高數(shù)函數(shù)考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)2.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=x+1\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\sinx\)3.函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^2}\)的值域是（）A.\([0,+\infty)\)B.\([0,2]\)C.\([-2,2]\)D.\((-2,2)\)4.已知\(f(x+1)=x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\((x-1)^2\)B.\(x^2-1\)C.\(x^2+1\)D.\((x+1)^2\)5.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的反函數(shù)是（）A.\(y=e^x+1\)B.\(y=e^x-1\)C.\(y=\lnx-1\)D.\(y=\lnx+1\)6.若\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)，則\(\lim\limits_{x\toa}f(x)\)=（）A.\(f(a)\)B.\(0\)C.不存在D.以上都不對7.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的駐點是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)8.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)9.已知\(f^\prime(x)=2x\)，則\(f(x)\)=（）A.\(x^2+C\)B.\(x^2\)C.\(2x+C\)D.\(2x\)10.\(\intx^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\frac{1}{2}x^3+C\)C.\(x^3+C\)D.\(3x^3+C\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中是基本初等函數(shù)的有（）A.\(y=x\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\log_2x\)2.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導的充分必要條件是（）A.左導數(shù)存在B.右導數(shù)存在C.左導數(shù)等于右導數(shù)D.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)3.下列函數(shù)中在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=-x\)4.曲線\(y=x^3-3x^2+2\)的極值點可能是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=3\)5.下列等式正確的有（）A.\((\sinx)^\prime=\cosx\)B.\((\cosx)^\prime=-\sinx\)C.\((e^x)^\prime=e^x\)D.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)6.已知\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(F(x)\)，則（）A.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)B.\(F^\prime(x)=f(x)\)C.\(\intF^\prime(x)dx=F(x)+C\)D.\(f^\prime(x)=F(x)\)7.下列積分中，值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-a}^{a}x^3dx\)B.\(\int_{-a}^{a}\sinxdx\)C.\(\int_{-a}^{a}x^2dx\)D.\(\int_{-a}^{a}\cosxdx\)8.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內(nèi)可導C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(a)\neqf(b)\)9.下列函數(shù)中為復合函數(shù)的有（）A.\(y=\sin(2x+1)\)B.\(y=e^{x^2}\)C.\(y=\sqrt{x^2+1}\)D.\(y=x^2+1\)10.若\(f(x)\)在\(x=x_0\)處取得極大值，則（）A.\(f^\prime(x_0)=0\)B.\(f^\prime(x_0)\)不存在C.\(f^{\prime\prime}(x_0)\lt0\)D.\(f^{\prime\prime}(x_0)\gt0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是\(x\geq1\)。（）2.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)。（）3.函數(shù)\(y=x^2+1\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞減。（）4.函數(shù)在某點可導，則一定在該點連續(xù)。（）5.若\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。（）6.曲線\(y=x^3\)沒有拐點。（）7.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)。（）8.函數(shù)\(y=\sinx\)的周期是\(2\pi\)。（）9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是凸函數(shù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-4}\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x^2-4\neq0\)，即\((x+2)(x-2)\neq0\)，解得\(x\neq\pm2\)，定義域為\(x\neq\pm2\)的全體實數(shù)。2.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的導數(shù)。答案：根據(jù)求導公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=(x^3-3x^2+5)^\prime=3x^2-6x\)。3.計算\(\int(2x+1)dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)，\(\int(2x+1)dx=2\intxdx+\int1dx=x^2+x+C\)。4.簡述函數(shù)極限的定義。答案：設函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)，總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當\(x\)滿足\(0\lt|x-x_0|\lt\delta\)時，對應的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足\(|f(x)-A|\lt\varepsilon\)，那么就稱常數(shù)\(A\)是函數(shù)\(f(x)\)當\(x\tox_0\)時的極限。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)性與極值。答案：先求導\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime=0\)得\(x=\pm1\)。當\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)遞增；當\(-1\ltx\lt1\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)遞減。極大值\(y(-1)=2\)，極小值\(y(1)=-2\)。2.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在不同區(qū)間的凹凸性。答案：對\(y=\frac{1}{x}\)求二階導數(shù)，\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}\)，\(y^{\prime\prime}=\frac{2}{x^3}\)。當\(x\gt0\)時，\(y^{\prime\prime}\gt0\)，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上是凹的；當\(x\lt0\)時，\(y^{\prime\prime}\lt0\)，函數(shù)在\((-\infty,0)\)上是凸的。3.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分的