§8.1向量A組1．既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的模。2．長度為0的向量叫做零向量，記作，它的方向不確定。3．方向相同或相反的兩個非零向量叫做平行向量。4．方向相同且模相等的兩個向量叫做相等向量。5．在圖1中，做出以為起點，與向量有關的向量①與相等的向量；②的負向量③與模相等的向量終點的軌跡。6.非零向量和，“”是“”的〔B〕〔A〕充分非必要條件；〔B〕必要非充分條件；〔C〕充要條件；〔D〕既非充分又非必要條件。B組一、填空題7．以下各量：“比重、位移、面積、力、加速度、功、質(zhì)量”中為向量的是。7．位移、力、加速度8．平行四邊形中，是對角線的交點，，，。8．；；或或9．的一個充分不必要條件是與兩點重合。10．、是任意兩個向量，以下條件：①；②；③，的方向相反；④或；⑤與都是單位向量，其中與平行的充分不必要條件是①③④.11．在扇形中，弧長為，，假設是弦的中點，那么。二、選擇題12．兩個非零向量相等的必要不充分條件是〔A〕〔A〕兩個向量模相等〔B〕兩個向量方向相反〔C〕兩個向量模相等且方向相反〔D〕兩個向量起點和終點重合13．給出以下命題：〔1〕平行向量一定相等；〔2〕不相等的向量一定不平行；〔3〕共線向量一定相等；〔4〕相等的向量一定共線。其中正確命題的個數(shù)為〔B〕〔A〕0

〔B〕1

〔C〕2〔D〕3三、解答題14．分別是的邊上的點，且，那么在圖中的線段上，寫出與平行的向量。14．答案：15．寫出以下命題的逆命題，并判別原命題和逆命題的真假：〔1〕假設，那么；〔2〕假設，那么；〔3〕假設，那么與是平行向量；〔4〕假設，且，那么。15．1〕原命題、逆命題均真；2〕原命題假，逆命題真；3〕原命題、逆命題均假；4〕原命題、逆命題均假。16．在中，分別是邊的中點，分別是的中點，判別以下各式是否正確。14題圖〔1〕；14題圖〔2〕和是平行向量；〔3〕；16．〔1〕不正確。和的模不相等，為此它們必不是相等向量?！?〕正確。由平面幾何知識可知DE∥FG，所以和為平行向量?！?〕不正確。向量是無法比擬大小的，只有向量的?？梢员葦M大小。C組17．如下圖，、、依次是正的邊、、的中點?！?〕在以、、、、、為起點或終點的向量中，是寫出所有與平行的向量；〔2〕在以、、為起點，以、、為終點的向量中，是寫出所有與模相等的向量；〔3〕在以、、為起點，以、、為終點的向量中，是寫出所有與相等的向量；17．解：〔1〕〔2〕〔3〕§8.2向量的加減法〔1〕A組1．向量加法的平行四邊形法那么：以同一點為起點的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，那么就是與的和。2．、、、是共面的四點，3．一飛機向南飛行90千米，然后改變方向，向西飛行90千米，分別用、表示該飛機的前后兩段飛行，那么飛機的飛行路程為180千米，表示的實際意義是飛機向西南方向位移千米。4．在平行四邊形中，以下結(jié)論中錯誤的選項是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5．判斷題：〔1〕〔對〕〔2〕〔錯〕〔3〕〔錯〕〔4〕〔對〕〔5〕〔錯〕B組一、填空題6．設表示“向南走”，表示“向西走”，那么表示向西南走。7．化簡：＝______。7．8．假設正方形的邊長為1，那么。8．9．在中，，假設，那么為三角形。9．等腰10．那么.11．為非零向量，那么使成立的充要條件是______________。11．方向相反且ABCDEF12．ABCDEF①②③④其中正確的表達式為〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕。二、選擇題13．平行四邊形中，＝〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕13．A14．以下各式中一定能成立的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕14．A三、解答題：15．試作出和，并說明兩者的關系。15．F2F1O16．如圖，質(zhì)點受到兩個力和的作用，，牛，牛，求這兩個力的合力的大小以及與的夾角大小。F2F1O16．由余弦定理，，所以牛，又由正弦定理，那么。C組17．如圖，中，分別是中點，是的重心。ADBCADBCEFGAADBCEFG17．證明：作，連接BH、CH，那么GBHC是平行四邊形，那么，由因為，所以，那么?！?.2向量的加減法〔2〕A組1．=。2．化簡＝。3．請在左圖中作出：〔1〕〔1〕〔1〕〔2〕〔2〕〔2〕4．菱形的邊長為2，那么向量的模為2.B組一、填空題5．化簡＝______。6．，那么＝__1____。7．,那么取值范圍為______。8．正六邊形中，設，那么用表示＝___；＝___。二、選擇題9．在平行四邊形中，以下等式成立的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9．D10．以下式子中不能化簡為的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕10．D三、解答題11．如圖，，試作出和，并說明兩者的關系。11．OADBC12．平行四邊形平面內(nèi)的一點，設，用表示。OADBC12．在平行四邊形ABCD中，BOABOACD13．有一條東西向的河流，水流的速度是向東3km/h，一條渡輪在靜水中的速度是。這條渡輪由南向北渡河?！?〕如果船垂直于河岸開出，那么船的實際航行速度與方向各是什么？〔2〕如果要求船實際航行的方向為正北方向，那么船應向什么方向開行？船的實際速度是多少？13．〔1〕，方向：北偏東。〔2〕北偏西，實際速度為。C組14．均為非零向量，表達以下等式成立的條件：〔1〕成立的條件是；〔2〕成立的條件是；〔3〕成立的條件是；〔4〕成立的條件是；〔5〕成立的條件是。14.解：〔1〕同向；〔2〕方向相反；〔3〕方向相反；〔4〕方向相同，且；〔5〕§8.3實數(shù)與向量的乘積〔1〕A組實數(shù)與向量的乘積是一個向量，記作，它的模和方向規(guī)定如下：〔1〕；〔2〕當時，與的方向；當時，與的方向；當時，。2．向量與非零向量共線的充要條件是存在唯一的非零實數(shù)，使得。3．如圖，、，按以下要求作圖：〔1〕；〔2〕4．邊長為2的正方形中，的模為.5．判斷題：〔1〕，其中?！矊Α场?〕，其中?！矊Α场?〕，其中?！插e〕6．與同方向的單位向量.B組一、填空題7．假設，那么。7．8．設是兩個非零向量,且,那么的關系是。8．平行9．設，，，假設用與表示，那么__________。9．10．在中，是邊上的中線，，，那么______________。10．ABABDCE11．如圖在中，，，假設，，那么__________。11．12．、是兩個不平行的非零向量，當實數(shù)滿足時，能使成立。二、選擇題13．假設分別是與同方向的單位向量，那么“”是“”的〔〕〔A〕充分不必要條件〔B〕必要不充分條件〔C〕充要條件〔D〕既不充分又不必要條件13．B14．非零向量，，，假設向量，那么的最大值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕以上均不對14．B三、解答題15．在平行四邊形中，是的中點，是的三等分點，設，試用向量表示向量。15．由題意，且，那么。16．在正六邊形中，假設，，用分別表示以下向量：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。FOABCDE.16．〔1〕由題意因為且，F(xiàn)OABCDE.〔2〕；〔3〕；〔4〕。17．向量不共線，假設實數(shù)滿足，求的值。17．由題意可得，即可得，那么。C組18.分別是和的重心，求證：。證明：，且。所以，。§8.3實數(shù)與向量的乘積〔2〕A組1．假設非零向量，且同向，那么實數(shù)的取值范圍為。1．2．為的重心，那么。3．如下圖，正三角形三邊的中點分別是，三角形三邊的中點分別為，那么；。4．，那么-3。B組一、填空題5．為的重心，為中線，假設，那么______________。5．6．三點共線，且，假設，那么＝______________。6．ABABDCMN7．如圖，在平行四邊形中，和的中點依次為，設，那么用表示為______________。7．8．如圖，點在同一直線上，且，設，，，用表示，得。8．二、選擇題9．四邊形中，，那么四邊形的形狀為〔〕〔A〕梯形；〔B〕菱形；〔C〕平行四邊形；〔D〕矩形。9．A10．假設平面上有不同的三個點，那么“三點共線”是“存在不為零的實數(shù)，使得”的〔〕〔A〕充分非必要條件；〔B〕必要非充分條件；〔C〕充要條件；〔D〕既非充分又非必要條件。10．C三、解答題11．平行四邊形，分別是和的中點，求證：。AABCDEF11．證明：∵且?！啵唷?2．平行四邊形的兩條對角線與交于，是任意一點，求證：。12．證明：因為，且，所以。13．點在四邊形內(nèi)，且，當成立時，四邊形是怎樣的四邊形？13．因為，即，可得，那么為平行四邊形。C組14.向量均為非零向量，且與不平行，〔1〕假設，求證：三點共線；〔2〕假設向量與平行，求實數(shù)的值。解：〔1〕證明：因為，那么，所以三點共線?！?〕解：假設向量與平行，那么存在不為零的實數(shù)使得，所以?！?.4向量的坐標表示及運算〔1〕A組一、填空題1.平面直角坐標系內(nèi)，始點在坐標原點的向量叫位置向量。2.平面直角坐標系內(nèi)，方向分別與軸和軸正方向相同的兩個單位向量叫根本單位向量，分別記為、。3.平面直角坐標系內(nèi)，假設點，那么向量的向量正交分解形式是。4.假設，那么向量的模。5.，假設始點的坐標為，那么終點的坐標為.6.，，那么=，=.7.，，那么=5.8.假設，那么的單位向量為.B組一、填空題9.假設，，那么=。10.點，點，如果，那么點的坐標為。11.在直角坐標系平面上，為原點，，，假設+，那么=0。12.△的頂點坐標分別為，，，為的中點，那么=。13.設，且，，那么與反向的單位=。選擇題14.，假設終點坐標為，那么起點的坐標為(B)A. B.C.{EQ

\o\ac

(AB,\s\up10(→))} D.15.假設向量、、的坐標分別為、、，那么=(C)A. B.C. D. 16.以下向量中，不是單位向量的是 (A)A. B.C. D. 解答題17.在平面內(nèi)以點的正東方向為軸正方向，正北方向為軸的正方向建立直角坐標系，質(zhì)點在平面內(nèi)做直線運動，分別求以下位移向量的坐標.(1)向量表示沿東北方向移動了2個長度單位；(2)向量表示沿西偏北方向移動了3個長度單位；(3)向量表示沿東偏南方向移動了4個長度單位.答：(1) (2) (3)18.在直角坐標系中，為原點，，，且、、是一個平行四邊形的三個頂點，求另外一個頂點的坐標.答：C組19.，，假設與共線，求的值答：20.點、、的坐標分別為，，，且，假設點在第二象限，求的取值范圍答：§8.4向量的坐標表示及運算〔2〕A組1．點，用根本單位向量表示；用坐標表示。2．假設，那么向量。3．在向量，，，中相互平行的向量是。4.，假設線段的中點坐標為，那么點坐標為。5.，，假設在延長線上，使，那么點為。6.設向量，那么與它方向相反而模為205的向量坐標為。B組一、填空題7．假設，，向量與共線，那么=1，-3，2。8.為的中線，為重心，點為，點，那么點的坐標為。9.、分別是和的重心，是、的中點，假設、、和的坐標分別為，，，，那么點的坐標為。10.=，=，與反向，且，那么點坐標為。11.為的角平分線，，設，那么的值為。12.設的重心為，各邊中點分別為、、，那么。三、選擇題13．假設三點在同一直線上，那么的值為 (B)A.–7 B.–8 C.–9 D.–1014．假設非零向量，那么是與同向或反向的(A)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.重要條件 D.既不充分也不必要條件15．假設、兩點的坐標分別為和，直線與軸的交點為，且，那么的值是 (C)A.–4 B.4 C. D.16.設點在向量所在直線上，且，，分的比為，那么(A)A. B.C. D.解答題17．，，求實數(shù)，使得與平行.答：18．，，求.答：19．的頂點坐標為，，，在上，且的面積是面積的.求的長答：=C組20．、、、為平面上四點，且，，那么(B)A.點在線段上 B.點在線段上C.點在線段上 D.、、、四點共線21．、、、是平面上任三點都不共線的四點，是異于、、、的任一點，記，，，，求四邊形為平行四邊形的條件.答：+=+§8.5向量的數(shù)量積〔1〕A組1．假設向量，的夾角為，那么=_____________.2．假設，那么4。3．，，與的夾角為，那么=.4．設，，且與的夾角為，那么=-36.5．在中，且，那么此三角形的形狀是等邊三角形.6．是單位向量，且，那么=.7．假設，，，那么=.B組一、填空題8.在△中，，，，那么△的面積為.9.單位向量，，它們的夾角為，那么的值為.10.，滿足，，那么=7.11.當非零向量，滿足時，成立.12.設，，是任意的平面向量，給出以下命題：①；②；③；④，其中是真命題的有②④.(寫出所有正確命題的序號)二、選擇題13.，，為不共線的非零向量，那么以下等式中成立的是 (C)A. B.C. D.14.假設，，且與的夾角為，那么等于 (D)A.3 B. C.21 D.15.假設，是兩個非零向量，那么是與平行的 (C)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件三、解答題16．向量，滿足，，，求。答：17．，，假設，，求的值。答：C組18．，，、的夾角為，，，是否存在實數(shù)，使？并說明理由答：存在，19．向量、中至少有一個不為零向量，對于、及向量、，求函數(shù)取得最小值時的條件.答： 至少有一個非零 時，有最小值.§8.5向量的數(shù)量積〔2〕A組假設，那么向量與夾角為0或。假設，那么向量與夾角為。假設，那么的取值范圍是。，，與夾角為，那么=。，，且，，那么的坐標為。平面上有三個點，，，假設，那么與的關系式為。，，那么與的夾角為=。B組一、填空題8.，，，那么=。9.，，假設點在軸上且滿足，那么點坐標為。10.，，假設與互相垂直，那么=-7或5。11.假設，，且與夾角為，那么=。12.的三個頂點，，，邊上的高為，那么點的坐標。二、選擇題13.假設，，那么與夾角為 (D)A.B.C. D. 14.，且與垂直，那么的值為(D)A.1 B.2C.1或2D.1或15.向量，，那么在方向上的投影為 (A)A. B.C. D.16.直線上的一點P橫坐標為，有兩個點，，那么使向量與夾角為鈍角的一個充分非必要的條件是 (B)A. B. C. D.三、解答題17.，，求向量與向量夾角答：=18.，，且垂直與，||=1，求、的值答：或19.，，，求：(1)；(2)與的夾角；(3)當為何值時，與垂直或平行.答：(1)(2)(3)=,垂直，平行C組20．，，、的夾角為，記，，求與的夾角。答：21.設是直角坐標系的原點，，，在軸上求點，使最小，并求此時的。答：當點，最小，§8.6平面向量的分解定理A組假設，將向量表示為的線性組合：。假設，將向量表示為的線性組合。設是兩個不平行向量，，且，那么必有。在四邊形中，設，，，那么。為平行四邊形，假設，，為中點，那么=EQ\o(a,\s\up7(→))-EQ\o(b,\s\up7(→))。設，，、是不共線的非零向量，如，那么=，=。滿足，那么的形狀為直角三角形。B組填空題8.在平行四邊形中，為對角線的三等分點，設，，用、表示，那么.9.設非零向量和不共線，當=時，和共線.10.設平面上有一四邊形，，，，，當時，四邊形的形狀為矩形.二、選擇題11.在五邊形中，設，，，，那么等于(B)A. B.C. D.12.、為不共線向量，，，，那么以下關系中正確的選項是 (B)A. B.C. D.13.是等腰梯形，且，假設，，那么等于 (B)A. B.C. D.14.假設，那么、、 (D)A.一定可以構(gòu)成一個三角形B.一定不可以構(gòu)成一個三角形C.都是非零向量時構(gòu)成一個三角形D.都是非零向量時也可能無法構(gòu)成一個三角形15.，，，滿足，，那么的形狀為 (D)A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形三、解答題16.梯形中，，且，、分別為和的中點，，，用、表示、和.答：、、17.一條由西向東的河流，其水流速度為1千米/小時，一艘小船在靜水中速度為5千米/小時，小船從南往北航行，(1)假設駕駛員保持小船航向為正北，求小船在渡河中的實際速度(2)假設欲使實際航向為自南向北(即垂直于河流方向)，駕駛員應保持怎樣的航向？船的實際航速是多少？答：(1)千米/小時，北偏東 (2)千米/小時，北偏西C組一個物體在一個平面內(nèi)受到三個力EQ\o(,\s\up7(→))、EQ\o(,\s\up7(→))、EQ\o(,\s\up7(→))的作用下沿合力方向移動了10米，其中|EQ\o(,\s\up7(→))|=10，方向為北偏東，|EQ\o(,\s\up7(→))|=8，方向為北偏東，|EQ\o(,\s\up7(→))|=6，方向為北偏西，那么合力作的功為.2．過的重心的直線與邊、分別交于、，設，，那么=3.§8.7平面向量的應用A組點，，在軸上求一點，使，那么點坐標為。EQ\o(,\s\up8(→))=，EQ\o(,\s\up8(→))=作用于同一質(zhì)點，由移動到點，合力EQ\o(,\s\up8(→))對質(zhì)點所做的功為111。向量=，=，假設為等腰直角三角形，那么的值為1。是等腰梯形，分別是兩腰、的中點，、是上的兩個點，且，下底長是上底長的2倍，，，那么，.某人在靜水游泳時速度為4千米/小時，水的流向是由西向東，水流速度為2千米/小時，此人必須朝與水流方向成120度角，才能沿正北方向前進.B組填空題6.某人從點出發(fā)，朝北行走一段路程到達后折向東北方向，走到點后再轉(zhuǎn)向朝東方向最后到達，假設，，，那么該人的實際位移為.7.如圖，墻上三角架的一端處懸掛一個重5的物體，那么邊的受力情況是，方向與相同.8.將二次函數(shù)的圖像按向量平移后得到的圖像與一次函數(shù)的圖像只有一個公共點，那么向量.二、選擇題9.在以下物理量：①物體的質(zhì)量為千克；②物理受到重力為牛頓；③物體在重力作用下發(fā)生位移，可作的功為焦耳，其中向量的個數(shù)為 (B)A.0 B.1 C.2 D.310.三個大小相等的力作用于同一點，欲使合力為零，那么每兩個力之間的角度為(A)A. B. C. D.11.的外心為，垂心為，，，，那么(D)A. B.C. D.12.將函數(shù)的圖像按平移后得的圖像，那么向量可以是(B)A. B. C. D.三、解答題13.帆船要從處駛往正東方向200海里的處，當時有自西北方向吹來的風，風速海里/小時，如果帆船方案在5小時內(nèi)到達目的地，問船該以怎樣的速度和方向航行？答：海里/小時，北偏東14.、、分別是的三條高，用向量證明：、、相交于同一點.答：設、交于點，只需證在上，且15．一架飛機從地向北偏西的方向飛行1000到達地，然后向地飛行，設地恰好在地南偏西，并且、兩地相距2000，求飛機從地到地的位移.答：位移大小為海里/小時，方向南偏西C組16.與水平方向的夾角為(斜向上)，大小為50，一個質(zhì)量為8的木塊受力的作用在動摩擦系數(shù)的水平平面上運動了20，問力和摩擦力所做的功分別為多少？()答：所做功為，所做的功為-2217.平行四邊形，為、的中點，、分別交于與、，判斷、、之間的關系，并說明理由。答：平面向量單元測驗一、填空題1．向量，那么。2．在中,,那么的值為。3．在中，，假設，那么為三角形。４．向量，那么的單位向量的坐標為。5．向量，且，那么。6．中，點在邊上，且那么。7．在平行四邊形中，，為的中點，那么.〔用表示〕8．設平面向量假設的夾角是鈍角，那么的范圍是。9．，那么的取值范圍是_____。10．在正三角形ABC中，D是BC上的點.假設AB=3，BD=1，那么。二、選擇題〔每題5分，共分〕11．設是任意的非零平面向量，且相互不共線，那么：① ②③不與垂直 ④中，真命題是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④12.中,,假設，，那么點在()(A)平分線所在直線上(B)線段中垂線上(C)邊所在直線上(D)邊的中線上13.假設將曲線平移到,使得曲線上一點的坐標由變?yōu)?那么的方程是()(A)(B)(C)(D)14．三點的坐標分別為，是線段上且那