演示文稿極限存在準則兩個重要極限公式目前一頁\總數(shù)三十三頁\編于二點極限存在準則兩個重要極限公式目前二頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/20253例1解目前三頁\總數(shù)三十三頁\編于二點1.夾逼準則準則I證:由條件(2),當時,當時,令則當時,有由條件(1)即故7/20/20254目前四頁\總數(shù)三十三頁\編于二點我們可將準則I推廣到函數(shù)的情形：準則I′且注意:準則I和準則I′統(tǒng)稱為夾逼準則..,的極限是容易求的與并且與關鍵是構(gòu)造出利用夾逼準則求極限7/20/20255目前五頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/2025例2目前六頁\總數(shù)三十三頁\編于二點例2解：由夾逼準則得7/20/20257目前七頁\總數(shù)三十三頁\編于二點解:

利用夾逼準則.且由？1211lim222=???è?++++++￥?pppnnnnnnL7/20/20258目前八頁\總數(shù)三十三頁\編于二點夾逼準則不僅說明了極限存在，而且給出了求極限的方法．下面利用它圓扇形AOB的面積證:

當即亦即時，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注證明一個重要的極限公式：

目前九頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/2025目前十頁\總數(shù)三十三頁\編于二點例3求解:例4

求（課本例）解:

令則因此原式注:利用變量代換，可得更一般的形式7/20/202511目前十一頁\總數(shù)三十三頁\編于二點例5求（補充題）解:例6

求（課本）解:7/20/202512目前十二頁\總數(shù)三十三頁\編于二點2.單調(diào)有界準則數(shù)列單調(diào)增加單調(diào)減少準則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)上升有上界數(shù)列必有極限單調(diào)下降有下界數(shù)列必有極限說明:(1)在收斂數(shù)列的性質(zhì)中曾證明：收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂．(2)利用準則II來判定數(shù)列收斂必須同時滿足數(shù)列單調(diào)和有界這兩個條件．7/20/202513目前十三頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(3)準則II只能判定數(shù)列極限的存在性，而未給出求極限的方法．例如，數(shù)列，雖然有界但不單調(diào)；，雖然是單調(diào)的，但其無界，易知，這兩數(shù)列均發(fā)散．數(shù)列(4)

對于準則II，函數(shù)極限根據(jù)自變量的不同變化過程也有類似的準則，只是準則形式上略有不同.例如，準則II′

設函數(shù)在點的某個左鄰域內(nèi)單調(diào)在的左極限必存在．并且有界，則7/20/202514目前十四頁\總數(shù)三十三頁\編于二點作為準則II的應用，我們討論一個重要極限：首先，證是單調(diào)的．7/20/202515證目前十五頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/2025類似地,目前十六頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/2025其次，證有界．目前十七頁\總數(shù)三十三頁\編于二點通常用字母來表示這個極限，即也可以證明，當取實數(shù)而趨于或時，函數(shù)的極限都存在且都等于，即利用變量代換，可得更一般的形式7/20/202518目前十八頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/202519

三.兩個重要極限目前十九頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/2025例1

求下列極限目前二十頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/202521例1

求下列極限目前二十一頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/202522目前二十二頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/202523目前二十三頁\總數(shù)三十三頁\編于二點證證畢目前二十四頁\總數(shù)三十三頁\編于二點例2求例3例4例5例6目前二十五頁\總數(shù)三十三頁\編于二點例1解:例2求解:7/20/202526目前二十六頁\總數(shù)三十三頁\編于二點例4解例3解令,則當時,,因此目前二十七頁\總數(shù)三十三頁\編于二點例5例6目前二十八頁\總數(shù)三十三頁\編于二點7/20/2025

課堂練習題一、求下列極限：1、4、2、5、3、二、已知目前二十九頁\總數(shù)三十三頁\編于二點內(nèi)容小結(jié)1.

極限存在的兩個準則夾逼準則;單調(diào)有界準則.2.

兩個重要極限或注:

代表相同的表達式7/20/202530目前三十頁\總數(shù)三十三頁\編于二點思考與練習1.