第三章測(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知下列四個函數(shù)圖象,其中能用二分法求出函數(shù)零點的是()解析:由二分法的定義易知選A.答案:A2.已知函數(shù)f(x)=2x-b的零點為x0,且x0∈(-1,1),則b的取值范圍是()A.(-2,2) B.(-1,1)C.-12,12解析:解方程f(x)=2x-b=0,得x0=b2所以b2∈(-1,1),即b∈(-2,2)答案:A3.已知函數(shù)f(x)=4x-2x+1-3,則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)解析:因為f(x)=4x-2x+1-3為連續(xù)函數(shù),f(1)=4-4-3=-3<0且f(2)=16-8-3=5>0.因為f(1)·f(2)<0,所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2).答案:C4.下列給出的四個函數(shù)f(x)的圖象中能使函數(shù)y=f(x)-1沒有零點的是()解析:把y=f(x)的圖象向下平移一個單位長度后,只有C中的圖象滿足y=f(x)-1與x軸無交點.答案:C5.已知一根蠟燭長為20cm,若點燃后每小時燃燒5cm,則蠟燭燃燒剩下的高度h(單位:cm)與燃燒時間t(單位:小時)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為()解析:本題結(jié)合函數(shù)圖象考查一次函數(shù)模型.由題意得h=20-5t(0≤t≤4),故選B.答案:B6.國家相繼出臺多項政策控制房地產(chǎn)行業(yè),現(xiàn)在規(guī)定房地產(chǎn)行業(yè)收入稅如下:年收入在280萬元及以下的稅率為p;超過280萬元的部分按(p+2)征稅.現(xiàn)有一家公司的實際繳稅比例為(p+0.25),則該公司的年收入是()A.560萬元 B.420萬元C.350萬元 D.320萬元解析:設(shè)該公司的年收入為a萬元,則280p+(a-280)(p+2)=a(p+0.25).解得a=280×22答案:D7.導(dǎo)學(xué)號03814059已知0<a<1,則方程a|x|=|logax|的實根個數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.與a的值有關(guān)解析:設(shè)y1=a|x|,y2=|logax|,分別作出它們的圖象如圖所示.由圖可知,兩個圖象有兩個交點,故方程a|x|=|logax|有兩個根.故選A.答案:A8.如圖,△ABC為等腰直角三角形,直線l與AB相交且l⊥AB,直線l截這個三角形所得的位于直線右方的圖形面積為y,點A到直線l的距離為x,則y=f(x)的圖象大致為四個選項中的()解析:設(shè)AB=a,則y=12a2-12x2=-12x2+12a2,其圖象為拋物線的一段,開口向下,頂點在y軸上方答案:C9.已知某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,若第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.p+q2C.pq D.(p+1解析:設(shè)第一年年初生產(chǎn)總值為1,則這兩年的生產(chǎn)總值為(p+1)(q+1).設(shè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,則(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x=(p+1)(q+1答案:D10.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3)解析:函數(shù)f(x)=|2x-1|,x<2,方程f(x)-a=0有三個不同的實數(shù)根,等價于函數(shù)y=f(x)的圖象與y=a有三個不同的交點.根據(jù)圖象可知,當(dāng)0<a<1時,函數(shù)y=f(x)的圖象與y=a有三個不同的交點,方程f(x)-a=0有三個不同的實數(shù)根,則a的取值范圍是(0,1).答案:A11.已知x0是函數(shù)f(x)=2x+11-x的一個零點.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0解析:設(shè)y1=2x,y2=1x-1如圖,在區(qū)間(1,x0)內(nèi),y2=1x-1的圖象在y1=2x圖象的上方,所以2x1+11-x1<0,即f(x1)<0,同理答案:B12.若函數(shù)f(x)=3x-7+lnx的零點位于區(qū)間(n,n+1)(n∈N)內(nèi),則n=()A.2 B.3 C.4 D.5解析:設(shè)g(x)=lnx,h(x)=-3x+7,則函數(shù)g(x)和函數(shù)h(x)的圖象交點的橫坐標(biāo)就是函數(shù)f(x)的零點.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g(x)和函數(shù)h(x)的圖象,如圖所示.由圖象知函數(shù)f(x)的零點屬于區(qū)間1,又f(1)=-4<0,f(2)=-1+ln2=ln2e<0,f(3)=2+ln3>0,所以函數(shù)f(x)的零點屬于區(qū)間(2,3).所以n=2答案:A二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.函數(shù)f(x)=1-x解析:由f(x)=0,即1-x21+x即函數(shù)f(x)的零點為1.答案:114.一個人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時25的速度減少,為了保障交通安全,某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL,則一個喝了少量酒后的駕駛員,至少經(jīng)過小時才能開車.(精確到1小時)解析:設(shè)至少經(jīng)過x小時才能開車,由題意得0.3(1-25)x≤0.09,∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.故填5.答案:515.里氏震級M的計算公式為M=lgA-lgA0,其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅,A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中,測震儀記錄的最大振幅是1000,此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則此次地震的震級為級;9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的倍(假設(shè)二者相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅相同).解析:第一空,lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.第二空,設(shè)9級地震時最大振幅為A1,5級地震時最大振幅為A2,則9=lgA1-lgA0,5=lgA2-lgA0,所以A1=109A0,A2=105A0,A1A2=答案:61000016.函數(shù)f(x)=log2x,0<x<2,12x+解析:如圖,畫出函數(shù)圖象,y=12x+34(x>2)的值域是34,1,函數(shù)y=f(x)與y=僅有一個交點答案:≤34或=三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),當(dāng)2<a<3<b<4時,函數(shù)f(x)的零點x0∈(n,n+1),n∈N,求n的值.解∵a>2,∴f(x)=logax+x-b在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(2)=loga2+2-b,f(3)=loga3+3-b,∵2<a<3<b<4,∴0<loga2<1,-2<2-b<-1.∴-2<loga2+2-b<0.又1<loga3<2,-1<3-b<0,∴0<loga3+3-b<2,∴f(2)<0,f(3)>0.又f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)函數(shù),∴f(x)在(2,3)內(nèi)必存在唯一零點.∴n=2.18.導(dǎo)學(xué)號03814060(本小題滿分12分)如圖,直角梯形ABCD的兩底邊分別為AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,直線MN⊥AD于點M,交折線ABCD于點N,記AM=x,試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù).解①當(dāng)點N在BC上時,y=(2a-x)·a(a<x≤2a);②當(dāng)點N在AB上時,y=3a22-12x2綜上,有y=319.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的兩個零點分別是-3和2.(1)求f(x);(2)當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域是[0,1時,求函數(shù)f(x)的值域.解(1)∵f(x)的兩個零點是-3和2,∴函數(shù)的圖象經(jīng)過點(-3,0),(2,0).∴有9a-3(b-8)-a-ab=0,①4a+2(b-8)-a-ab=0,②①-②,得b=a+8.③③代入②,得4a+2a-a-a(a+8)=0,即a2+3a=0.∵a≠0,∴a=-3.∴b=a+8=5.∴f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18=-3x+1函數(shù)圖象的對稱軸方程是x=-12又0≤x≤1,∴f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18.∴函數(shù)f(x)的值域是[12,18.20.(本小題滿分12分)近年來,“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司“Mobie”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個城市至少要投資40萬元,由前期市場調(diào)研可知:甲城市收益P與投入a(單位:萬元)滿足P=32a-6,乙城市收益Q與投入a(單位:萬元)滿足Q=14a+2,設(shè)甲城市的投入為x(單位:萬元),兩個城市的總收益為f(x)(單位:萬元(1)當(dāng)甲城市投資50萬元時,求此時公司的總收益;(2)試問如何安排甲、乙兩個城市的投資,才能使總收益最大?解(1)當(dāng)x=50時,此時甲城市投資50萬元,乙城市投資70萬元,所以總收益f(50)=32×50-6+14×70+2=43.5((2)由題知,甲城市投資x萬元,乙城市投資(120-x)萬元,所以f(x)=32x-6+14(120-x)+2=-14x+3依題意得x≥40,120-x≥40,故f(x)=-14x+32x+26(40≤x≤令t=x,則t∈[210,45,所以y=-14t2+32t+26=-14(t-62)2+當(dāng)t=62,即x=72萬元時,y的最大值為44萬元,所以當(dāng)甲城市投資72萬元,乙城市投資48萬元時,總收益最大,且最大收益為44萬元.21.(本小題滿分12分)經(jīng)過市場調(diào)查,某種商品在銷售中有如下關(guān)系:第x(1≤x≤30,x∈N)天的銷售價格(單位:元/件)為f(x)=40+x,1≤x≤10,60-x,10<x≤30,第x天的銷售量(單位:件)為g(x)=a-x(a為常數(shù)(1)求a的值,并求第15天該商品的銷售收入;(2)求在這30天中,該商品日銷售收入y的最大值.解(1)當(dāng)x=20時,由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1200,解得a=50.從而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1575(元),即第15天該商品的銷售收入為1575元.(2)由題意可知y=(即y=-當(dāng)1≤x≤10時,y=-x2+10x+2000=-(x-5)2+2025.故當(dāng)x=5時y取最大值,ymax=-52+10×5+2000=2025.當(dāng)10<x≤30時,y<102-110×10+3000=2000.故當(dāng)x=5時,該商品日銷售收入最大,最大值為2025元.22.導(dǎo)學(xué)號03814061(本小題滿分12分)通過市場調(diào)查,得到某種紀(jì)念章每1枚的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的數(shù)據(jù)如下表:上市時間x/天41036市場價y/元905190(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=alogbx.(2)利用你選取的函數(shù),求該紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.(3)設(shè)你選取的函數(shù)為f(x),若對任意實數(shù),方程f(x)=x+2m+120恒有兩個相異的實根,求m的取值范圍.解(1)∵隨著時間x的增加,y的值先減少后增加,而在所給的三個函數(shù)中y=ax+b和y=alogbx顯然都是單調(diào)函數(shù),不滿足題意,∴y=ax2+bx+c最合適.(2)把點(4,90),(10,51),(36,90)代入方程,