三角形的內(nèi)角和是180度。）師：現(xiàn)在我們得到了三個(gè)結(jié)論。數(shù)學(xué)特別講究“簡(jiǎn)潔”，誰(shuí)能把這三個(gè)結(jié)論歸納成一句話？生17：任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180度！生18：三角形的內(nèi)角和是180度?。◣煱鍟喝切蔚膬?nèi)角和是180度。）四、智慧的生成——抵達(dá)學(xué)生的自我建構(gòu)之境師：同學(xué)們，經(jīng)過(guò)大家的共同努力，我們終于研究出了三角形的內(nèi)角和是180度。咱們費(fèi)了這么大的勁，知道“三角形的內(nèi)角和是180度”，學(xué)它到底有什么用呢？生1：可能能幫我們解決一些實(shí)際問(wèn)題吧。師：的確。有時(shí)候三角形的內(nèi)角和在設(shè)計(jì)圖案時(shí)很有用，大家課后可以上網(wǎng)查查這方面的資料。除此之外，知道了三角形的內(nèi)角和后能幫助我們更深入地認(rèn)識(shí)三角形這位圖形朋友。大家看這道題（課件出示）：在一個(gè)三角形中，∠1＝130°，∠3＝30°，求∠2的度數(shù)。師：這是一道什么題目？生2：告訴我們?nèi)切卫飪蓚€(gè)內(nèi)角的度數(shù)，求第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。師：自己能求嗎？生3：能！用三角形的內(nèi)角和180°連續(xù)減去130°和30°，就能求出第三個(gè)內(nèi)角是20°。學(xué)生做幾個(gè)類似的