2025年新高考數(shù)學模擬檢測卷（數(shù)學建模與優(yōu)化策略題專項試題）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.小明同學在參加數(shù)學建模比賽時，需要從五個備選方案中選擇一個最優(yōu)方案。這五個方案分別記作A、B、C、D、E，它們對應的目標函數(shù)分別為f(A)、f(B)、f(C)、f(D)、f(E)。小明同學采用的方法是，先計算每個方案在特定條件下的目標函數(shù)值，然后根據這些值的大小進行排序。這種方法的數(shù)學原理最接近于（）A.遺傳算法中的交叉操作B.模擬退火算法中的溫度下降機制C.粒子群算法中的個體最優(yōu)位置更新D.決策樹中的信息增益計算2.在數(shù)學建模中，有時候需要對一個實際問題進行線性化處理。比如，某工廠生產兩種產品，產品1的利潤為每件10元，產品2的利潤為每件8元。假設生產產品1需要消耗A原料3單位，消耗B原料2單位；生產產品2需要消耗A原料1單位，消耗B原料4單位。如果工廠現(xiàn)有A原料100單位，B原料120單位，那么在不超過現(xiàn)有原料限制的前提下，如何安排兩種產品的生產數(shù)量才能使總利潤最大？這個問題可以用哪種數(shù)學模型來描述？A.整數(shù)規(guī)劃模型B.非線性規(guī)劃模型C.線性規(guī)劃模型D.動態(tài)規(guī)劃模型3.在優(yōu)化策略中，貪心算法通常被用于解決什么類型的問題？A.需要全局最優(yōu)解的問題B.可以分解為多個局部最優(yōu)解的問題C.涉及大量隨機因素的問題D.需要動態(tài)調整參數(shù)的問題4.某數(shù)學建模團隊在研究一個交通流量的優(yōu)化問題時，發(fā)現(xiàn)模型的計算量非常大，導致求解時間過長。為了提高計算效率，團隊嘗試使用并行計算的方法。這種方法的核心思想是什么？A.將大問題分解為多個小問題，分別在不同處理器上并行求解B.通過增加計算精度來提高結果的準確性C.使用更高效的算法來減少計算步驟D.減少數(shù)據的存儲空間，從而提高計算速度5.在數(shù)學建模中，靈敏度分析是一種非常重要的方法。以下哪個選項最準確地描述了靈敏度分析的作用？A.確定模型參數(shù)的取值范圍B.分析模型輸出對參數(shù)變化的敏感程度C.優(yōu)化模型的結構設計D.驗證模型的正確性6.某同學在參加數(shù)學建模比賽時，需要設計一個算法來求解一個復雜的優(yōu)化問題。他選擇了遺傳算法，并在算法中設置了種群規(guī)模為100，交叉概率為0.8，變異概率為0.1。以下哪個參數(shù)的設置最有可能影響算法的收斂速度？A.種群規(guī)模B.交叉概率C.變異概率D.問題本身的復雜度7.在數(shù)學建模中，有時候需要對一個實際問題進行離散化處理。比如，某公司需要決定在哪些城市開設新店。假設公司有五個備選城市，分別記作C1、C2、C3、C4、C5。每個城市開設新店的投資成本和預期收益都不同。如果公司希望在不超過預算的前提下，使得開設新店的總預期收益最大，那么這個問題可以用哪種數(shù)學模型來描述？A.整數(shù)規(guī)劃模型B.非線性規(guī)劃模型C.線性規(guī)劃模型D.動態(tài)規(guī)劃模型8.在優(yōu)化策略中，動態(tài)規(guī)劃通常被用于解決什么類型的問題？A.可以分解為多個子問題的問題B.需要全局最優(yōu)解的問題C.涉及大量隨機因素的問題D.需要動態(tài)調整參數(shù)的問題9.某數(shù)學建模團隊在研究一個資源分配問題時，發(fā)現(xiàn)模型的計算量非常大，導致求解時間過長。為了提高計算效率，團隊嘗試使用啟發(fā)式算法。以下哪個選項最準確地描述了啟發(fā)式算法的特點？A.可以保證得到全局最優(yōu)解B.可以在較短時間內得到近似最優(yōu)解C.需要大量的先驗知識D.只適用于簡單問題10.在數(shù)學建模中，有時候需要對一個實際問題進行概率化處理。比如，某工廠生產的產品，每個產品有10%的概率出現(xiàn)次品。如果工廠生產了1000件產品，那么出現(xiàn)次品的數(shù)量可以用哪種分布來近似描述？A.正態(tài)分布B.泊松分布C.二項分布D.指數(shù)分布二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。把答案填在題中橫線上。）11.在數(shù)學建模中，線性規(guī)劃問題的標準形式通常要求目標函數(shù)和約束條件都是什么？12.貪心算法的核心思想是在每一步選擇中都做出在當前狀態(tài)下最好或最優(yōu)的選擇，這種選擇是依據什么原則？13.遺傳算法中，選擇、交叉和變異三種操作分別對應了自然選擇中的哪些過程？14.在數(shù)學建模中，靈敏度分析通常用于確定模型輸出對哪些因素的敏感程度？15.動態(tài)規(guī)劃的核心思想是將原問題分解為哪些子問題，并通過遞歸關系來求解？（接下來是第三、第四題的詳細內容，按照相同的要求繼續(xù)編寫）三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.小王同學在參加數(shù)學建模比賽時，遇到了一個這樣的問題：他需要安排一批志愿者去完成三項不同的任務，任務A需要3名志愿者，任務B需要4名志愿者，任務C需要5名志愿者?，F(xiàn)有志愿者共有10名，其中5名是男生，5名是女生。由于任務的性質不同，小王需要考慮志愿者的性別搭配，希望每個任務中男女生數(shù)量盡量均衡。假設每個志愿者都可以完成任意任務，小王同學應該如何設計一個數(shù)學模型來解決這個問題？請寫出模型的約束條件和目標函數(shù)。17.某城市公交公司需要決定如何調度公交車。公司有三種類型的公交車，分別記作類型1、類型2和類型3。類型1公交車每輛可以載客50人，運行成本為10元/公里；類型2公交車每輛可以載客80人，運行成本為15元/公里；類型3公交車每輛可以載客100人，運行成本為20元/公里。公司需要安排公交車沿著三條不同的線路運行，線路1全長100公里，每天需要運送的乘客數(shù)為3000人；線路2全長150公里，每天需要運送的乘客數(shù)為5000人；線路3全長200公里，每天需要運送的乘客數(shù)為7000人。公司希望在不超出每天總運行成本5000元的條件下，使得每天運送的乘客數(shù)最多。請寫出這個問題的數(shù)學模型，并說明模型中涉及到的決策變量、目標函數(shù)和約束條件。18.某農場需要決定如何種植三種不同的作物：作物1、作物2和作物3。農場有100畝土地，每種作物的種植面積不能超過50畝。作物1的利潤為每畝1000元，需要消耗水資源10立方米/畝；作物2的利潤為每畝800元，需要消耗水資源15立方米/畝；作物3的利潤為每畝1200元，需要消耗水資源20立方米/畝。農場每天最多可以提供的水資源為1500立方米。農場希望在不超出土地和水資源限制的前提下，使得總利潤最大。請寫出這個問題的數(shù)學模型，并說明模型中涉及到的決策變量、目標函數(shù)和約束條件。19.某公司需要決定如何分配它的廣告預算。公司計劃在三種不同的媒體上投放廣告：媒體1、媒體2和媒體3。媒體1的覆蓋率為100萬，每次投放成本為1000元；媒體2的覆蓋率為200萬，每次投放成本為2000元；媒體3的覆蓋率為300萬，每次投放成本為3000元。公司希望至少覆蓋500萬人口，并且廣告預算不超過10000元。請寫出這個問題的數(shù)學模型，并說明模型中涉及到的決策變量、目標函數(shù)和約束條件。20.某學校需要安排學生的課外活動。學校有四個不同的活動：活動1、活動2、活動3和活動4。每個學生可以選擇參加0到2個活動?；顒?有20名學生報名，活動2有30名學生報名，活動3有40名學生報名，活動4有50名學生報名。學校希望每個活動參加的學生人數(shù)盡量相等。請寫出這個問題的數(shù)學模型，并說明模型中涉及到的決策變量、目標函數(shù)和約束條件。四、論述題（本大題共1小題，共30分。）21.在數(shù)學建模中，線性規(guī)劃是一種非常重要的方法。請結合你自己的理解，談談線性規(guī)劃在解決實際問題中的應用，并舉例說明。同時，請分析線性規(guī)劃在應用過程中可能遇到的問題和挑戰(zhàn)，并提出相應的解決方案。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：小明同學的方法是先計算每個方案的目標函數(shù)值，然后根據這些值的大小進行排序，這種方法的數(shù)學原理最接近于粒子群算法中的個體最優(yōu)位置更新。粒子群算法中，每個粒子根據自身的歷史最優(yōu)位置和整個群體的最優(yōu)位置來更新自己的位置，這個過程類似于根據目標函數(shù)值的大小進行排序和選擇。2.答案：C解析：這個問題可以用線性規(guī)劃模型來描述。線性規(guī)劃模型適用于目標函數(shù)和約束條件都是線性關系的問題。在這個問題中，利潤是生產數(shù)量的線性函數(shù)，原料消耗也是生產數(shù)量的線性函數(shù)，因此可以用線性規(guī)劃模型來描述。3.答案：B解析：貪心算法通常被用于解決可以分解為多個局部最優(yōu)解的問題。貪心算法在每一步選擇中都做出在當前狀態(tài)下最好或最優(yōu)的選擇，這種選擇是局部最優(yōu)的，希望通過局部最優(yōu)的選擇最終得到全局最優(yōu)的解決方案。4.答案：A解析：并行計算的方法的核心思想是將大問題分解為多個小問題，分別在不同處理器上并行求解。這樣可以充分利用多處理器的計算能力，提高計算效率。通過將大問題分解為小問題，每個處理器可以獨立地求解一個小問題，然后將結果合并得到最終結果。5.答案：B解析：靈敏度分析是一種非常重要的方法，用于分析模型輸出對參數(shù)變化的敏感程度。通過靈敏度分析，可以確定哪些參數(shù)對模型的輸出影響最大，從而可以在模型設計和參數(shù)選擇時更加有針對性地進行調整。6.答案：A解析：種群規(guī)模的選擇最有可能影響算法的收斂速度。較大的種群規(guī)?？梢蕴峁└嗟乃阉骺臻g，有助于找到更好的解，但也會增加計算量。較小的種群規(guī)?？梢詼p少計算量，但可能會影響算法的搜索能力。因此，種群規(guī)模的選擇需要根據問題的復雜度和計算資源來綜合考慮。7.答案：A解析：這個問題可以用整數(shù)規(guī)劃模型來描述。整數(shù)規(guī)劃模型適用于需要決策變量取整數(shù)值的問題。在這個問題中，公司需要在哪些城市開設新店，決策變量是0或1，因此可以用整數(shù)規(guī)劃模型來描述。8.答案：A解析：動態(tài)規(guī)劃通常被用于解決可以分解為多個子問題的問題。動態(tài)規(guī)劃的核心思想是將原問題分解為子問題，并通過遞歸關系來求解。通過將原問題分解為多個子問題，可以減少重復計算，提高計算效率。9.答案：B解析：啟發(fā)式算法的特點是可以在較短時間內得到近似最優(yōu)解。啟發(fā)式算法通常不保證得到全局最優(yōu)解，但可以在較短時間內得到一個接近最優(yōu)解的解。啟發(fā)式算法適用于求解復雜度高、計算量大的問題。10.答案：C解析：出現(xiàn)次品的數(shù)量可以用二項分布來近似描述。二項分布適用于描述在n次獨立重復試驗中，每次試驗只有兩種可能結果（成功或失敗）的隨機變量。在這個問題中，每個產品有10%的概率出現(xiàn)次品，可以看作是n次獨立試驗中每次試驗只有兩種可能結果（次品或正品）的隨機變量。二、填空題答案及解析11.答案：線性函數(shù)解析：線性規(guī)劃問題的標準形式通常要求目標函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)。線性規(guī)劃問題的標準形式為：最大化（或最小化）Z=c1x1+c2x2+...+cnxn，subjecttoa11x1+a12x2+...+a1nxn≤b1,a21x1+a22x2+...+a2nxn≤b2,...,am1x1+am2x2+...+amnxn≤bm,x1,x2,...,xn≥0。12.答案：局部最優(yōu)解析：貪心算法的核心思想是在每一步選擇中都做出在當前狀態(tài)下最好或最優(yōu)的選擇，這種選擇是局部最優(yōu)的。貪心算法通過在每一步做出局部最優(yōu)的選擇，希望最終能夠得到全局最優(yōu)的解。13.答案：選擇、交叉、變異分別對應了自然選擇中的選擇、交叉（雜交）、變異解析：遺傳算法中，選擇、交叉和變異三種操作分別對應了自然選擇中的選擇、交叉（雜交）、變異。選擇操作類似于自然選擇中適應者生存的過程，交叉操作類似于自然選擇中基因的交叉（雜交）過程，變異操作類似于自然選擇中基因的突變過程。14.答案：模型參數(shù)解析：在數(shù)學建模中，靈敏度分析通常用于確定模型輸出對模型參數(shù)的敏感程度。通過靈敏度分析，可以確定哪些參數(shù)對模型的輸出影響最大，從而可以在模型設計和參數(shù)選擇時更加有針對性地進行調整。15.答案：子問題解析：動態(tài)規(guī)劃的核心思想是將原問題分解為子問題，并通過遞歸關系來求解。通過將原問題分解為多個子問題，可以減少重復計算，提高計算效率。動態(tài)規(guī)劃通過存儲子問題的解，避免了重復計算，從而提高了算法的效率。三、解答題答案及解析16.答案：模型：設xij表示第i個任務分配給第j個性別的志愿者的人數(shù)，i=1,2,3；j=1,2。決策變量：x11,x12,x21,x22,x31,x32。目標函數(shù)：最小化|∑x11-∑x12|+|∑x21-∑x22|+|∑x31-∑x32|。約束條件：1.每個任務需要的志愿者人數(shù)：∑xij=3(i=1,2,3)。2.每個志愿者只能被分配到一個任務：∑xi1+∑xi2=10(j=1,2)。3.志愿者性別限制：x11+x12≤5,x21+x22≤5,x31+x32≤5。4.變量非負：xij≥0。解析：這個問題可以通過整數(shù)規(guī)劃模型來解決。決策變量xij表示第i個任務分配給第j個性別的志愿者的人數(shù)。目標函數(shù)是最小化三個任務中男女生數(shù)量的差的絕對值之和，希望每個任務中男女生數(shù)量盡量均衡。約束條件包括每個任務需要的志愿者人數(shù)、每個志愿者只能被分配到一個任務、志愿者性別限制以及變量非負。17.答案：模型：設y1,y2,y3分別表示類型1、類型2、類型3公交車的調度數(shù)量。決策變量：y1,y2,y3。目標函數(shù)：最大化∑(50y1+80y2+100y3)。約束條件：1.運行成本限制：10*100y1+15*150y2+20*200y3≤5000。2.線路1乘客需求：50y1+80y2+100y3≥3000。3.線路2乘客需求：50y1+80y2+100y3≥5000。4.線路3乘客需求：50y1+80y2+100y3≥7000。5.變量非負：y1,y2,y3≥0。解析：這個問題可以通過線性規(guī)劃模型來解決。決策變量y1,y2,y3分別表示類型1、類型2、類型3公交車的調度數(shù)量。目標函數(shù)是最大化每天運送的乘客數(shù)。約束條件包括總運行成本限制、三條線路的乘客需求限制以及變量非負。18.答案：模型：設x1,x2,x3分別表示作物1、作物2、作物3的種植面積。決策變量：x1,x2,x3。目標函數(shù)：最大化∑(1000x1+800x2+1200x3)。約束條件：1.土地限制：x1+x2+x3≤100。2.作物1種植面積限制：x1≤50。3.作物2種植面積限制：x2≤50。4.作物3種植面積限制：x3≤50。5.水資源限制：10x1+15x2+20x3≤1500。6.變量非負：x1,x2,x3≥0。解析：這個問題可以通過線性規(guī)劃模型來解決。決策變量x1,x2,x3分別表示作物1、作物2、作物3的種植面積。目標函數(shù)是最大化總利潤。約束條件包括土地限制、每種作物的種植面積限制、水資源限制以及變量非負。19.答案：模型：設x1,x2,x3分別表示在媒體1、媒體2、媒體3上投放廣告的次數(shù)。決策變量：x1,x2,x3。目標函數(shù)：最大化∑(100萬x1+200萬x2+300萬x3)。約束條件：1.廣告預算限制：1000x1+2000x2+3000x3≤10000。2.覆蓋人口限制：100萬x1+200萬x2+300萬x3≥500萬。3.變量非負：x1,x2,x3≥0。解析：這個問題可以通過線性規(guī)劃模型來解決。決策變量x1,x2,x3分別表示在媒體1、媒體2、媒體3上投放廣告的次數(shù)。目標函數(shù)是最大化覆蓋的人口數(shù)。約束條件包括廣告預算限制、覆蓋人口限制以及變量非負。20.答案：模型：設x1,x2,x3,x4分別表示參加活動1、活動2、活動3、活動4的學生人數(shù)。決策變量：x1,x2,x3,x4。目標函數(shù)：最小化|∑x1-∑x2|+|∑x1-∑x3|+|∑x1-∑x4|+