第2節(jié)用樣本估計(jì)總體課標(biāo)要求1.會用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì)，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.會用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度.【知識梳理】1.百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有________的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中______________的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于________位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把____________稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).3.標(biāo)準(zhǔn)差與方差設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2].4.總體(樣本)方差和總體(樣本)標(biāo)準(zhǔn)差(1)一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為eq\o(Y,\s\up6(－))，則總體方差S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2.(2)加權(quán)式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1，2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fi(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a.2.數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.3.若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.【診斷自測】概念思考辨析＋教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.()(2)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)必為其中一個數(shù).()(3)方差越大，數(shù)據(jù)越集中.()(4)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.()2.(人教A必修二P181T1原題)為了合理調(diào)配電力資源，某市欲了解全市50000戶居民的日用電量.若通過簡單隨機(jī)抽樣從中抽取了300戶進(jìn)行調(diào)查，得到其日用電量的平均數(shù)為5.5kW·h，則可以推測全市居民用戶日用電量的平均數(shù)()A.一定為5.5kW·h B.高于5.5kW·hC.低于5.5kW·h D.約為5.5kW·h3.(北師大必修一P170例3改編)為了判斷甲、乙兩名同學(xué)本學(xué)期幾次數(shù)學(xué)考試成績哪個較穩(wěn)定，通常需要知道這兩人的()A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.方差 D.頻率分布4.(蘇教必修二P257T1改編)已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為________，25%分位數(shù)為________.考點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計(jì)例1(1)(2025·河北名校聯(lián)考)養(yǎng)雞是農(nóng)業(yè)養(yǎng)殖的一個重要組成部分，隨著人們對健康飲食的重視和市場對禽肉需求的增長，養(yǎng)雞業(yè)發(fā)展迅速.如圖為某小型養(yǎng)雞場2018～2024年每年養(yǎng)雞數(shù)量(單位：百只)的統(tǒng)計(jì)圖：則該養(yǎng)雞場這7年養(yǎng)雞數(shù)量的第60百分位數(shù)是()A.45 B.60C.80 D.85(2)將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績(成績均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是________.(結(jié)果保留兩位小數(shù))思維建模1.計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟2.直方圖中可運(yùn)用面積和求第p百分位數(shù)或按下列方法計(jì)算：(1)確定百分位數(shù)所在的區(qū)間[a，b).(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa%，fb%，則第p百分位數(shù)為a＋eq\f(p%－fa%,fb%－fa%)×(b－a).訓(xùn)練1(1)(2025·鄭州質(zhì)檢)數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，8.9，9.1的第75百分位數(shù)為()A.8.5 B.8.6C.8.7 D.8.8(2)(2025·廣州調(diào)研)某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是(注：同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替)()A.x3<x1<x2 B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2 D.x1<x2<x3考點(diǎn)二總體集中趨勢的估計(jì)角度1樣本的數(shù)字特征例2(1)(2024·新高考Ⅱ卷)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位：kg)并整理得下表：畝產(chǎn)量[900，950)[950，1000)[1000，1050)頻數(shù)61218畝產(chǎn)量[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)頻數(shù)302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是()A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間(2)(2025·南通調(diào)研)一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù)：10，21，25，35，36，40.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則刪除的數(shù)為()A.25 B.30C.35 D.40角度2頻率分布直方圖中的數(shù)字特征例3在新疆某地收購的一批棉花中隨機(jī)抽測了100根棉花的纖維長度(單位：mm)，得到樣本的頻數(shù)分布表如下：纖維長度頻數(shù)頻率[0，50)40.04[50，100)80.08[100，150)100.10[150，200)100.10[200，250)160.16[250，300)400.40[300，350]120.12(1)在圖中作出樣本的頻率分布直方圖；(2)根據(jù)(1)中作出的頻率分布直方圖求這一棉花樣本的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)，并對這批棉花的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)進(jìn)行估計(jì).思維建模1.中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”和“平均水平”，我們需根據(jù)實(shí)際需要選擇使用.2.頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高的矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個矩形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.訓(xùn)練2(1)某大學(xué)共有12000名學(xué)生，為了了解學(xué)生課外圖書閱讀量情況，該校隨機(jī)地從全校學(xué)生中抽取1000名，統(tǒng)計(jì)他們每年閱讀的書籍?dāng)?shù)量，由此來估計(jì)全體學(xué)生當(dāng)年的閱讀書籍?dāng)?shù)量的情況，下列估計(jì)中正確的是(注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)()A.中位數(shù)為6B.眾數(shù)為10C.平均數(shù)為6.88D.該校讀書不低于8本的人數(shù)約為3600(2)(2023·上海卷)國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)是衡量一個國家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)狀況和發(fā)展水平的重要指標(biāo).根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，某市在2020年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長，GDP穩(wěn)定增長，第一季度和第四季度的GDP分別為232億元和241億元，且四個季度的GDP逐季度增長，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則該市2020年的GDP總額為________億元.考點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)例4(2023·全國乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10)，試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))，樣本方差為s2.(1)求eq\o(z,\s\up6(－))，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果eq\o(z,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(s2,10))，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).思維建模標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度，標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.訓(xùn)練3(1)(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是()A.樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)C.樣本x1，x2，…，xn的極差D.樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)(2)(2025·福州調(diào)研)某單位共有A，B兩個部門，1月份進(jìn)行服務(wù)滿意度問卷調(diào)查，得到兩個部門服務(wù)滿意度得分的頻率分布條形圖如圖.設(shè)A，B兩個部門的服務(wù)滿意度得分的第75百分位數(shù)分別為n1，n2，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，則()A.n1>n2，seq\o\al(2,1)>seq\o\al(2,2) B.n1>n2，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2)C.n1<n2，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2) D.n1<n2，seq\o\al(2,1)>seq\o\al(2,2)