試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁寶山區(qū)高三三模數(shù)學(xué)試卷2025.05一?填空題1．設(shè)，集合，，若，則．2．首項為2，公比為的無窮等比數(shù)列的各項和為.3．若球的大圓的面積為，則該球的體積為4．已知，則.5．已知，則在上的數(shù)量投影是.6．在的展開式中，第2項和第4項的系數(shù)相同，則.7．已知冪函數(shù)過點，若，則實數(shù)的取值范圍是.8．隨機(jī)變量，，若，那么實數(shù)的值為.9．已知復(fù)數(shù)，集合所構(gòu)成區(qū)域的面積是.10．從1?2?3?4?5?6?7?8?9中依次取出4個不同的數(shù)，分別記作，若和的奇偶性相同，則的取法共有.種11．如圖，要在和兩地之間修建一條筆直的隧道，現(xiàn)在從地和地測量得到：，.則.（結(jié)果精確到）

12．已知，函數(shù)的定義域是，且滿足.記函數(shù)的值域為，若存在，使得對于任意符合要求的函數(shù)，均滿足：，則實數(shù)的取值范圍是.二?選擇題13．成對數(shù)據(jù)的回歸方程為，則它們在處的離差是（

）A． B．C． D．14．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件15．如圖所示，長方體中，，P是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線BP異面的是（

）A． B． C． D．16．已知曲線為曲線上任一點，以下4個命題：①曲線與直線恰有四個公共點；②曲線與直線相切；③是的函數(shù)；④是的函數(shù).正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個三?解答題17．如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，為線段的中點，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面的夾角的正弦值.18．已知，函數(shù).(1)若，求函數(shù)的表達(dá)式及定義域；(2)若關(guān)于的方程的解集中恰好只有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.19．2023世界人工智能大會擬定于七月初在我國召開，我國在人工智能芯片、醫(yī)療、自動駕駛等方面都取得了很多成就.為普及人工智能相關(guān)知識，紅星中學(xué)組織學(xué)生參加“人工智能”知識競賽，競賽分為理論知識競賽、實踐能力競賽兩個部分，兩部分的成績分為三檔，分別為基礎(chǔ)、中等、優(yōu)異．現(xiàn)從參加活動的學(xué)生中隨機(jī)選擇20位，統(tǒng)計其兩部分成績，成績統(tǒng)計人數(shù)如表：實踐

理論基礎(chǔ)中等優(yōu)異基礎(chǔ)中等優(yōu)異(1)若從這20位參加競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到理論或?qū)嵺`至少一項成績?yōu)閮?yōu)異的學(xué)生概率為．求，的值；(2)在（1）的前提下，用樣本估計總體，從全市理論成績?yōu)閮?yōu)異的學(xué)生中，隨機(jī)抽取人，求至少有一個人實踐能力的成績?yōu)閮?yōu)異的概率；(3)若基礎(chǔ)、中等和優(yōu)異對應(yīng)得分為分、分和分，要使參賽學(xué)生理論成績的方差最小，寫出的值．（直接寫出答案）20．如圖，是拋物線上一點，過點的直線與軸分別交于兩點，且是線段的中點，是拋物線上異于點的動點.(1)證明：直線是拋物線的切線；(2)已知，且的重心是的焦點，求所在的直線方程；(3)若分別在線段上，且交于點，求證：點是的重心.21．把一列函數(shù)按一定次序排列稱為函數(shù)列，記為（是正整數(shù)），為的導(dǎo)函數(shù).記，.(1)若，求證：是等比數(shù)列；(2)若，是否存在正數(shù)，使得；(3)已知在上有最小值，求證“是偶函數(shù)”的充要條件是“對于任意正實數(shù)，均有”.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．2【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】由，，且，所以.故答案為：2.2．6【分析】先由等比數(shù)列的求和公式，得到前項和，對前項和求極限，即可得出結(jié)果.【詳解】因為無窮等比數(shù)列的首項為，公比為，因此其前項和為，所以的各項的和為.故答案為：3．【分析】根據(jù)球的大圓的面積，先計算出球的半徑，進(jìn)而可得球的體積．【詳解】設(shè)球的半徑為R，則球的大圓面積為9π=πR2，解得R=3，故該球的體積V=πR3=36π，故答案為36π【點睛】本題考查了球的體積公式，面積公式，屬于基礎(chǔ)題．4．##0.75【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可得答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.5．【分析】向量在上的數(shù)量投影為，先求出和的值，再代入公式計算.【詳解】已知，，可得.已知，可得.根據(jù)向量投影的定義，在上的數(shù)量投影為，將，代入可得：.故答案為：.6．4【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求出第項和第項的系數(shù)，再根據(jù)這兩項系數(shù)相同列出方程，進(jìn)而求解的值.【詳解】那么對于二項式，其展開式的通項公式為.求第項的系數(shù)：令，可得第項為，所以第項的系數(shù)為.求第項的系數(shù)：令，可得第項為，所以第項的系數(shù)為.因為第項和第項的系數(shù)相同，所以.由于可得：.得,即.解得或.因為為正整數(shù)，所以舍去，故.故答案為：4.7．【分析】先利用冪函數(shù)的定義求得的解析式，進(jìn)而得的定義域與單調(diào)性，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】由題可設(shè)，因為函數(shù)過點，所以，所以函數(shù)，所以函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，所以若，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.8．【分析】由正態(tài)分布性質(zhì)可得，，由此可利用對稱性構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，解得：.故答案為：.9．【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義畫圖計算即可.【詳解】設(shè)，已知可得，即點在以原點為圓心，為半徑的圓上，如圖圓2.設(shè)，，，表示點兩點之間的距離為2.則集合所表示的圖形是以點為圓心，6為半徑的圓的大圓3和以點為圓心，2為半徑的小圓1之間的圓環(huán)部分.其面積為：集合所構(gòu)成區(qū)域的面積是.

故答案為：10．1584【分析】根據(jù)與的奇偶性相同分情況討論，再結(jié)合排列組合的知識分別計算出每種情況的取法數(shù)量，最后將所有情況的取法數(shù)量相加即可.【詳解】與的奇偶性相同有兩種情況：與均為偶數(shù)；與均為奇數(shù).要使與均為偶數(shù)，則、、、要么全是奇數(shù)，要么全是偶數(shù).從、、、、這個奇數(shù)中取出個不同數(shù)，其取法有種，得種.從、、、這個偶數(shù)中取出個不同的數(shù)，其取法有種，得種.取出的個數(shù)進(jìn)行全排列，排列數(shù)為種，得種.所以與均為偶數(shù)的取法共有種.

要使與均為奇數(shù)，則、、、中兩個為奇數(shù)，兩個為偶數(shù).從個奇數(shù)中取出個不同的數(shù)，其取法有種，得種.從個偶數(shù)中取出個不同的數(shù)，其取法有種，得種.取出的個數(shù)進(jìn)行全排列，排列數(shù)為種.所以與均為奇數(shù)的取法共有種.

將與均為偶數(shù)和均為奇數(shù)的取法數(shù)量相加，可得總的取法數(shù)量為種.故答案為：1584.11．.【分析】根據(jù)題意設(shè)，則.，在，，中，分別用正弦定理，得，，再相乘化簡即可求解.【詳解】由題可得，設(shè)，則.由題意，在中，，在中，，在中，，將上述三式相乘，得，從而有，得，所以.故答案為：12．【分析】設(shè)，得到方程，解出，再轉(zhuǎn)化為不動點問題，再結(jié)合蛛網(wǎng)圖即可得到范圍.【詳解】設(shè)，，對求導(dǎo)得，則這是一個“吸引不動點”.由蛛網(wǎng)圖可知，，，使得，故，有因此.①另一方面，當(dāng)時，，又，所以.②結(jié)合①②可知，故.當(dāng)時，取滿足題意.當(dāng)時，任取的實數(shù)，滿足題意.故的取值范圍為故答案為：.13．A【分析】根據(jù)離差的概念，離差指的是觀測值與預(yù)測值之間的差值，所以求出預(yù)測值，作差即可求出的離差.【詳解】因為回歸方程為，所以它們在處的預(yù)測值為，而觀測值為，所以根據(jù)離差的基本內(nèi)涵可知，它們在處的離差為.故選：A.14．A【分析】根據(jù)基本不等式等號成立條件判斷充分性，取特值驗證判斷必要性即可.【詳解】若，則，所以，由得，因為，所以取不到等號，即，所以“”是“”的充分條件；又時，，所以“”不是“”的必要條件.綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A15．D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特征及異面直線的意義，逐項判斷作答.【詳解】在長方體中，，當(dāng)是與的交點時，平面，與相交，A不是；當(dāng)點與重合時，平面，與相交，B不是；當(dāng)點與重合時，因為長方體的對角面是矩形，此時，C不是；因為平面，平面，而平面，因此與是異面直線，D是.故選：D16．B【分析】對于①，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)討論其在上的零點個數(shù)為3后可判斷其正誤，對于②，利用導(dǎo)數(shù)可判斷其正誤，對于③，結(jié)合零點存在定理可判斷其正誤，對于④，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性后可得其正誤.【詳解】對于①，由消元法可得，所以，當(dāng)或時，或，故此時無解，下面考慮上方程的解的個數(shù)，設(shè)，所以，設(shè)且，則，則，所以，又因為，所以的解為，，而，故當(dāng)或時，，當(dāng)時，，故在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，且，，而，故，故，，故在有3個不同的實數(shù)根，故①錯誤；對于②，由，可得，故，對兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，又隨的變化而變化，則，故當(dāng)時，有，當(dāng)，，而直線的斜率為2，故曲線與直線相切，故②正確.對于③，取，考慮即方程的解的個數(shù)，設(shè)，則，，，故至少有兩個零點，故有兩個不同的解，故不是的函數(shù)，故③錯誤；對于④，，則，故為的減函數(shù)，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，故對任意，方程即有唯一解，故是的函數(shù)，故④正確.故選：B.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明平面；（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的法向量，進(jìn)而利用向量公式求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接交于點是的中點，是中點..又平面平面平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)平面的法向量為，則令，則.是平面的一個法向量.，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為.18．(1)，定義域為(2)【分析】（1）根據(jù)換元法求解函數(shù)解析式，結(jié)合對數(shù)的意義列不等式求函數(shù)的定義域即可；（2）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則化簡方程，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得方程，分類討論得方程的根從而得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），令，則因為，所以，又得，解得或，則函數(shù)的定義域為；（2）由（1）得方程，即可轉(zhuǎn)化為，且①當(dāng)即時，，符合題意；②當(dāng)即時，（i）當(dāng)時，符合題意（ii）當(dāng)時，且時，要滿足題意，則有或無解綜上可得，的取值范圍.19．(1)，；(2)；(3)8【分析】（1）根據(jù)題意將至少一項成績優(yōu)異的同學(xué)全部相加再與總數(shù)相比即可得到所求值；（2）利用間接法先求出抽取中一個實踐能力的成績?yōu)閮?yōu)異的人都沒有的概率，繼而求出答案；（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)對稱性可知方差最小時，由此可得出答案.【詳解】（1）由題意，理論或操作至少一項成績?yōu)閮?yōu)異的學(xué)生共有人，則，得，又，得．（2）由（Ⅰ）知，從20位理論成績?yōu)閮?yōu)異的學(xué)生中抽取1人，實踐成績也為優(yōu)異的概率為，所以從全市理論成績?yōu)閮?yōu)異的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，至少有一個人操作的成績?yōu)閮?yōu)異的概率為．（3）由題意，，設(shè)理論成績?yōu)閄，，則X取值為，對應(yīng)的人數(shù)分別為，所以參賽學(xué)生理論競賽的平均成績?yōu)?，所以參賽學(xué)生理論成績的方差為因為，所以當(dāng)時，方差最小.20．(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）先設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)中點關(guān)系得點坐標(biāo)，求直線PA斜率，進(jìn)而得直線方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，通過判別式證直線是拋物線切線.（2）設(shè)、坐標(biāo)及其中點，由已知條件求出坐標(biāo).假設(shè)直線PQ斜率不存在推出矛盾，所以斜率存在.設(shè)直線PQ方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及已知的值求出斜率，從而得直線PQ方程.（3）利用E、、三點共線得到向量關(guān)系，結(jié)合已知線段比例關(guān)系設(shè)參數(shù)，通過向量運(yùn)算及是中點的條件，得出與、的關(guān)系，進(jìn)而判斷是重心.【詳解】（1）設(shè)，因為是線段的中點，所以.則，所以直線的方程為，即.聯(lián)立，整理得，所以，因此，直線是拋物線的切線.（2）設(shè)中點為，由已知得，解得，從而若直線斜率不存在，則，與重心矛盾，故斜率存在；設(shè)聯(lián)立得：，因為，所以所以所在直線方程是（3）因為三點共線，所以.又因為，設(shè)，則，所以，所以，因為是線段的中點，所以，即，所以，所以是的重心.21．(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）首先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）首先求和集合，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，由，討論得到取值范圍；（3）首先證明必要性，若函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，證明，再證明充分性，若對于任意正實數(shù)，均有，分和兩種情況