3.6角第三章圖形的初步認識第1課時

角逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標課時講解1課時流程2角的定義角的表示方法角的度量單位及換算方位角知1－講感悟新知知識點角的定義11.角的定義定義圖例組成元素“靜”態(tài)的觀點由兩條有公共端點的射線組成的圖形叫做角這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊，角的大小與邊的長短無關(guān)“動”態(tài)的觀點由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊

感悟新知知1－講特別提醒1.構(gòu)成角的要素是頂點、兩邊，且兩邊都是射線.2.角的大小與其邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩邊張開的幅度有關(guān).3.平角的兩邊成一條直線，但不能說平角就是直線；周角的兩邊重合形成一條射線，但不能說周角就是射線.感悟新知2.平角與周角繞著射線的端點旋轉(zhuǎn)到角的終邊和始邊成一條直線，這時所成的角叫做平角，如圖3.6-1所示.繞著射線的端點旋轉(zhuǎn)到終邊和始邊再次重合，這時所成的角叫做周角，如圖3.6-2所示.知1－講知1－練感悟新知下列說法：①兩條射線組成的圖形是角；②角的大小與其邊的長短有關(guān)；③角的兩邊是兩條射線；④一條直線可以看成一個平角.其中，正確說法的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4例1知1－練感悟新知解：①若兩條射線無公共端點，則構(gòu)成的圖形不是角；②角的大小與其邊的長短無關(guān)；④直線和平角是兩個不同的概念.只有③是正確的.解題秘方：緊扣定義中的關(guān)鍵詞進行辨析.答案：A知1－練感悟新知1-1.下列說法：①平角就是直線；②兩條射線組成的圖形叫角；③角的兩邊是兩條線段.其中正確的有(

)A.0個B.1個C.2個D.3個A知1－練感悟新知1-2.用5倍的放大鏡看10°的角，觀察到角的度數(shù)為(

)A.?10°B.50°C.2°D.都不對A感悟新知知2－講知識點角的表示方法2角的幾何符號為“∠”，角的表示方法有以下幾種：表示方法圖例記法方法解讀用三個大寫字母表示∠AOB

或∠BOA字母O

表示頂點，要寫在中間，A，B

表示角的兩邊上的點，用該表示法可以表示任何一個角

感悟新知知2－講續(xù)表表示方法圖例記法方法解讀用一個大寫字母表示∠O當以某一個字母表示的點為頂點的角只有一個時，可用這個頂點的字母來表示該角用數(shù)字表示∠1在靠近角的頂點處加上弧線，并標上數(shù)字或希臘字母.該表示法形象直觀用希臘字母∠α

知2－講感悟新知特別提醒1.用數(shù)字或希臘字母表示角時，要在角的內(nèi)部，靠近角的頂點處加上弧線表示角的范圍，即從哪邊到哪邊.2.如無特殊說明，在初中階段所說的角一般都是指小于平角的角.感悟新知知2－練如圖3.6-3，寫出符合以下條件的角：(1)能用一個大寫字母表示的角；(2)以A

為頂點的角；(3)小于平角的角.例2

知2－練感悟新知解題秘方：先要明確角的表示方法的“適用范圍”，再根據(jù)圖形的特點及題意要求將每個角用合適的方法表示.解：(1)∠B、∠C.(2)∠BAC、∠BAD(或∠1)、∠CAD(或∠2)

.(3)∠BAC、∠B、∠C、∠1、∠2、∠3、∠4.知2－練感悟新知2-1.如圖，∠ABC

可以表示成∠______或∠______，∠α可以表示成_________________，∠2可以表示成__________________

.1B∠ACB(或∠BCA)∠CAD(或∠DAC)感悟新知知3－講知識點角的度量單位及換算31.角的度量單位???度、分、秒是常用的角的度量單位.把周角等分成360份，每一份就是1度的角，1度記作1°；把1度等分成60份，每一份就是1分，記作1′；把1分再等分成60份，每一份就是1秒，記作1″.感悟新知知3－講

感悟新知知3－講4.角的分類??從角的度數(shù)看，大于0°且小于90°的角是銳角；等于90°的角是直角；大于90°且小于180°的角是鈍角，如圖3.6-4所示.知3－講感悟新知要點歸納1.角的度、分、秒是60進制的，這和計量時間的時、分、秒是一樣的.2.使用三角尺可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角，使用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角.知3－練感悟新知[母題教材P154例1](1)將57.32°用度、分、秒表示；(2)將10°6′36″用度表示.例3解題秘方：利用高級單位和低級單位之間相互轉(zhuǎn)化的方法進行計算.知3－練感悟新知解：57.32°=57°+0.32°=57°+0.32×60′=57°+19.2′=57°+19′+0.2×60″=57°+19′+12″=57°19′12″.

(1)將57.32°用度、分、秒表示；(2)將10°6′36″用度表示.大單位化小單位乘60.小單位化大單位除以60.知3－練感悟新知3-1.下列各式中，正確的角度互化是(

)A.?63.5°=63°50′B.23°12′36″=23.48°C.18°18′18″=18.33°D.22.25°=22°15′D感悟新知知4－講知識點方位角41.方位角?用角度和方向表示方位的角.如圖3.6-5，與地面上的方向順序相同.感悟新知知4－講2.方位角的描述?一般地，方位角是以測量點的第一個方向(正南或正北)為角的始邊向第二個方向轉(zhuǎn)動到目標方向線所形成的角.特殊方位角：(1)東北方向為北偏東45°；(2)東南方向為南偏東45°；(3)西南方向為南偏西45°；(4)西北方向為北偏西45°.知4－講感悟新知特別提醒1.在平面圖上方向為“上北，下南，左西，右東”.2.方位角為方向線與正北或正南方向所成的夾角，所以把南或北寫在前，把東或西寫在后，用兩個方向表示(如北偏東60°)

.感悟新知知4－練[母題教材P155例2]在圖3.6-6中畫出表示下列方向的射線：(1)北偏東30°；(2)北偏西65°；(3)南偏西25°.例4

知4－練感悟新知解題秘方：“偏”的意思是“旋轉(zhuǎn)”，如“北偏東”是指“由正北向東旋轉(zhuǎn)”.解：如圖3.6-6所示.(1)射線OA

表示北偏東30°；(2)射線OB

表示北偏西65°；(3)射線OC

表示南偏西25°.知4－練感悟新知4-1.如圖，關(guān)于圖中四條射線的方向，下列說法錯誤的是(

)A.?OC方向是南偏西25°B.?OB方向是北偏西15°C.?OA方向是北偏東35°D.?OD方向是東南方向C感悟新知知4－練如圖3.6-7，已知點A

在點O

的南偏西75°方向上，∠AOB=135°，則點B在點O

的什么方向上？例5知4－練感悟新知解題秘方：說明方向線的位置需要求方位角，求方位角就是求方向線與南北方向線之間的夾角.知4－練感悟新知解：因為點A

在點O

的南偏西75°方向上，所以∠1=75°.所以∠2=90°－75°=15°.又因為∠AOB=135°，所以∠3=135°－90°－15°=30°.所以點B

在點O的北偏東30°方向上.南北線和東西線的夾角等于90°.知4－練感悟新知5-1.在一張城市地圖上，有學(xué)校、醫(yī)院、圖書館三地，由于墨跡污染，圖書館的具體位置已經(jīng)看不清了，但知道圖書館在學(xué)校的北偏東30°方向上，在醫(yī)院的西北方向上，你能確定圖書館的位置嗎？請畫出來.解：圖書館的位置如圖所示．角度量單位方位角角定義表示方法角度的換算3.6角第三章圖形的初步認識第2課時角的比較和運算逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標課時講解1課時流程2角的大小比較作一個角等于已知角角的和差角的和差知1－講感悟新知知識點角的大小比較11.度量法?用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.感悟新知2.疊合法?把要比較的兩個角的頂點重合，把它們的一條邊疊合在一起，并使兩個角的另一邊都在重合的這一條邊的同側(cè)，通過觀察另一條邊的位置來比較兩個角的大小，如圖3.6-12所示.知1－講感悟新知知1－講特別提醒使用疊合法比較角的大小時要注意兩點：1.重合，即頂點重合，一條邊重合；2.同側(cè)，即另一條邊放在重合邊的同一側(cè).知1－練感悟新知[母題教材P160練習(xí)T1]根據(jù)圖3.6-13，回答下列問題：(1)比較∠FOD

與∠BOD

的大??；(2)比較∠AOD

與∠BOD

的大小；(3)借助量角器比較∠AOE與∠DOF的大小.例1知1－練感悟新知解：∠FOD與∠BOD有重合邊和重合頂點，且射線OF

在∠BOD的內(nèi)部，根據(jù)疊合法可知∠FOD<∠BOD.解題秘方：利用角的兩種比較大小的方法比較角的大小.(1)比較∠FOD

與∠BOD

的大小知1－練感悟新知解：因為∠AOD是鈍角，∠BOD

是銳角，所以∠AOD>∠BOD.用量角器測量得∠AOE=30°，∠DOF=30°，所以∠AOE=∠DOF.(2)比較∠AOD

與∠BOD

的大??；(3)借助量角器比較∠AOE與∠DOF的大小.知1－練感悟新知1-1.用“>”“<”或“=”填空：(1)若∠1=∠2，∠2=∠3，則∠1______∠3；(2)若∠α+∠β=70°，∠β+∠γ=100°，則∠α_____∠γ.＝<感悟新知知2－講知識點作一個角等于已知角21.作一個角等于已知角方法1：先用量角器量出已知角的度數(shù)，再畫出一個等于這個度數(shù)的角.方法2：用直尺和圓規(guī)來作(尺規(guī)作圖)

.已知：∠AOB，如圖3.6-14所示.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.感悟新知知2－講作法與示范：步驟示范(1)畫射線O′A′.(2)以點O

為圓心，以適當長為半徑畫弧，交OA

于點C，交OB

于點D.(3)以點O'為圓心，以O(shè)C

長為半徑畫弧，交O'A'于點C'.(4)以點C'為圓心，以CD長為半徑畫弧，交前一條弧于點D'.(5)經(jīng)過點D'作射線O'B'，則∠A'O'B'就是所求的角.

知2－講感悟新知特別提醒“尺規(guī)作圖”中的直尺要求沒有刻度，即使直尺上有刻度，也不能使用刻度.感悟新知知2－講2.尺規(guī)作圖?將利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)這兩種工具作幾何圖形的方法稱為“尺規(guī)作圖”.感悟新知知2－練如圖3.6-15，已知線段AB，∠α，∠β，請用尺規(guī)作圖法，在線段AB

上方求作一點C，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β．(保留作圖痕跡，不寫作法)例2

.知2－練感悟新知解題秘方：用尺規(guī)作圖的方法分別作∠BAE=∠α，∠ABF=∠β，AE

與BF

交于點C，點C

即為所求．解：如圖3.6-15，點C

即為所求．知2－練感悟新知2-1.如圖，在三角形ABC

中，M

為邊AC

延長線上一定點，用尺規(guī)作圖法在邊BC

的延長線上求作一點N，使得∠AMN=∠BAM(不寫作法，保留作圖痕跡)．解：如圖，點N即為所求．感悟新知知3－講知識點角的和差3設(shè)有兩個角∠1和∠2(∠1>∠2)，如圖3.6-16①.把∠2移到∠1上，使它們的頂點重合，一條邊重合.(1)兩角的和：當∠2在∠1的外部時，它們的另兩邊(非重合的邊)所成的角就是它們的和，記作：∠BAC=∠1+∠2，如圖3.6-16②.感悟新知知3－講(2)兩角的差：當∠2在∠1的內(nèi)部時，它們的另兩邊(非重合的邊)所成的角就是它們的差，記作：∠GEH=∠1－∠2，如圖3.6-16③.知3－講感悟新知特別提醒1.兩個角的和或差仍然是一個角，角的和或差的度數(shù)就是它們度數(shù)的和或差.2.在計算兩個角度的和或差時要將度與度、分與分、秒與秒分別相加或相減，分、秒相加時逢60要進位，相減時要借1作60.知3－練感悟新知計算：(1)27°26′+53°48′；(2)

90°－79°18′6″.例3解題秘方：利用有理數(shù)的運算法則結(jié)合角的單位的進制進行計算.解：27°26′+53°48′=80°74′=81°14′.90°－79°18′6″=89°59′60″－79°18′6″=10°41′54″.知3－練感悟新知3-1.計算：(1)98°45′36″+71°22′34″；(2)13°24′15″×5；(3)58°34′16″÷4.解：原式＝170°8′10″.原式＝67°1′15″.原式＝14°38′34″.知3－練感悟新知如圖3.6-17，回答下列問題：(1)∠AOC

是哪兩個角的和？(2)∠AOB是哪兩個角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC與∠DOB

相等嗎？例4

解題秘方：根據(jù)圖中角的位置關(guān)系得到角的和差關(guān)系.知3－練感悟新知解：∠AOC=∠AOB+∠BOC.(1)∠AOC

是哪兩個角的和？(2)∠AOB是哪兩個角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC與∠DOB

相等嗎？∠AOB=∠AOD－∠BOD=∠AOC－∠BOC.因為∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB.知3－練感悟新知4-1.

[期末·宜賓]用一副三角板不可以拼出的角度是(

)A.105°B.75°C.85°D.?15°C感悟新知知4－講知識點角的平分線41.定義?從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.知4－講感悟新知特別解讀●角平分線的“三要素”：(1)是從角的頂點引出的射線；(2)在角的內(nèi)部；(3)將已知角平分.●角的平分線只有一條，而角的n(

n≥3，且n

為整數(shù))等分線有(n－1)條.感悟新知知4－講

感悟新知知4－講2.角的n

等分線(拓展)?類似角的平分線，從角的頂點引出的射線，將角分成相等的n(n≥3，且n

為整數(shù))個角，叫做角的n等分線，例如角的三等分線、四等分線等.感悟新知知4－練如圖3.6-19，OC

是∠AOD

的平分線，OE

是∠BOD的平分線.(1)如果∠AOB=130°，那么∠COE

是多少度？(2)在(1)的條件下，如果∠DOC=20°，那么∠BOE是多少度？例5知4－練感悟新知解題秘方：利用角平分線的定義及角的和差關(guān)系，將要求的角向已知的角進行轉(zhuǎn)化，找出它們之間的數(shù)量關(guān)系進行解答.知4－練感悟新知

(1)如果∠AOB=130°，那么∠COE

是多少度？知4－練感悟新知解：由(1)可知∠COE=65°.因為∠DOC=20°，所以∠DOE=∠COE－∠DOC=45°.又因為OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE=45°.(2)在(1)的條件下，如果∠DOC=20°，那么∠BOE是多少度？知4－練感悟新知5-1.

[期末·巴中]如圖，OC

是∠AOB的平分線，OD是∠AOC

的平分線，且∠COD=25°，則∠AOB等于____________.100°知4－練感悟新知5-2.如圖，∠AOB=150°，OD

平分∠BOC，且∠BOD=30°，則∠AOC=______.90°角的比較和運算度量法疊合法角的比較和運算角的比較角的運算角的和差角的平分線3.6角第三章圖形的初步認識第3課時余角和補角逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標課時講解1課時流程2余角和補角余角和補角的性質(zhì)知1－講感悟新知知識點余角和補角11.余角?如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角，簡稱互余.數(shù)學(xué)語言：如果∠1+∠2=90°，那么∠1是∠2的余角，或∠1與∠2互為余角，如圖3.6-25.感悟新知知1－講特別解讀●互余、互補是指兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，它們是成對出現(xiàn)的.●互余、互補只與數(shù)量有關(guān)，與位置無關(guān).互余和互補揭示的是兩個角之間的數(shù)量關(guān)系：一個銳角α的余角為90°－α，補角為180°－α.感悟新知2.補角?如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角，簡稱互補.數(shù)學(xué)語言：如果∠3+∠4=180°，那么∠3是∠4的補角，或∠3與∠4互為補角，如圖3.6-26.3.一個角的余角(或補角)可以有多個，但它們的度數(shù)是相等的，互余、互補是指具有一定數(shù)量關(guān)系的兩個角.知1－講知1－練感悟新知[母題教材P162例3]已知∠β=72°35′26″，求∠β的余角和補角.例1知1－練感悟新知解：∠β的余角為90°－72°35′26″=17°24′34″，∠β的補角為180°－72°35′26″=107°24′34″.解題秘方：緊扣余角和補角的定義求度數(shù).溫馨提示：同一個銳角的補角比余角大90°.知1－練感悟新知1-1.若∠α

與∠β

互為補角，∠β

是∠α

的2倍，則∠α

的余角為(

)A.20°B.30°C.40°D.60°B知1－練感悟新知[母題教材P162練習(xí)T1]如圖3.6-27，點O

為直線AB上一點，∠AOC=∠DOE=90°.(1)圖中互余的角有幾對？分別是哪些？(2)圖中互補的角有幾對？分別是哪些？例2

知1－練感悟新知解題秘方：由已知條件，結(jié)合余角、補角的定義求解.知1－練感悟新知解：因為點O

為直線AB

上一點，所以∠BOC+∠AOC=180°.因為∠AOC=90°，所以∠1+∠2=90°，∠BOC=180°－∠AOC=180°－90°=90°.所以∠3+∠4=90°.因為∠DOE=90°，所以∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.綜上，圖中互余的角有4對，分別是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.(1)圖中互余的角有幾對？分別是哪些？知1－練感悟新知解：由已知得∠1+∠BOD=180°，∠4+∠AOE=180°.因為∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=90°－∠2，∠3=90°－∠2.所以∠1=∠3，所以∠3+∠BOD=180°.因為∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，所以∠2=90°－∠3，∠4=90°－∠3.(2)圖中互補的角有幾對？分別是哪些？知1－練感悟新知所以∠2=∠4，所以∠2+∠AOE=180°.又因為∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC+∠DOE=180°，∠DOE+∠BOC=180°，所以圖中互補的角有7對，分別是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC

和∠BOC，∠AOC

和∠DOE，∠DOE

和∠BOC.知1－練感悟新知

D感悟新知知2－講知識點余角和補角的性質(zhì)21.余角的性質(zhì)(1)同角的余角相等(即：如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3.)(2)

等角的余角相等(即：如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.)感悟新知知2－講2.補角的性質(zhì)(1)

同角的補角相等(即：如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3.)(2)等角的補角相等(即：如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.)知2－講感悟新知特別提醒1.“同角”指同一個角，“等角”指度數(shù)相等的角.2.余角、補角的性質(zhì)是說明兩個角相等的重要依據(jù).感悟新知知2－練如圖3.6-28，已知O是直線AB上的一點，OC

是一條射線，OD

平