第四章概率基礎第一節(jié)概率含義和古典概型第二節(jié)概率的基本運算第三節(jié)概率分布第四節(jié)常見的概率分布第一節(jié)概率含義和古典概型一、隨機事件（一）概念

1.定義試驗中可能出現或可能不出現的情況叫“隨機事件”,簡稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件A發(fā)生當且僅當試驗的結果是子集A中的元素

2.兩個特殊事件:必然事件S

、不可能事件

.例如

對于試驗E2

，以下A、

B、C即為三個隨機事件:A＝“至少出一個正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現一次正面”={HTT，THT，TTH再如，試驗E6中D＝“燈泡壽命超過1000小時”＝{x:1000<x<T(小時）}。

可見，可以用文字表示事件，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實質，且更便于今后計算概率還應注意，同一樣本空間中不同的事件之間有一定的關系，如試驗E2

，當試驗的結果是HHH時，可以說事件A和B同時發(fā)生了；但事件B和C在任何情況下均不可能同時發(fā)生。事件之間的關系是由他們所包含的樣本點所決定的，這種關系可以用集合之間的關系來描述。

1.包含關系“A發(fā)生必導致B發(fā)生”記為A

BA＝B

A

B且B

A.（二）事件之間的關系2.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，記作AB2’n個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作3.積事件

:A與B同時發(fā)生，記作

A

B＝AB3’n個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作

A1A2…An4.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生思考：何時A-B=?何時A-B=A？5.互斥的事件：AB＝

6.互逆的事件

A

B＝

,且AB＝

1.3頻率與概率

從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?P（A）應具有何種性質？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現6點的概率為多少？出現單數點的概率為多少？向目標射擊，命中目標的概率有多大？二、隨機事件的概率

（一）概率的統(tǒng)計定義（頻率與概率）1.定義

若對隨機試驗E所對應的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數P(A)，集合函數P(A)滿足條件：(1)P(A)≥0；(2)P(S)＝1；

(3)可列可加性：設A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)則稱P(A)為事件A的概率。2.概率的性質

(1)有限可加性：設A1，A2，…An,是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);

(3)事件差

A、B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)

(2)單調不減性：若事件A

B，則P(A)≥P(B)

(4)加法公式：對任意兩事件A、B，有

P(A

B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An的情形；(5)互補性：P(A)＝1－P(A);(6)可分性：對任意兩事件A、B，有

P(A)＝P(AB)＋P(AB).

某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數分別占全體市民人數的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.EX

解:設A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報（一）古典概型中的概率三、古典概型

設事件A中所含樣本點個數為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點總數，則有P(A)具有如下性質(1)0

P(A)

1；(2)P(

)＝1；P(

)=0(3)AB＝，則

P(A

B

)＝P(A)＋P(B)例:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?解:設A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}四、幾何概型定義：若幾何型隨機試驗E的事件A的度量大小為，E的的樣本空間的度量為，則事件發(fā)生的概率為并稱此概率為幾何概型?；拘再|：1）非負性；0

P(A)

12）規(guī)范性；P(

)＝13）有限可加性；若AB＝，則P(A

B

)＝P(A)＋P(B)4）完全可加性；設A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….例題(會面問題)兩人約定在早上8點至9點在某地會面，先到者等15分鐘離去。假定每人在1小時的任何時刻到達都是等可能的，求兩人會面的概率。解：設兩人的到達時刻分別為x和y,則兩人能會面的充要條件是如圖，問題轉化為平面區(qū)域：隨機地投一點（x,y),則故由公式有：第二節(jié)概率的基本運算

一、條件概率例1設袋中有3個白球，2個紅球，現從袋中任意抽取兩次，每次取一個，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率;（2）求第二次取到紅球的概率（3）求兩次均取到紅球的概率設A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球S=ABA——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個事件，其中A含有nA個樣本點,AB含有nAB個樣本點，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率

一般地，設A、B是S中的兩個事件，則

?“條件概率”是“概率”嗎？何時P(A|B)=P(A)?何時P(A|B)>P(A)?何時P(A|B)<P(A)?概率定義

若對隨機試驗E所對應的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實數P(A)，集合函數P(A)滿足條件：P(A)≥0；(2)P(S)＝1;(3)可列可加性：設A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,

有P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….則稱P(A)為事件A的概率。例2.一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010設A--從盒中隨機取到一只紅球.B--從盒中隨機取到一只新球.AB乘法公式設A、B

S，P（A）>0,則

P(AB)＝P(A)P(B|A).(1.5.2)式(1.5.2)就稱為事件A、B的概率乘法公式。

式(1.5.2)還可推廣到三個事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.5.3)

一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(1.5.4)例3

合中有3個紅球，2個白球，，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設Ai為第i次取球時取到白球，則二、全概率公式與貝葉斯公式例4.市場上有甲、乙、丙三家工廠生產的同一品牌產品，已知三家工廠的市場占有率分別1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產品的次品率。B定義事件組A1，A2，…，An(n可為

)，稱為樣本空間S的一個劃分，若滿足：A1A2……………AnB定理1、設A1，…,An是S的一個劃分，P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件BS有

式(1.5.5)就稱為全概率公式。例5有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個球．這六個球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？解：設A1——從甲袋放入乙袋的是白球；A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球；

甲乙定理2設A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件BS，有

式(1.4.6)就稱為貝葉斯公式。思考：上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:例題：商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？解:設A:從一箱中任取4只檢查,結果都是好的.B0,B1,B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:例6數字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收0、1和“不清”。在發(fā)1的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F接收端接收到一個“1”的信號。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解：設A---發(fā)射端發(fā)射0，

B---接收端接收到一個“1”的信號．0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)第三節(jié)概率分布

一、隨機變量定義.

設S={e}是試驗的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個單值實值函數即對于每一個e

S，有一實數X=X(e)與之對應，則稱X為隨機變量隨機變量常用X、Y、Z或、、等表示。隨機變量的特點:

1X的全部可能取值是互斥且完備的2X的部分可能取值描述隨機事件?請舉幾個實際中隨機變量的例子EX．引入適當的隨機變量描述下列事件：①將3個球隨機地放入三個格子中，事件A={有1個空格}，B={有2個空格}，C={全有球}。②進行5次試驗，事件D={試驗成功一次}，F={試驗至少成功一次}，G={至多成功3次}隨機變量的分類：隨機變量二、離散型隨機變量及其分布律1、定義：若隨機變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機變量，而稱

P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布。可表為

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2 …

xK

… Pk

p1 p2 … pk

…(1)pk

0,k＝1,2,…;(2)

例1設袋中有5只球，其中有2只白3只黑。現從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數X為k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性質例2.某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標的概率為p，以X表示命中目標的次數，求X的分布律解：設Ai

第i次射擊時命中目標，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨立且

P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

3、一般地，對離散型隨機變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數為

例1

設隨機變量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數。例2

向[0,1]區(qū)間隨機拋一質點，以X表示質點坐標.假定質點落在[0,1]區(qū)間內任一子區(qū)間內的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數解：

F(x)=P{X≤x}

當x<0時,F(x)=0;當x>1時,F(x)=1當0≤x≤1時,特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1用分布函數描述隨機變量不如分布律直觀，對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法？?ab三、連續(xù)型隨機變量

（一）概率密度

1.定義.

對于隨機變量X，若存在非負函數

f(x)，(-

<x<+

)，使對任意實數x，都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數，簡稱概率密度或密度函數.常記為

X～f(x),(-

<x<+

)密度函數的幾何意義為2.密度函數的性質

(1)非負性

f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性性質(1)、(2)是密度函數的充要性質；

EX設隨機變量X的概率密度為求常數a.答:(3)若x是f(x)的連續(xù)點，則EX設隨機變量X的分布函數為求f(x)（4）對任意實數b，若X～f(x)，

(-<x<)，則P{X=b}＝0。于是例.已知隨機變量X的概率密度為1)求X的分布函數F(x),2)求P{X

(0.5,1.5)}第四節(jié)常見的概率分布

一、貝努里(Bernoulli)概型與二項分布1.(0-1)分布

若以X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數，則稱X服從(0－1)分布(兩點分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或若以X表示n重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數，則稱X服從參數為n,p的二項分布。

記作X~B（n,p),其分布律為：2.定義設將試驗獨立重復進行n次，每次試驗中事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗為n重貝努里試驗.例3.從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數,求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:例4.

某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數不少于2的概率。泊松定理：

設隨機變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

解設X表示400次獨立射擊中命中的次數，則X～B(400,0.02)，故P{X

2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…上題用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.二、泊松(Poisson)分布P(

)X～P{X＝k}＝

k＝0,1,2,…(0)泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數

=np的泊松分布例5.設某國每對夫婦的子女數X服從參數為

的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。

解:由題意,例6.進行獨立重復試驗，每次成功的概率為p，令X表示直到出現第m次成功為止所進行的試驗次數，求X的分布律。解:m=1時,m>1時,X的全部取值為:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次試驗時成功并且在前m次試驗中成功了m-1次}三、均勻分布若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內服從均勻分布。記作

X～U(a,b)對任意實數c,d(a<c<d<b)，都有例.長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車,設乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率.1545解：設A—乘客候車時間超過10分鐘X—乘客于某時X分鐘到達，則XU(0,60)四、指數分布

若X～則稱X服從參數為

>0的指數分布。其分布函數為例.電子元件的壽命X(年）服從參數為3的指數分布(1)、求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)、已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解例.某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為T，設[0，t]時段內過橋的汽車數Xt服從參數為

t的泊松分布，求T的概率密度。解當t≤0