第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省無(wú)錫市宜興市某校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，共40分。1.已知復(fù)數(shù)z滿足zz+2=1+2i，則z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)α是平面，m，n是兩條直線，則下列命題正確的是(

)A.若m//α，n//α，則m//n B.若m⊥α，n//α，則m⊥n

C.若m//α，m//n，則n//α D.若m，n與α所成的角相等，則m//n3.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事．“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．”雙方從各自的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為(

)A.13 B.14 C.154.若數(shù)據(jù)x1，x2，?，x10的平均數(shù)為3，方差為4，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.i=110xi=30

B.數(shù)據(jù)4x1+1，4x2+1，?，4x10+1的平均數(shù)為13

C.5.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,|a?A.18a B.14a C.6.攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120°、半徑為33的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為(

)A.26π

B.32π7.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角泰”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原.小明在和家人一起包粽子時(shí)，想將一丸子(近似為球)包入其中，如圖，將粽葉展開(kāi)后得到由六個(gè)邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，將粽葉沿虛線折起來(lái)，可以得到如圖所示的粽子形狀的六面體，則放入丸子的半徑最大值為(

)A.33 B.63 C.8.已知銳角△ABC的面積為23，A=π3，則邊ABA.(1,2) B.(2,22)二、多選題：本大題共3小題，共18分。9.在一個(gè)密閉的盒子中放有大小和形狀都相同，編號(hào)分別為1，2，3，4的4張卡牌，現(xiàn)從中依次不放回摸出兩張卡牌，記事件A=“第一次摸出的卡牌的編號(hào)為奇數(shù)”，事件B=“摸出的兩張卡牌的編號(hào)之和為5”，事件C=“摸出的兩張卡牌的編號(hào)之和為6”，則(

)A.事件B與事件C為互斥事件 B.P(C)=13

C.事件A與事件B相互獨(dú)立 10.已知向量a，b滿足|a|=1，b=(3,1)A.若a⊥b，則a=(12,?32)

B.若λa+b=0，則λ=211.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1A.若DP//平面CEF，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為22

B.若AP=17，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為π2

C.存在P滿足AP+PC1=210

三、填空題：本大題共3小題，共15分。12.在對(duì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為170和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為160和17，則估計(jì)出總樣本的方差為_(kāi)_____．13.已知一元二次方程x2+px+5=0的兩個(gè)虛根分別為x1，x2，且滿足|x14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓的三條圓弧(劣弧)沿著三角形的邊進(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心(即三角形三條高線的交點(diǎn))如圖，已知銳角△ABC外接圓的半徑為4，且三條圓弧沿△ABC三邊翻折后交于點(diǎn)P.若AB=6，則cos∠PAC=______；若AC：AB：BC=6：5：4，則PA+PB+PC的值為_(kāi)_____．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.某市為了解人們對(duì)火災(zāi)危害的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次消防知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，將這m人按年齡分成5組，其中第一組為[20,25)，第二組為[25,30)，第三組為[30,35)，第四組為[35,40)，第五組為[40,45)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值；

(2)利用頻率分布直方圖，估計(jì)這m名市民年齡的平均數(shù)x?和第74百分位數(shù)y；

(3)現(xiàn)從第三、四、五組中采用分層抽樣的方法選取6人擔(dān)任本市的消防安全宣傳使者，再?gòu)闹须S機(jī)抽取2人作為組長(zhǎng)，求組長(zhǎng)中至少有一人的年齡在第四組內(nèi)的概率．16.如圖所示，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=120°，BD=2DA，CE=2EB．

(1)求AE?CD的值；

(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)F，使得17.2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開(kāi)了2024年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)工作.若某市經(jīng)過(guò)初次選拔后有甲、乙、丙三名同學(xué)成功進(jìn)入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中這三名同學(xué)同時(shí)解答一道有關(guān)組合數(shù)論的試題.已知甲同學(xué)成功解出這道題的概率是23，甲、丙兩名同學(xué)都解答錯(cuò)誤的概率是16，乙、丙兩名同學(xué)都成功解出的概率是38，且這三名同學(xué)能否成功解出該題相互獨(dú)立．

(1)求乙、丙兩名同學(xué)各自成功解出這道題的概率；

(2)18.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量m=(1,3sinB?cosB)，n=(cosA,cosC)，m//n．

(1)求角A；

(2)若a=3，S△ABC=334，D為線段19.如圖①，已知ΔAB′C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AB′的中點(diǎn)，DH⊥B′C，如圖②，將△B′DH沿邊DH翻折至△BDH．

(1)在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得AF//面BDH？若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)在(1)的條件下，BC=2，求證：AF⊥BC；

(3)若VH?BCD=332，求二面角答案解析1.【答案】C

【解析】解：由題意，z=(1+2i)(z+2)=z+2+2zi+4i，

解得z=?1?2ii=(?1?2i)ii?i=?2+i，則z?=?2?i，

因此z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(?2,?1)位于第三象限．

2.【答案】B

【解析】解：若m/?/α，n/?/α，則m與n可能平行、相交或異面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若m⊥α，n/?/α，則m⊥n，所以B選項(xiàng)正確；

若m/?/α，m/?/n，則n/?/α或n?α，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若m，n與α所成的角相等，則m/?/n或m與n相交或異面，

例如：圓錐的母線與底面所成的角都相等，但母線之間可能相交，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：B．

根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系的相關(guān)定理，結(jié)合舉例，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．3.【答案】A

【解析】【分析】本題考查古典概型的概率求法，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，設(shè)齊王的上，中，下三個(gè)等次的馬分別為a，b，c，田忌的上，中，下三個(gè)等次的馬分別為記為A，B，C，用列舉法列舉齊王與田忌賽馬的情況，進(jìn)而可得田忌勝出的情況數(shù)目，進(jìn)而由古典概型的概率公式計(jì)算可得答案．【解答】

解：設(shè)齊王的上，中，下三個(gè)等次的馬分別記為a，b，c，

田忌的上，中，下三個(gè)等次的馬分別記為A，B，C，

從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽的所有的可能為Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9種可能，

根據(jù)題設(shè)其中Ab，Ac，Bc是勝局，共3種可能，

則田忌的馬獲勝的概率為39=13．4.【答案】ABC

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)據(jù)x1，x2，?，x10的平均數(shù)為3，

所以i=110xi=10×x?=10×3=30，故A正確；

對(duì)于B，由4x1+1，4x2+1，?，4x10+1的平均數(shù)為4x?+1=4×3+1=13，故B正確；

對(duì)于C，因?yàn)閿?shù)據(jù)x1，x2，?，x10的方差為4，

所以110i=110(xi?x?)2=4，

所以i=110(xi2?2x?xi5.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閨a?b|=2，

所以(a?b)2=a2+b2?2a?b=4，

因?yàn)閨a|=2,|b6.【答案】A

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為?，

因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120°，半徑為33的扇形，

所以2πr=33×2π3，解得r=3，

所以圓錐的高?=(337.【答案】C

【解析】解：由題意粽葉展開(kāi)后得到由六個(gè)邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，

可得這六個(gè)等邊三角形圍成的六面體就是正六面體，

所以可知內(nèi)切球的球心一定是正六面體的中心，且球心到六個(gè)面的距離相等，這個(gè)距離就是內(nèi)切球的半徑．

由于正六面體是由兩個(gè)正四面體組成，根據(jù)棱長(zhǎng)為6cm，如圖可知：

AG=6×32=33,AO=23×33=23，

根據(jù)勾股定理EO=36?12=26，

所以正四面體E?ABC的體積為138.【答案】C

【解析】解：由題意，銳角△ABC中A=π3，可得B+C=2π3，

所以0<B=2π3?C<π20<C<π2?π6<C<π2，同理可得π6<B<π2，

由題意可得三角形面積S=12bcsinA=23，則bc=8，

由正弦定理可得b=csinBsinC，

可得c2sinBsinC=8，

9.【答案】ACD

【解析】解：從中依次不放回摸出兩張卡牌，樣本空間為{12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43}，共12個(gè)樣本點(diǎn)．

事件A=“第一次摸出的卡牌的編號(hào)為奇數(shù)”，樣本點(diǎn)有{12,13,14,34,31,32}，共6個(gè)樣本點(diǎn)；

事件B=“摸出的兩張卡牌的編號(hào)之和為5”，樣本點(diǎn)有{23,32,14,41}，共4個(gè)樣本點(diǎn)；

事件C=“摸出的兩張卡牌的編號(hào)之和為6”，樣本點(diǎn)有{24,42}，共2個(gè)樣本點(diǎn)．

對(duì)于A，A∩B=?，所以事件B與事件C為互斥事件，故A正確；

對(duì)于B，P(C)=212=16，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，P(A)=612=12，P(B)=412=13，

AB包含的基本事件有14，32，所以P(AB)=212=16，

因?yàn)镻(AB)=P(A)P(B)=16，所以事件A與事件B相互獨(dú)立，故C正確；

對(duì)于D，P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)=12+13?16=10.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)b=(3,1)，a⊥b，可得a=λ(1,?3)，

結(jié)合|a|=1，可得λ2(1+3)=1，解得λ=±12，

所以a=(12,?32)或a=(?12,32)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；

若λa+b=0，則b=?λa，可得|b|=|λ||a|=2，所以λ=±2，B項(xiàng)錯(cuò)誤；

根據(jù)|a|=1，|b|=3+1=2，11.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，取A1D1，A1B1中點(diǎn)N，M，且連接B1D1，NE，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱B1C1，C1D1的中點(diǎn)，

所以易得四邊形BB1D1D是平行四邊形，四邊形NDCE是平行四邊形，

所以ND//CE，又ND?平面CEF，CE?平面CEF，所以ND//平面CEF，

因?yàn)锽D?平面CEF，EF?平面CEF，所以BD/?/平面CEF，

而B(niǎo)D∩ND=D，BD，ND?面MNDB，

所以面MNDB//平面CEF，又P是正方形A1B1C1D1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

且DP/?/平面CEF，平面MNDB和平面CEF與平面A1B1C1D1相交，EF，MN是交線，

所以P的軌跡為線段MN，且MN=4+4=22，所以A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，如圖，若AP=17，此時(shí)AA1⊥平面A1B1C1D1，

所以AA1⊥A1P，由勾股定理得A1P=17?16=1，

所以P的軌跡為在面A1B1C1D1內(nèi)，以A1為圓心，1為半徑的14圓弧，

所以P的軌跡長(zhǎng)度為14×2π=π2，故B正確，

對(duì)C：如圖：

因?yàn)锳C1=43，且AP+PC1≥AC1=43，43>210，

所以不存在P滿足AP+PC1=210，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，如圖，取PF的中點(diǎn)G，AC的中點(diǎn)H，連接PE，GH，PF，

易知C1F=C1E=B1E=B1P=2，所以EF=PE=22，

而PF=4，所以EF2+PE2=PF2，所以EF⊥PE12.【答案】39

【解析】解：因?yàn)槌槿×四猩?0人，其平均數(shù)和方差分別為170和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為160和17，

所以總平均數(shù)x?=170×20+160×3050=164，

則總樣本方差s2=2020+3013.【答案】±2

【解析】解：設(shè)x1=a+bi，x2=a?bi(a,b∈R)，

則x1+x2=2a=?px1x2=a2+b2=5．

而|x1?x2|=|2bi|=4，解得b=±2，a=±1，

所以當(dāng)a=1時(shí)，p=?2；當(dāng)a=?1時(shí)，14.【答案】34

23【解析】解：設(shè)外接圓半徑為R，則R=4，

由正弦定理可得ABsin∠ACB=6sin∠ACB=2R=8，

即sin∠ACB=68=34，

由于∠ACB是銳角，

所以cos∠ACB=74，

由題意可知P為三角形ABC的垂心，即AP⊥BC，

所以∠PAC=π2?∠ACB，

所以sin∠PAC=cos∠ACB=74，

cos∠PAC=1?(74)2=34，

設(shè)∠CAB=θ，∠CBA=α，∠ACB=β，

則∠PAC=π2?β，∠PBA=π2?θ，∠PAB=π2?α，

由于AC：AB：BC=6：5：4，

不妨設(shè)AC=6，AB=5，BC=4，

由余弦定理可得cosθ=62+52?422×6×5=34，cosα=42+52?615.【答案】a=0.04；

x?=32.25，b=36；

3【解析】(1)根據(jù)題意可得0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1，解得a=0.04；

(2)設(shè)這m人的平均年齡為：

x?=22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.25歲，

因?yàn)榍皫捉M的頻率依次為0.05，0.35，0.3，0.2，

所以第74百分位數(shù)在[35,40)之間，且為35+0.74?0.70.04=36；

(3)若現(xiàn)從第三、四、五組中采用分層抽樣的方法選取6人擔(dān)任本市的消防安全宣傳使者，

則從第三、四、五組中需依次選取6×0.060.06+0.04+0.02=3,6×0.040.06+0.04+0.02=2,6×0.020.06+0.04+0.02=1人，

再?gòu)闹须S機(jī)抽取2人作為組長(zhǎng)，求組長(zhǎng)中至少有一人的年齡在第四組內(nèi)的概率為P=1?4×36×5=1?25=3516.【答案】?49；

存在，30【解析】(1)因?yàn)锽D=2DA，CE=2EB，

所以AE=AC+CE=AC+23CB=AC+23(AB?AC)=23AB+13AC，

CD=CA+AD=13AB?AC，

所以AE?CD=(23AB+13AC)?(13AB?AC)=29AB2?59AB?AC?13AC17.【答案】34,12；

【解析】(1)記事件A=“甲成功解出這道題”，事件B=“乙成功解出這道題”，事件C=“丙成功解出這道題”，

則P(A)=23，P(A?C?)=[1?P(A)][1?P(C)]=16，解得P(C)=12，

又P(BC)=P(B)P(C)=38，解得P(B)=34，

故乙、丙兩名同學(xué)各自成功解出這道題的概率分別為34,12．

(2)記這三名同學(xué)中不少于兩名同學(xué)成功解出這道題為事件D，

18.【答案】A=π3；

AD=32；

【解析】(1)因?yàn)橄蛄縨=(1,3sinB?cosB)，n=(cosA,cosC)，m//n，

則有1×cosC?cosA?(3sinB?cosB)=0，

整理可得cosC+cosAcosB=3sinBcosA，

在△ABC中，cosC=?cos(A+B)=?cosAcosB+sinAsinB，

可得sinAsinB=3sinBcosA，

又因?yàn)閟inB>0，

可得tanA=3，

又因?yàn)锳∈(0,π)

所以A=π3；

(2)因?yàn)閍=3，S△ABC=334，

可得S△ABC=12bcsinA=143bc=334，

可得bc=3，

由余弦定理可得a2=3=b2+c2?2bccosA=b2+c2?bc=b2+c2?3，

可得6=b2+c2，

因?yàn)镈為線段BC中點(diǎn)，

所以AD=12AC+12AB，

所以AD2=14AC2+14AB2+12AC?AB=1419.【答案】存在，當(dāng)BFFC=12時(shí)，A