積分建模2016.03.19

我們主要討論兩部分內(nèi)容：1.能用解析法計(jì)算的定積分。這一部分主要就是利用定積分方法建立模型，從而使實(shí)際問(wèn)題得到解決。2.不能用解析法計(jì)算的定積分。這一部分主要用數(shù)值積分解決問(wèn)題。

積分模型

數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)表述，是對(duì)于一個(gè)特定的對(duì)象為了一個(gè)特定的目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這里主要講述關(guān)于積分模型在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用，比如求總值（如總成本和總利潤(rùn)），包括其他變量實(shí)際累積的總量，如求資金的現(xiàn)值和期值等。這些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的內(nèi)容涉及到很多領(lǐng)域，且函數(shù)表達(dá)方式都有所不同，但它們的原理都是一樣的。

積分變量為當(dāng)為產(chǎn)量且時(shí)，只需將代之以（成本）、（收益）、

(利潤(rùn))，即可得到總成本、總收益、總利潤(rùn)的函數(shù)表達(dá)式?？偝杀究偸找婵偫麧?rùn)相關(guān)知識(shí)回顧一、極值一元函數(shù)：定理1（必要條件）：若函數(shù)在處可導(dǎo)，且在此處取得極值，則。定理2（第二充分條件）設(shè)函數(shù)在處二階可導(dǎo)，且，那么（1）當(dāng)時(shí)，在此處取極大值（2）當(dāng)時(shí)，在此處取極小值二、積分1、湊元法：如：2、換元法：其中如：3、分部積分法：如：定積分建模不允許缺貨的存貯模型問(wèn)題的提出：某配送中心為所屬的幾個(gè)超市配送某種小電器，假設(shè)超市每天對(duì)這種小電器的需求量是穩(wěn)定的，訂貨費(fèi)與每個(gè)產(chǎn)品的貯存費(fèi)都是常數(shù)。如果超市對(duì)這種小家電的需求是不可缺貨的，是制定最優(yōu)的存貯策略（即多長(zhǎng)時(shí)間訂一次貨，一次定多少貨）。

如果每日需求量為100件，一次訂貨費(fèi)用為5000元，每件電器每天的貯存費(fèi)用為1元，請(qǐng)給出最優(yōu)結(jié)果。模型假設(shè)

1每日的需求量為常數(shù)r；

2每次訂貨費(fèi)用為C1，每日每件產(chǎn)品存貯費(fèi)C2；

3T天訂一次貨，每次定Q件，且當(dāng)貯存量為0時(shí)，立即補(bǔ)充，補(bǔ)充是瞬時(shí)完成的；

4為方便起見(jiàn)，將r,Q都視為連續(xù)量。設(shè)

t時(shí)刻的存貯量為

q(t)，t=0時(shí)存貯

Q

件，即存貯量

q(0)=Q

；q(t)以需求r的速率遞減，直至q(T)=0，如圖：q(t)=Q-rt，

Q=rT

。otqQTrA不允許缺貨模型的存貯量q(t)

模型建立一個(gè)周期內(nèi)存貯量一個(gè)周期內(nèi)存貯費(fèi)(A的面積)一個(gè)周期的總費(fèi)用每天平均費(fèi)用模型求解用微分法每天平均最小費(fèi)用著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EOQ公式）。結(jié)果解釋當(dāng)訂貨費(fèi)用越高，需求量越大，則每次訂貨量應(yīng)越大，反之，每次訂貨量越小。存貯費(fèi)用越高，則每次訂貨量越小，反之，每次訂貨量越大。這些定性結(jié)果符合常識(shí)，而定量關(guān)系（平方根，系數(shù)2等）憑常識(shí)是無(wú)法得出的，只能由數(shù)學(xué)建模得到。在本例中數(shù)值積分問(wèn)題的提出在許多實(shí)際問(wèn)題中，常常需要計(jì)算定積分。但是對(duì)于一些定積分，其原函數(shù)無(wú)法由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成，所以在求解的過(guò)程中具有一定的難度，有時(shí)候根據(jù)我們以前所學(xué)過(guò)的定積分的計(jì)算方法無(wú)法解決。這類定積分的計(jì)算也只能用數(shù)值的方法，屬于數(shù)值積分的范疇。傳統(tǒng)定積分原理與方法：牛頓——萊布尼茲公式。前提是原函數(shù)可用初等函數(shù)表示。數(shù)值分析面臨的問(wèn)題：函數(shù)的表達(dá)式未知，只有數(shù)表形式。如：

123454

4.5

6

8

8.5的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示：如何求的近似值？利用函數(shù)在有限個(gè)結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值去計(jì)算積分?。?！數(shù)值積分常用的方法一.矩形公式二.插值型求積公式：1.梯形公式2.辛普森公式3.高斯求積公式三.蒙特卡羅方法數(shù)值求積的基本思想依據(jù)積分中值定理，就是說(shuō)，底為而高為的矩形面積恰等于所求曲邊梯形的面積。

取內(nèi)若干個(gè)節(jié)點(diǎn)處的高度，通過(guò)加權(quán)平均的方法生成平均高度，這類求積公式稱為機(jī)械求積公式：

式中稱為求積節(jié)點(diǎn)，稱為求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點(diǎn)的權(quán)。矩形公式將被積函數(shù)在a處泰勒展開(kāi)在x、a之間，在上連續(xù)，而在上不變號(hào)（非負(fù)），由積分中值定理知于是有．

兩端積分注意右端第二項(xiàng)，設(shè)式稱為左矩形公式，其余項(xiàng)為矩形公式(續(xù))或者寫(xiě)為同理，有右矩形公式和中矩形公式插值型求積公式由插值理論可知，任一函數(shù)給定一組節(jié)點(diǎn)后，可用一n次多項(xiàng)式對(duì)其插值，即因此當(dāng)為拉格朗日插值多項(xiàng)式時(shí)，即則，

插值型求積公式(續(xù))其中通常稱公式為插值型求積公式。代數(shù)精度的概念數(shù)值求積方法是近似方法，為保證精度，自然希望所提供求積公式對(duì)于“盡可能多”的函數(shù)是準(zhǔn)確的。如果機(jī)械求積公式對(duì)均能準(zhǔn)確成立但對(duì)不準(zhǔn)確，則稱機(jī)械求積公式具有次代數(shù)精度。事實(shí)上，令求積公式對(duì)準(zhǔn)確成立，即得

可見(jiàn)，在求積公式節(jié)點(diǎn)給定的情況下，求積公式的構(gòu)造問(wèn)題本質(zhì)上是個(gè)解線性方程組的代數(shù)問(wèn)題。梯形公式

利用插值求積公式，構(gòu)造等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式

并以近似

，這樣就可以得到各種近似公式．過(guò)兩點(diǎn)，作直線以近似得：易見(jiàn)，上式的幾何意義是用梯形面積近似代替曲邊梯形的面積，故稱式為梯形求積公式，如圖所示。梯形公式當(dāng)時(shí)，若取則有：代入插值型求積公式，得：記稱為計(jì)算的梯形公式。辛普森公式辛普森公式當(dāng)時(shí)，若，則有

以上三個(gè)積分的計(jì)算中，做了變換將以上三式代入插值型求積公式得到：高斯求積公式區(qū)間經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可化為因而只需計(jì)算。構(gòu)造形如的求積公式，確定，使其代數(shù)精度為3.于是要求對(duì)于成立，將代入計(jì)算，得：

解出代入即可得的高斯公式：

為提高精度，可增加節(jié)點(diǎn)數(shù)。但是在求其待定參數(shù)時(shí)，難度大，其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值不是很高。但是，作為求解定積分的一種數(shù)值方法，高斯求積公式相對(duì)于梯形公式而言，其代數(shù)精度更高。蒙特卡羅方法

這是一種隨機(jī)試驗(yàn)方法，用它計(jì)算定積分的原理可以從以下這個(gè)直觀的例子得出。向圖中邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)隨即投入n塊小石頭，當(dāng)n足夠大時(shí)，小石頭會(huì)均勻分布在正方形中，落在四分之一圓內(nèi)的的小石頭個(gè)數(shù)記為k,則k/n

可近似看做四分之一單位圓面積。

xyo.

..a.隨機(jī)投點(diǎn)法記投點(diǎn)坐標(biāo)為，每個(gè)坐標(biāo)是（0,1）隨機(jī)數(shù)。每個(gè)落在四分之一圓內(nèi)即滿足的概率為。由大數(shù)定律，該事件發(fā)生的概率可表示為于是，可用隨機(jī)投點(diǎn)法近似計(jì)算其中，n是隨機(jī)數(shù)的總數(shù)，k是滿足條件（落在四分之一圓周內(nèi)）的數(shù)目。隨機(jī)數(shù)可由計(jì)算機(jī)方便的產(chǎn)生。b.均值估計(jì)法隨機(jī)變量的概率分布密度為則隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為當(dāng)為（0,1）區(qū)間均勻分布的隨機(jī)變量時(shí)，，則上式可表示為因此，只要產(chǎn)生（0,1）隨機(jī)數(shù)，n很大時(shí)，該期望就可以用的平均近似值表示，即有：

若區(qū)間不是（0,1），則要先做變量代換，化為（0,1）區(qū)間上的積分。一般采用的變量代換的方法是令于是：數(shù)值積分常用的幾種命令1.sum(X):輸入數(shù)組X，輸出為X的和2.cumsum(X)：輸入數(shù)組X，輸出為X的依次累加和3.trapz(x):輸入數(shù)組X，輸出為按復(fù)化梯形公式計(jì)算的X的積分（單位步長(zhǎng)）4.quad(‘fun’,a,b):辛普森公式計(jì)算在區(qū)間（a,b）上的積分，自動(dòng)選擇步長(zhǎng)，相對(duì)誤差0.001，輸出積分值。5.rand(1,n):產(chǎn)生n個(gè)（0,1）的隨機(jī)數(shù)，用于蒙特卡羅方法。問(wèn)題求解1.衛(wèi)星軌道長(zhǎng)度

人造地球衛(wèi)星軌道可視為平面上的橢圓。我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距地球表面439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地球表面2384km，地球半徑為6371km，該地球衛(wèi)星軌道長(zhǎng)度為多少？

解：

衛(wèi)星軌道橢圓參數(shù)方程為橢圓長(zhǎng)度可表示為

上式為橢圓積分，無(wú)解析表達(dá)式，不易計(jì)算。可采用數(shù)值積分的方法處理。根據(jù)梯形公式和辛普森公式計(jì)算。程序如下：function