2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷：立體幾何解題思路突破與題型解析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)到平面π：x-2y+3z=0的距離等于（）A.2B.√14/7C.√14D.72.已知直線l：x=2y-1與平面α：x+y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影方程是（）A.x=2y-1，z=0B.x=2y，z=0C.x=2y-1，y=0D.x=2，z=03.設(shè)直線l1：x+y=1與直線l2：ax+by=0互相平行，則a與b的關(guān)系是（）A.a+b=0且ab≠0B.a-b=0且ab≠0C.a+b=0且ab=0D.a-b=0且ab=04.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為棱BB1的中點，點F為棱CC1的中點，則直線AE與平面B1C1CD的夾角大小等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°5.已知點P在平面α上，點Q在平面β上，且平面α與平面β的夾角為60°，則點P到平面β的距離等于點Q到平面α的距離的（）A.1/2倍B.√3/2倍C.2倍D.√3倍6.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1，則點P到平面ABC的距離等于（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.17.已知直線l1：x+y=1與直線l2：ax+by=0相交于點P，且∠OPP1=90°，其中點O為坐標原點，點P1為直線l1上的動點，則a與b的關(guān)系是（）A.a+b=0B.a-b=0C.ab=1D.ab=-18.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為棱AA1的中點，點F為棱BB1的中點，則直線AE與直線CF所成的角的大小等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°9.已知點A(1,2,3)，點B(3,2,1)，點C(2,1,3)，則向量AB與向量AC的夾角余弦值等于（）A.1/2B.√3/2C.√2/2D.010.在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)到直線l：x=1，y=2+z的distance等于（）A.1B.√2C.√3D.211.已知直線l1：x+y=1與直線l2：ax+by=0互相垂直，則a與b的關(guān)系是（）A.a+b=0B.a-b=0C.ab=1D.ab=-112.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=2，則點P到平面ABC的距離等于（）A.1B.√2C.√3D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）13.在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)到平面π：2x-y+3z=6的距離等于__________。14.已知直線l1：x=2y-1與平面α：x+y+z=1相交，則直線l1在平面α上的投影與直線l1所成的角等于__________度。15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為棱AA1的中點，點F為棱BB1的中點，則直線AE與直線CF所成的角的大小等于__________度。16.已知點A(1,2,3)，點B(3,2,1)，點C(2,1,3)，則向量AB與向量AC的夾角正弦值等于__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1。求：（1）二面角A-BC-P的大??；（2）點P到直線BC的距離。18.（12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為棱CC1的中點，點F為棱BB1的中點。求：（1）直線AE與平面B1C1CD所成的角的大??；（2）直線AE與直線CF所成的角的大小。19.（12分）已知點A(1,2,3)，點B(3,2,1)，點C(2,1,3)，點D(1,0,2)。求：（1）向量AB與向量AC的夾角余弦值；（2）向量AB與向量AD的夾角正弦值。20.（12分）在空間直角坐標系中，點P(1,2,3)到平面π：x-2y+3z=6的距離等于2。求平面π的方程。21.（12分）已知直線l1：x+y=1與直線l2：ax+by=0相交于點P，且∠OPP1=90°，其中點O為坐標原點，點P1為直線l1上的動點。求a與b的關(guān)系。22.（10分）在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)到直線l：x=1，y=2+z的距離等于√2。求直線l的方程。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：點A(1,2,3)到平面π：x-2y+3z=0的距離d=|1*1-2*2+3*3|/√(1^2+(-2)^2+3^2)=√142.答案：B解析：將直線x=2y-1代入平面方程得3y-1+z=1，即z=1-3y，所以投影方程為x=2y，z=03.答案：A解析：兩直線平行則斜率相等，由x+y=1得斜率為-1，由ax+by=0得斜率為-b/a，所以-b/a=-1即a+b=0，且ab≠04.答案：C解析：取B1(1,1,1)，C1(1,1,0)，D(1,0,0)，則AE中點E(1,3/2,3)，B1C1CD平面方程為x+z=2，向量AE(0,1/2,0)，夾角cosθ=|0*0+1/2*0+0*1|/√(0^2+(1/2)^2+0^2)=0，所以θ=90°，實際夾角為60°5.答案：B解析：設(shè)點P到平面β距離為h1，點Q到平面α距離為h2，由三棱錐體積公式V=1/3*底面積*高，得h1/h2=√3/26.答案：D解析：平面ABC為等邊三角形，高為√3/2，P到平面距離為PA=17.答案：A解析：點P在l1上，斜率為-1，點P1在l1上，斜率也為-1，OP垂直O(jiān)P1，所以a+b=08.答案：B解析：向量AE(0,1/2,2)，向量CF(-1,1/2,-1)，內(nèi)積=0*(-1)+1/2*1/2+2*(-1)=-7/4，模長分別為√(5/4+4)和√(5/4+1)，cosθ=-7/4/(√45/4*√9/4)=√2/2，θ=45°9.答案：C解析：向量AB(2,0,-2)，向量AC(1,-1,0)，內(nèi)積=2*1+0*(-1)+(-2)*0=2，模長分別為2√2，√2，cosθ=2/(2√2*√2)=1/2，θ=60°10.答案：C解析：垂足為(1,2,3)，所以距離為√((1-1)^2+(2-2)^2+(3-3)^2)=√311.答案：D解析：兩直線垂直則斜率乘積為-1，由x+y=1得斜率為-1，由ax+by=0得斜率為-b/a，所以-b/a*(-1)=-1即ab=-112.答案：D解析：同第6題，平面ABC為等邊三角形，高為√3/2，P到平面距離為PA=2二、填空題答案及解析13.答案：2√14/7解析：距離d=|2*1-2*2+3*3|/√(2^2+(-2)^2+3^2)=2√14/714.答案：45解析：投影與原直線夾角為45°，因為投影是原直線在平面上的正射影15.答案：60解析：同第8題，夾角為45°16.答案：√3/2解析：同第9題，sinθ=√3/2三、解答題答案及解析17.解：（1）取AC中點O，連PO，由PA⊥平面ABC得PO⊥AC，連AO，∠PAO為二面角平面角，tan∠PAO=AO/PA=√2/1=√2，∠PAO=60°（2）過P作PO⊥BC，交BC于O，由PA⊥平面ABC得PO⊥BC，PO=√6/3，BC=√2，所以距離=PO*BC/BC=√6/318.解：（1）取C(1,1,1)，B1(1,1,0)，D(1,0,0)，E(1,1,1/2)，F(xiàn)(1,1,0)，向量AE(0,1/2,1/2)，平面B1C1CD方程為x+z=2，夾角cosθ=|0*0+1/2*(-1)+1/2*1|/√(1/4+1/4)*√2=1/2√2，θ=45°（2）向量AE(0,1/2,1/2)，向量CF(-1,0,1/2)，內(nèi)積=-1/2+1/4=1/4，模長分別為√5/4，√17/4，cosθ=1/4/(√5/4*√17/4)=√85/17，θ≈39°19.解：（1）向量AB(2,0,-2)，向量AC(1,-1,0)，內(nèi)積=2*1+0*(-1)+(-2)*0=2，模長分別為2√2，√2，cosθ=2/(2√2*√2)=1/2，θ=60°（2）向量AD(0,-2,-1)，向量AB(2,0,-2)，內(nèi)積=2*0+0*(-2)+(-2)*(-1)=2，模長分別為√5，2√2，sinθ=2/(√5*2√2)=√10/1020.解：設(shè)平面方程為ax+by+cz+d=0，代入P(1,2,3)得a*1+b*2+c*3+d=0，代入距離公式得|a*1+b*2+c*3+d|/√(a^2+b^2+c^2)=2，聯(lián)立得a+b+c+d=0，a^2+b^2+c^2=9，解得a=1,b=1,c=1