第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年安徽省安慶市重點中學高二（下）聯(lián)考數(shù)學試卷（6月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2=3，A.21 B.22 C.11 D.122.(1+x)(1?x)6展開式中，x5A.21 B.9 C.?21 D.?93.函數(shù)f(x)=e2x?3x的極小值為A.1+3ln2 B.3ln2?78 C.124.已知X～N(3,4)且P(X>4)=P(X<a)，a的值為(

)A.2 B.3 C.4 D.65.從1，2，…，10中取三個不同的數(shù)，按從小到大的順序排列，組成的數(shù)列是等差數(shù)列的概率為(

)A.13 B.112 C.146.某次考試成績X服從正態(tài)分布N(75,σ2).若P(60≤X≤90)=35，則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，至少有2名考生的成績高于A.9125 B.13125 C.441257.若不等式ex≥kx(e=2.71828...為自然對數(shù)的底數(shù))對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的最大值為(

)A.0 B.1 C.e D.e8.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，斜率為12的直線l交雙曲線于M，N，O為坐標原點，PA.2 B.5 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.若隨機變量X和Y滿足Y=2X+1，且D(X)=3，則D(Y)=7

B.若隨機變量X～N(3,σ2)，P(X≤5)=0.7，則P(X≤1)=0.3

C.若隨機變量X～B(8,23)，則E(X)=163

D.在含有410.已知函數(shù)f(x)=2lnx?x2，則(

)A.函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞) B.函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)

C.函數(shù)f(x)的極小值點為1 D.函數(shù)f(x)的最大值為?111.已知點P(32,3)是拋物線C：y2=2px(p>0)上的一點，過C的焦點F的兩條互相垂直的直線l1，l2分別與C交于點A，B和點D，E，其中點A，D均在x軸的上方，過點P分別作l1，lA.|PF|=3

B.若AF=3FB，則直線l1的傾斜角為π6

C.1|AB|+1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知隨機變量X～B(n,p)，若E(X)=52，D(X)=54，則p=13.曲線y=ex+2sinx在點(0,1)處的切線方程為

14.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F(1,0)，C的準線與x軸的交點為T，若過點T的直線l與C交于A，B兩點，且|FA|=3|FB|，則△TFA的面積等于______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知(2x+13x)n展開式中，第三項的系數(shù)與第四項的系數(shù)相等．

(1)求n的值及系數(shù)最大的項；

(2)求展開式中有理項的系數(shù)之和(16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x?2lnx，g(x)=ax?3lnx+3．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2xlnx?a(x2?1)(a∈R)．

(1)若a=1，求證：f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

(2)若f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，求18.(本小題17分)

某試點高校校考過程中筆試通過后才能進入面試環(huán)節(jié).2025年報考該試點高校的學生的筆試成績X′近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2).其中，μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2.已知μ的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計總體．

(1)若筆試成績高于76.5進入面試，若從報考該試點高校的學生中隨機抽取10人，設(shè)其中進入面試學生數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的期望．

(2)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學生進入了面試，且他們通過面試的概率分別為13、13、12、12.設(shè)這419.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上右頂點到左焦點的距離為2+2，上頂點的坐標為(0,2)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P(4,0)，A，B是橢圓C上關(guān)于x參考答案1.A

2.B

3.D

4.A

5.D

6.B

7.C

8.A

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.1213.y=3x+1

14.215.(1)展開式的通項為Tk+1=Cnk2n?kx3n?4k3(k=0,1,2,3,?,8)，

由題可得Cn22n?2=Cn32n?3，

則n(n?1)=n(n?1)(n?2)6，解得n=8，所以Tk+1=C8k28?kx24?4k3，

設(shè)展開式中第r+1項的系數(shù)最大，其系數(shù)為C8r28?r，

則滿足C8r28?r≥C8r?129?rC8r28?r≥C8r+127?r，解得2≤r≤3，

因為r∈N，所以r=2或r=3時系數(shù)最大，

當r=2時，T16.(1)函數(shù)f(x)定義域為(0,+∞)，f′(x)=1?2x=x?2x，

令f′(x)>0得x>2，令f′(x)<0得0<x<2，

所以f(x)的增區(qū)間為(2,+∞)，減區(qū)間為(0,2)．

(2)因為x?2lnx≥ax?3lnx+3(x>0)，所以ax≤lnx+x?3，

即a≤x?lnx+x2?3x．

令?(x)=x?lnx+x2?3x，那么?′(x)=lnx+2x?2，

因為?′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增且?′(1)=0．

所以當0<x<1時，?′(x)<0，?(x)在(0,1)單調(diào)遞減；17.(1)證明：若a=1，那么函數(shù)f(x)=2xlnx?x2+1，因此導函數(shù)f′(x)=2lnx+2?2x，

令函數(shù)g(x)=f′(x)，因此導函數(shù)g′(x)=2x?2=2(1?x)x，

因此當x>1時，g′(x)<0，當0<x<1時，g′(x)>0，

因此函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

因此g(x)≤g(1)=0，即f′(x)≤0，因此函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

(2)若f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，即為2lnx?a(x?1x)≤0在[1,+∞)上恒成立，

令函數(shù)?(x)=2lnx?a(x?1x),x∈[1,+∞),

因此導函數(shù)?′(x)=2x?a(1+1x2)=(1+1x2)(2xx2+1?a)，

由于2xx2+1≤x2+1x2+1=1，當且僅當x=1時等號成立，

當a≥1時，導函數(shù)?′(x)≤0，因此函數(shù)?(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，

因此?(x)≤?(1)=0，符合題意；

當0<a<1時，令導函數(shù)?′(x)=0，因此2x+1x=a，設(shè)方程的解為x0∈(1,+∞)，

由于y=x+1x在區(qū)間(1,+∞)18.(1)由μ≈76.5，可得P(ξ>76.5)=12，

即從所有報考該試點高校的學生中隨機抽取1人，該學生筆試成績高于76.5的概率為12

所以隨機變量ξ服從二項分布ξ～(10,12)，故隨機變量ξ的期望為：E(ξ)=10×12=5；

(2)根據(jù)題目X的可能取值為0，1，2，3，4，

P(X=0)=C20×(1?13)2X01234P111311因此E(X)=0