合肥市瑤海區(qū)一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≥2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2≤x<3}

C.{x|1<x≤2}

D.{x|x<3}

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關(guān)于哪個點對稱？（）

A.(0,0)

B.(-1,0)

C.(1,0)

D.(-1,1)

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5，d=2，則a?的值是（）

A.9

B.11

C.13

D.15

4.在直角坐標(biāo)系中，點P(x,y)到直線x+y=1的距離為√2/2，則點P的軌跡方程是（）

A.x+y=0

B.x-y=0

C.x2+y2=1

D.x2+y2=2

5.若函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像向右平移π/6個單位，則新函數(shù)的解析式是（）

A.sin(x-π/6)

B.sin(x+π/6)

C.sin(x-π/3)

D.sin(x+π/3)

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊AC=2，則邊BC的長度是（）

A.√2

B.2√2

C.√3

D.2√3

7.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z2的共軛復(fù)數(shù)是（）

A.2

B.-2

C.1-i

D.-1+i

8.已知圓O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為1，則直線l與圓O的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.重合

9.在等比數(shù)列{b?}中，b?=3，q=2，則b?的值是（）

A.12

B.24

C.48

D.96

10.函數(shù)g(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）

A.-8

B.0

C.8

D.16

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=2x+1

B.y=-x2+1

C.y=ln(x)

D.y=1/x

2.在△ABC中，若a2=b2+c2-2bc*cosA，則角A的度數(shù)可能是（）

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

3.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則√a>√b

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a>b，則-a<-b

4.下列函數(shù)中，以π為最小正周期的有（）

A.y=sin(2x)

B.y=cos(x/2)

C.y=tan(x)

D.y=cos(2x)

5.下列不等式成立的有（）

A.log?3>log?4

B.2^100>10^30

C.arcsin(0.5)>arccos(0.5)

D.tan(π/4)>sin(π/4)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像的頂點坐標(biāo)為(1,-3)，且過點(0,2)，則a+b+c的值是________。

2.已知圓O的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，則圓心O的坐標(biāo)是________。

3.若復(fù)數(shù)z滿足z2=2i，則z的實部是________。

4.在等差數(shù)列{a?}中，a?=7，a?=15，則該數(shù)列的通項公式a?=________。

5.計算極限lim(x→0)(sinx/x)=________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程組：{2x+y=5{x-3y=-8

2.計算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

3.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，邊a=√3，求邊b和角C（用反三角函數(shù)表示）。

4.已知函數(shù)f(x)=e^x*sin(x)，求f'(π/2)的值。

5.計算極限lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B={x|x∈A且x∈B}={x|1<x<3且x≥2}={x|2≤x<3}。

2.D

解析：f(x)=log?(x+1)的圖像關(guān)于點(-1,1)對稱，因為f(-1+1)=log?(0)無意義，但f(-1-1+1)=log?(0)也無意義，考慮圖像平移前的函數(shù)g(x)=log?(x)關(guān)于(-1,0)對稱，g(x+1)=log?(x+1)即f(x)關(guān)于(-1,1)對稱。

3.C

解析：a?=a?+4d=5+2*4=13。

4.C

解析：點P到直線Ax+By+C=0的距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)，代入得√2/2=|x+y-1|/√2，平方得1/2=(x+y-1)2/2，即(x+y-1)2=1，展開得x2+y2+2xy-2x-2y+1=1，即x2+y2+2xy-2x-2y=0，整理得x2+y2+2xy-2(x+y)=0，配方得(x+y)2-2(x+y)=0，即(x+y)(x+y-2)=0，故軌跡方程為x2+y2=1。

5.A

解析：函數(shù)y=f(x)的圖像向右平移a個單位得到g(x)=f(x-a)，故新函數(shù)為sin[(x-π/6)+π/3]=sin(x-π/6+π/3)=sin(x-π/6+π/6)=sin(x)。

6.A

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，得b=AC*sinB/sinA=2*sin45°/sin60°=2*√2/(√3/2)=2√6/√3=2√2?；蛘撸捎嘞叶ɡ韆2=b2+c2-2bc*cosA，得22=b2+c2-2bc*cos60°，即4=b2+c2-bc。又cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，代入a=2,cosB=√2/2得(4+c2-b2)/(4c)=√2/2，整理得4+c2-b2=2√2*2c，即4+c2-b2=4√2c，聯(lián)立4=b2+c2-bc和4+c2-b2=4√2c，消去b2+c2得4-bc=4√2c，即bc=4(√2-1)。再用余弦定理求BC，cosB=BC2+22-42/(2*BC*2)=BC2-12/(4BC)=(BC2-12)/4BC=√2/2，得BC2-12=2√2*BC，即BC2-2√2*BC-12=0，解得BC=(2√2±√(8+48))/2=(2√2±√56)/2=(2√2±2√14)/2=√2±√14。由于BC為邊長，取正值BC=√2。此處原題角度給法可能存在筆誤，若按常規(guī)60°、45°、75°計算，b=2√2。

7.B

解析：z2=(1+i)2=12+2*1*i+i2=1+2i-1=2i，其共軛復(fù)數(shù)為-2。

8.A

解析：圓心到直線的距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)=|-4+0+6|/√(12+12)=2/√2=√2。因為√2<2（半徑），所以直線與圓相交。

9.D

解析：b?=b?*q3=3*23=3*8=24。

10.C

解析：g'(x)=3x2-3。令g'(x)=0，得x2=1，x=±1。計算g(-2)=(-2)3-3(-2)=(-8)+6=-2，g(-1)=(-1)3-3(-1)=-1+3=2，g(1)=13-3(1)=1-3=-2，g(2)=23-3(2)=8-6=2。最大值為max{-2,2,-2,2}=2。

二、多項選擇題答案及解析

1.AC

解析：A.y=2x+1是正比例函數(shù)，斜率為正，故單調(diào)遞增。B.y=-x2+1是開口向下的拋物線，非單調(diào)。C.y=ln(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增。D.y=1/x在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減（在各自區(qū)間內(nèi)）。

2.ABC

解析：由余弦定理a2=b2+c2-2bc*cosA，當(dāng)角A=60°時，cos60°=1/2，代入得a2=b2+c2-bc=b2+c2-(b2+c2)/2=(b2+c2)/2，即a2=(b2+c2)/2，兩邊開方得a=√(b2+c2)/2。又b2+c2≥2bc（當(dāng)b=c時取等），所以a≤√(2bc)/2=√(bc)/√2。由基本不等式√(bc)≤(b+c)/2，得a≤(b+c)/(2√2)。又a2=b2+c2-bc=b2+c2-2*bc/2=b2+c2-2*√(bc)*√(bc)/2=b2+c2-√(b2c2)=b2+c2-|bc|。若b、c同號，|bc|=bc，則a2=b2+c2-bc。若b、c異號，|bc|=-bc，則a2=b2+c2+bc。無論哪種情況，a2≥(b2+c2)/2，即a≥√(b2+c2)/2。結(jié)合a=√(b2+c2)/2（A=60°）和a≤(b+c)/(2√2)，可知A=60°是可能的。當(dāng)角A=90°時，cos90°=0，代入得a2=b2+c2，即a=√(b2+c2)。由勾股定理可知這是可能的。當(dāng)角A=120°時，cos120°=-1/2，代入得a2=b2+c2+bc=b2+c2+2*bc/2=b2+c2+√(b2c2)=b2+c2+|bc|。此時a2≥(b2+c2)+bc。由b2+c2≥2bc，得a2≥2bc+bc=3bc。又a2=b2+c2+bc=b2+c2+2*√(bc)*√(bc)/2=b2+c2+√(b2c2)=b2+c2+|bc|。若b、c同號，|bc|=bc，則a2=b2+c2+bc。若b、c異號，|bc|=-bc，則a2=b2+c2-bc。無論哪種情況，a2≥(b2+c2)/2。結(jié)合a2≥(b2+c2)+bc和a2≥(b2+c2)/2，可知a2≥(b2+c2)+bc>(b2+c2)/2，即a>√(b2+c2)/2。但a=√(b2+c2)/2（A=120°）是否可能？若a=√(b2+c2)/2，則√(b2+c2)/2=b2+c2+bc>√(b2+c2)/2，矛盾。故A=120°不可能。所以角A可能是30°、60°、90°。

3.BCD

解析：A.錯誤，例如a=2,b=-1，則a>b但a2=4<1=b2。B.正確，a>b>0，則a2>b2>0，開方不改變不等號方向。C.正確，a>b>0，則1/a<1/b（兩邊同時取倒數(shù)，不等號方向改變）。D.正確，a>b，則-a<-b（不等式兩邊同時乘以-1，不等號方向改變）。

4.AC

解析：A.y=sin(2x)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。B.y=cos(x/2)的周期T=2π/|ω|=2π/(1/2)=4π。C.y=tan(x)的周期T=π。D.y=cos(2x)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。故周期為π的有A和C。

5.ACD

解析：A.log?3=1/log?2，log?4=2/log?2。因為1/log?2>2/log?2（1>2），所以log?3>log?4。B.2^100=(2^10)^10=1024^10，10^30=(10^3)^10=1000^10。比較1024和1000，1024>1000，所以1024^10>1000^10，即2^100>10^30。C.arcsin(0.5)=π/6，arccos(0.5)=π/3。因為π/6<π/3，所以arcsin(0.5)<arccos(0.5)。D.tan(π/4)=1，sin(π/4)=√2/2。因為1>(√2/2)2=1/2，所以tan(π/4)>sin(π/4)。

三、填空題答案及解析

1.-1

解析：頂點坐標(biāo)為(1,-3)意味著對稱軸為x=1，即x=-b/2a=1。又f(0)=c=2。代入f(1)=a(1)2+b(1)+c=-3，得a+b+2=-3，即a+b=-5。聯(lián)立a+b=-5和-b/2a=1，得-b=2a，代入a+b=-5得a-2a=-5，即-a=-5，a=5。再代入-b=2a得-b=10，b=-10。所以a=5,b=-10,c=2。a+b+c=5-10+2=-3。另一種方法是直接用頂點式f(x)=a(x-1)2-3。過點(0,2)，代入得2=a(0-1)2-3，即2=a-3，a=5。所以f(x)=5(x-1)2-3。a+b+c=f(1)+f(0)+c=5(1-1)2-3+2+2=-3+2+2=-1。

2.(2,-3)

解析：圓方程x2+y2-4x+6y-3=0配方得(x2-4x+4)+(y2+6y+9)=3+4+9，即(x-2)2+(y+3)2=16。圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑為√16=4。

3.0

解析：設(shè)z=a+bi。則z2=(a+bi)2=a2+2abi-(b2)=a2-b2+2abi。由z2=2i，得實部a2-b2=0，虛部2ab=2。解得a=0或b=0。若a=0，則0-b2=0，b=0。若b=0，則a2-0=0，a=0。虛部2ab=2，若a=0，則0*0≠2，矛盾。若b=0，則2a*0≠2，矛盾。所以沒有實部和虛部都不為0的解使得z2=2i?？紤]z=1+i，z2=(1+i)2=1+2i-1=2i。其共軛復(fù)數(shù)為1-i?？紤]z=-1+i，z2=(-1+i)2=1-2i-1=-2i。其共軛復(fù)數(shù)為-1-i?？紤]z=1-i，z2=(1-i)2=1-2i-1=-2i。其共軛復(fù)數(shù)為1+i?？紤]z=-1-i，z2=(-1-i)2=1+2i-1=2i。其共軛復(fù)數(shù)為-1+i。因此，滿足z2=2i的復(fù)數(shù)z有1+i,-1+i,1-i,-1-i。它們的實部均為0。

4.2n+1

解析：由a?=a?+2d=7，a?=a?+6d=15。聯(lián)立方程組{a?+2d=7{a?+6d=15解得{a?=1{d=3。通項公式a?=a?+(n-1)d=1+(n-1)*3=1+3n-3=3n-2。檢查a?=3*3-2=7，a?=3*7-2=19（此處原題a?=15與a?=7，d=3矛盾，若按a?=7,a?=15計算，則d=(15-7)/(7-3)=8/4=2，a?=a?+(n-1)d=5+(n-1)*2=5+2n-2=2n+3。若按a?=7,a?=15,d=3計算，則通項為3n-2。此處按題目給出的a?=7,a?=15,d=2計算，通項公式a?=2n+3。）

5.1

解析：使用洛必達法則，lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(cosx/1)=cos0=1?；蛘呤褂玫葍r無窮小，當(dāng)x→0時，sinx~x，所以lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(x/x)=1。

四、計算題答案及解析

1.解方程組：

{2x+y=5

{x-3y=-8

解第二個方程得x=3y-8。代入第一個方程得2(3y-8)+y=5，即6y-16+y=5，7y=21，y=3。將y=3代入x=3y-8得x=3*3-8=1。解為x=1,y=3。

2.計算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

分子分解：x2+2x+3=(x+1)2+2。所以原式=∫[(x+1)2+2]/(x+1)dx=∫(x+1)dx+∫2/(x+1)dx=(x2/2+x)+2ln|x+1|+C。

3.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，邊a=√3，求邊b和角C。

由內(nèi)角和定理，角C=180°-45°-60°=75°。

由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=a*sinB/sinA=√3*sin60°/sin45°=√3*(√3/2)/(√2/2)=3/√2=3√2/2。

或者用余弦定理求b：a2=b2+c2-2bc*cosA。即(√3)2=b2+c2-2bc*cos45°。3=b2+c2-√2*bc。又cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，代入a=√3,cosB=√3/2得(3+c2-b2)/(2√3*c)=√3/2，整理得3+c2-b2=3c。聯(lián)立3=b2+c2-√2*bc和3+c2-b2=3c，消去b2+c2得3-√2*bc=3c，即bc=3/(√2+1)=3(√2-1)。再用余弦定理求BC，cosB=BC2+22-42/(2*BC*2)=BC2-12/(4BC)=√3/2，得BC2-12=2√3*BC，即BC2-2√3*BC-12=0，解得BC=(2√3±√(12+48))/2=(2√3±√60)/2=(2√3±√(4*15))/2=(2√3±2√15)/2=√3±√15。由于BC為邊長，取正值BC=√3+√15。此處原題角度給法可能存在筆誤，若按常規(guī)60°、45°、75°計算，b=3√2/2。

4.已知函數(shù)f(x)=e^x*sin(x)，求f'(π/2)的值。

使用乘積法則，f'(x)=(e^x)'*sin(x)+e^x*(sin(x))'=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)=e^x(sin(x)+cos(x))。

f'(π/2)=e^(π/2)*(sin(π/2)+cos(π/2))=e^(π/2)*(1+0)=e^(π/2)。

5.計算極限lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

當(dāng)x→2時，分子x3-8=(x-2)(x2+2x+4)→0，分母x-2→0，為“0/0”型未定式。使用洛必達法則，原式=lim(x→2)[d/dx(x3-8)]/[d/dx(x-2)]=lim(x→2)(3x2)/1=lim(x→2)3x2=3*(2)2=12?；蛘撸蚴椒纸夥ǎ涸?lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2*2+4=4+4+4=12。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)知識點總結(jié)如下：

一、集合與函數(shù)

1.集合的概念、表示法、運算（并、交、補）

2.映射的概念、分類（單射、滿射、雙射）

3.函數(shù)的概念、性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）

4.基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)）的圖像與性質(zhì)

5.函數(shù)的圖像變換（平移、伸縮、對稱）

二、數(shù)列

1.數(shù)列的概念、通項公式、前n項和

2.等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式

3.等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式

三、三角函數(shù)與解三角形

1.三角函數(shù)的定義（任意角、單位圓）

2.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性）

3.三角恒等變換（和差角公式、倍角公式、半角公式、和差化積與積化和差公式）

4.解三角形（正弦定理、余弦定理、面積公式）

四、復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的概念、幾何意義（復(fù)平面）

2.復(fù)數(shù)的運算（加、減、乘、除）

3.共軛復(fù)數(shù)的概念與性質(zhì)

五、解析幾何

1.