2023-2024學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列函數(shù)中,是的反比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．3．在下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．如圖，點(diǎn)A、B、C都在上，若∠AOB＝72°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．18° B．30° C．36° D．72°5．用一個(gè)半徑為15、圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的底面半徑是()A．5 B．10 C． D．6．如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC＝40°，則∠D的度數(shù)是（）A．140° B．130° C．120° D．110°7．某魚塘里養(yǎng)了100條鯉魚、若干條草魚和50條羅非魚，通過多次捕撈實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，捕撈到草魚的頻率穩(wěn)定在0.5左右，可估計(jì)該魚塘中草魚的數(shù)量為（）A．150 B．100 C．50 D．2008．某十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當(dāng)你抬頭看信號燈時(shí)，是黃燈的概率為（）A． B． C． D．9．現(xiàn)有四張分別標(biāo)有數(shù)字﹣2，﹣1，1，3的卡片，它們除數(shù)字外完全相同，把卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下數(shù)字后放回，洗勻，再隨機(jī)抽取一張卡片，則第一次抽取的卡片上的數(shù)字大于第二次抽取的卡片上的數(shù)字的概率是()A． B． C． D．10．下列說法：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②任何三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓；③相等的圓心角所對的弧相等；④正多邊形一定是中心對稱圖形，其中真命題有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至2020次得到正方形，那點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．12．已知是一張等腰直角三角形板，，要在這張紙板中剪取正方形(剪法如圖1所示)，圖1中剪法稱為第次剪取，記所得的正方形面積為；按照圖1中的剪法，在余下的和中，分別剪取兩個(gè)全等正方形，稱為第次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為，(如圖2)；再在余下的四個(gè)三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個(gè)相同的正方形，稱為第次剪取，并記這四個(gè)正方形的面積和為，(如圖3)；繼續(xù)操作下去···則第次剪取后，___________．13．如圖，已知D是等邊△ABC邊AB上的一點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E、F分別在AC和BC上．如果AD：DB=1：2，則CE：CF的值為____________．14．邊心距為的正六邊形的半徑為_______．15．兩地的實(shí)際距離是，在地圖上眾得這兩地的距離為，則這幅地圖的比例尺是___________．16．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2的圖象如圖所示，則關(guān)于x，y的方程組的解是________．17．等邊三角形ABC繞著它的中心，至少旋轉(zhuǎn)______度才能與它本身重合18．若反比例函數(shù)y＝﹣6x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(m，3)，則m的值是_____三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，直線y1=﹣x+4，y2=x+b都與雙曲線y=交于點(diǎn)A（1，m），這兩條直線分別與x軸交于B，C兩點(diǎn)．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）直接寫出當(dāng)x＞0時(shí)，不等式x+b＞的解集；（3）若點(diǎn)P在x軸上，連接AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．20．（6分）如圖，在矩形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，沿CE將△CDE對折，點(diǎn)D剛好落在AB邊的點(diǎn)F上．（1）求證：△AEF∽△BFC．（2）若AB＝20cm，BC＝16cm，求tan∠DCE．21．（6分）中國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展讓眾多國家感受到了威脅，隨著釣魚島事件、南海危機(jī)、薩德入韓等一系列事件的發(fā)生，國家安全一再受到威脅，所謂“國家興亡，匹夫有責(zé)”，某校積極開展國防知識教育，九年級甲、乙兩班分別選5名同學(xué)參加“國防知識”比賽，其預(yù)賽成績?nèi)鐖D所示：（1）根據(jù)上圖填寫下表：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲班8.58.5乙班8.5101.6（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，分別從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的角度分析哪個(gè)班的成績較好．22．（8分）如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，EF⊥AE，交CD于點(diǎn)F，求證：AB：CE＝BE：CF．23．（8分）將筆記本電腦放置在水平桌面上，顯示屏OB與底板OA夾角為115°（如圖1），側(cè)面示意圖為圖2；使用時(shí)為了散熱，在底板下面墊入散熱架O′AC后，電腦轉(zhuǎn)到AO′B′的位置（如圖3），側(cè)面示意圖為圖4，已知OA=OB=20cm，B′O′⊥OA，垂足為C．（1）求點(diǎn)O′的高度O′C；（精確到0.1cm）（2）顯示屏的頂部B′比原來升高了多少？（精確到0.1cm）（3）如圖4，要使顯示屏O′B′與原來的位置OB平行，顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度？參考數(shù)據(jù)：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.1．cot65°=0.446）24．（8分）如圖，∠A=∠B=50°，P為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AC上（不與點(diǎn)A重合）的任意點(diǎn)，連接MP，并使MP的延長線交射線BD于點(diǎn)N，設(shè)∠BPN=α．（1）求證：△APM≌△BPN；（2）當(dāng)MN=2BN時(shí)，求α的度數(shù)；（3）若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部，直接寫出α的取值范圍．25．（10分）果農(nóng)周大爺家的紅心獼猴桃深受廣大顧客的喜愛，獼猴桃成熟上市后，他記錄了10天的銷售數(shù)量和銷售單價(jià)，其中銷售單價(jià)y（元/千克）與時(shí)間第x天（x為整數(shù)）的數(shù)量關(guān)系如圖所示，日銷量P（千克）與時(shí)間第x天（x為整數(shù)）的部分對應(yīng)值如表所示：（1）請直接寫出p與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在這10天中，哪一天銷售額達(dá)到最大，最大銷售額是多少元．26．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB上，求線段AE的長．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】根據(jù)是的反比例函數(shù)的定義，逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A、是正比例函數(shù),故本選項(xiàng)不符合題意．B、是的反比例函數(shù),故本選項(xiàng)符合題意；C、不是的反比例函數(shù),故本選項(xiàng)不符合題意；D、是正比例函數(shù),故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．本題主要考查反比例函數(shù)的定義，掌握反比例函數(shù)的形式(k≠0的常數(shù))，是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】首先由反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，得出k＜0，則-k＞0，所以一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二四象限且與y軸正半軸相交．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，函數(shù)的圖象應(yīng)經(jīng)過第一、二、四象限.故選D.本題考查的知識點(diǎn)：

（1）反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當(dāng)k＜0時(shí)，它的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限．

（2）一次函數(shù)y=kx+b的圖象當(dāng)k＜0，b＞0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限．3、B【解析】由題意根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：B．本題主要考查軸對稱圖形和中心對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．4、C【詳解】解：∵∠AOB=72°，∴∠ACB=∠AOB=36°，故選C．5、A【分析】根據(jù)弧長公式計(jì)算出弧長，圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，因而圓錐的底面周長是10π，設(shè)圓錐的底面半徑是r，列出方程求解．【詳解】半徑為15cm，圓心角為120°的扇形的弧長是=10π，圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，因而圓錐的底面周長是10π.

設(shè)圓錐的底面半徑是r，

則得到2πr=10π，

解得：r=5，

這個(gè)圓錐的底面半徑為5.故選擇A.本題考查弧長的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握弧長的計(jì)算公式.6、B【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B，求出∠D+∠B=180°，再代入求出即可.【詳解】∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=40°，∴∠B=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=50°，∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=130°，故選：B．此題主要考查圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.7、A【分析】根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)中的頻率估計(jì)出概率，利用概率公式求得草魚的數(shù)量即可．【詳解】∵通過多次捕撈實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，捕撈到草魚的頻率穩(wěn)定在0.5左右，∴捕撈到草魚的概率約為0.5，設(shè)有草魚x條，根據(jù)題意得：＝0.5，解得：x＝150，故選：A．本題考查用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是明確題意，由草魚出現(xiàn)的頻率可以計(jì)算出魚的數(shù)量．8、A【解析】隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，據(jù)此用黃燈亮的時(shí)間除以三種燈亮的總時(shí)間，求出抬頭看信號燈時(shí)，是黃燈的概率為多少．【詳解】根據(jù)題意可知，每分鐘內(nèi)黃燈亮的時(shí)間為秒，每分鐘內(nèi)黃燈亮的概率為，故抬頭看是黃燈的概率為.故選A.本題主要考查求隨機(jī)事件概率的方法，熟悉掌握隨機(jī)事件A的概率公式是關(guān)鍵.9、B【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從找找到符合條件得結(jié)果數(shù)，在根據(jù)概率公式計(jì)算可得．【詳解】畫樹狀圖如下：由樹狀圖知共有16種等可能結(jié)果，其中第一次抽取的卡片上的數(shù)字大于第二次抽取的卡片上的數(shù)字的有6種結(jié)果，所以第一次抽取的卡片上的數(shù)字大于第二次抽取的卡片上的數(shù)字的概率為．故選B．本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．10、A【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、圓心角的性質(zhì)以及中心對稱圖形的知識，依次分析可得出正確的命題，即可得出答案．【詳解】①不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，錯(cuò)誤，假命題；②任何三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，正確，真命題；③在同一個(gè)圓中,圓心角相等所對的弧也相等,錯(cuò)誤，假命題；④正五邊形、正三角形都不是中心對稱圖形，錯(cuò)誤，假命題；故答案為A.本題考查了圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、圓心角的性質(zhì)以及中心對稱圖形的知識，解題時(shí)記牢性質(zhì)和判定方法是關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、（-1，-1）【分析】連接OB，根據(jù)圖形可知，點(diǎn)B在以點(diǎn)O為圓心、、OB為半徑的圓上運(yùn)用，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針依次旋轉(zhuǎn)45°，可得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形及對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)是8次一個(gè)循環(huán)，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵四邊形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1,1），連接OB，由勾股定理可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針依次旋轉(zhuǎn)45°，得：，∴，，，，…，可發(fā)現(xiàn)8次一循環(huán)，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,故答案為．本題考查了幾何圖形的規(guī)律探究，根據(jù)計(jì)算得出“8次一個(gè)循環(huán)”是解題的關(guān)鍵．12、【分析】根據(jù)題意可求得△ABC的面積，且可得出每個(gè)正方形是剩余三角形面積的一半，即為上一次剪得的正方形面積的一半，可得出與△ABC的面積之間的關(guān)系，可求得答案．【詳解】∵AC=BC=2，

∴∠A=∠B=45°，

∵四邊形CEDF為正方形，

∴DE⊥AC，

∴AE=DE=DF=BF，

∴，同理每次剪得的正方形的面積都是所在三角形面積的一半，∴，同理可得，依此類推可得，故答案為：本題主要考查了正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)條件找到與之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．注意規(guī)律的總結(jié)與歸納．13、【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DE=CE,DF=CF,利用兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△AED∽△BDF，進(jìn)而得出對應(yīng)邊成比例得出比例式，將比例式變形即可得.【詳解】解：如圖，連接DE,DF,∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠ACB=60°,由折疊可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,∴∠BDF+60°=∠AED+60°,∴∠BDF=∠AED,∵∠A=∠B,∴△AED∽△BDF,∴,設(shè)AD=x，∵AD：DB=1：2,則BD=2x,∴AC=BC=3x,∵,∴∴∴,∴.故答案為：.本題考查了折疊的性質(zhì)，利用三角形相似對應(yīng)邊成比例及比例的性質(zhì)解決問題，能發(fā)現(xiàn)相似三角形的模型，即“一線三等角”是解答此題的重要突破口.14、8【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求得∠AOH=30°，得到AH=OA，再根據(jù)求出OA即可得到答案.【詳解】如圖，正六邊形ABCDEF，邊心距OH=，∵∠OAB=60°，∠OHA=90°，∴∠AOH=30°，∴AH=OA，∵，∴,解得OA=8，即該正六邊形的半徑為8，故答案為：8.此題考查正六邊形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，勾股定理，正確理解正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15、1:1【分析】圖上距離和實(shí)際距離已知，依據(jù)“比例尺=圖上距離：實(shí)際距離”即可求得地圖的比例尺．【詳解】解：因?yàn)?，所以這幅地圖的比例尺是．故答案為：1:1．本題考查比例尺．比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，在計(jì)算比例尺時(shí)一定要將實(shí)際距離與地圖上的距離的單位化統(tǒng)一．16、．【分析】利用方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)求解．【詳解】∵一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），∴關(guān)于x，y的方程組的解是．故答案為．本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．17、120【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可以知道旋轉(zhuǎn)角度應(yīng)該等于120°．【詳解】解：等邊△ABC繞著它的中心，至少旋轉(zhuǎn)120度能與其本身重合．本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形及等邊三角形的性質(zhì)．18、﹣2【解析】∵反比例函數(shù)y=-6x∴3=-6m，解得三、解答題(共66分)19、（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）【解析】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入雙曲線y=，可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）依據(jù)A（1，3），可得當(dāng)x＞0時(shí)，不等式x+b＞的解集為x＞1；（3）分兩種情況進(jìn)行討論，AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，則CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．詳解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入雙曲線y=，可得k=1×3=3，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=；（2）∵A（1，3），∴當(dāng)x＞0時(shí)，不等式x+b＞的解集為：x＞1；（3）y1=﹣x+4，令y=0，則x=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，∴b=，∴y2=x+，令y2=0，則x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，∵AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，∴CP=BC=，或BP=BC=∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，∴P（﹣，0）或（，0）．點(diǎn)睛：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．20、（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)及一線三等角得出∠A＝∠B，∠AEF＝∠BFC，從而可證得結(jié)論；（2）矩形的性質(zhì)及沿CE將△CDE對折，可求得CD、AD及CF的長；在Rt△BCF中，由勾股定理得出BF的長，從而可得AF的長；由△AEF∽△BFC可寫出比例式，從而可求得AE的長，進(jìn)而得出DE的長；最后由正切函數(shù)的定義可求得答案．【詳解】（1）∵在矩形ABCD中，沿CE將△CDE對折，點(diǎn)D剛好落在AB邊的點(diǎn)F上∴△CDE≌△CFE∴∠EFC＝∠D＝90°∴∠AFE+∠BFC＝90°∵∠A＝90°∴∠AEF+∠AFE＝90°∴∠AEF＝∠BFC又∵∠A＝∠B∴△AEF∽△BFC；（2）∵四邊形ABCD為矩形，AB＝20cm，BC＝16cm∴CD＝20cm，AD＝16cm∵△CDE≌△CFE∴CF＝CD＝20cm在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝12cm∴AF＝AB﹣BF＝8cm∵△AEF∽△BFC∴∴∴AE＝6∴DE＝AD-AE＝16-6＝10cm∴在Rt△DCE中，tan∠DCE＝．本題考查了全等三角形、矩形、相似三角形、直角三角形兩銳角互余、勾股定理、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、矩形、相似三角形、勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．21、（1）；（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)“中位數(shù)”、“眾數(shù)”的定義及“方差”的計(jì)算公式結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算即可；（2）按照題中要求，分別根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義進(jìn)行說明即可.【詳解】解：（1）甲的眾數(shù)為：，方差為：，乙的中位數(shù)是：8；故答案為；（2）從平均數(shù)看，兩班平均數(shù)相同，則甲、乙兩班的成績一樣好；從中位數(shù)看，甲班的中位數(shù)大，所以甲班的成績較好；從眾數(shù)看，乙班的眾數(shù)大，所以乙班的成績較好；從方差看，甲班的方差小，所以甲班的成績更穩(wěn)定．理解“平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義和計(jì)算方法”是正確解答本題的關(guān)鍵.22、詳見解析【分析】證明△AEB∽△EFC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論．【詳解】∵EF⊥AE，∠B=∠C=90°，∴∠AEB+∠FEC=∠FEC+∠EFC=90°，∴∠AEB=∠EFC，∴△AEB∽△EFC，∴，即AB：CE=BE：CF本題考查了正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．23、（1）8.5cm；（2）顯示屏的頂部B′比原來升高了10.3cm；（3）顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)25度．【解析】（1）∵B′O′⊥OA，垂足為C，∠AO′B=115°，∴∠AO′C=65°，∵cos∠CO′A=，∴O′C=O′A?cos∠CO′A=20?cos65°=8.46≈8.5（cm）；（2）如圖2，過B作BD⊥AO交AO的延長線于D．∵∠AOB=115°，∴∠BOD=65°．∵sin∠BOD=，∴BD=OB?sin∠BOD=20×sin65°=18.12，∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），∴顯示屏的頂部B′比原來升高了10.3cm；（3）如圖4，過O′作EF∥OB交AC于E，∴∠FEA=∠BOA=115°，∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°，∴顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)25度．24、（1）證明見解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．【解析】（1）根據(jù)AAS即可證明△APM≌△BPN；（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等邊對等角可得結(jié)論；（3）三角形的外心是外接圓的圓心，三邊垂直平分線的交點(diǎn)，直角三角形的外心在直角頂點(diǎn)上，鈍角三角形的外心在三角形的外部，只有銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，所以根據(jù)題中的要求可知：△BPN是銳角三角形，由三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．【詳解】（1）∵P是AB的中點(diǎn)，∴PA=PB，在△APM和△BPN中，，∴△APM≌△BPN；（2）由（1）得：△APM≌△BPN，∴PM=PN，∴MN=2PN，∵M(jìn)N=2BN，∴BN=PN，∴α=∠B=50°；（3）∵△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部，∴△BPN是銳角三角形，∵∠B=50