杭師大轉(zhuǎn)專業(yè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1，則S_5的值為？

A.31

B.32

C.33

D.34

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)等于？

A.3x^2-3

B.3x^2+3

C.3x-3

D.3x+3

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=1+i的模長(zhǎng)為？

A.1

B.√2

C.√3

D.2

4.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于？

A.(f(b)-f(a))/b-a

B.(f(b)+f(a))/2

C.0

D.f(a)+f(b)

5.矩陣A=|12|，B=|34|，則矩陣A與B的乘積AB等于？

A.|56|

B.|78|

C.|910|

D.|1112|

6.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且lim(x→0)(f(x)-f(0))/x=2，則f'(0)等于？

A.0

B.1

C.2

D.3

7.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)到z軸的距離為？

A.√5

B.√10

C.√13

D.√14

8.設(shè)向量u=(1,2,3)，v=(4,5,6)，則向量u與v的點(diǎn)積u·v等于？

A.32

B.33

C.34

D.35

9.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)為？

A.(2,-3)

B.(2,3)

C.(-2,-3)

D.(-2,3)

10.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則對(duì)于任意0≤a≤b≤1，有？

A.f(a)f(b)≥f(√(ab))

B.f(a)f(b)≤f(√(ab))

C.f(a)+f(b)≥2f(√(ab))

D.f(a)+f(b)≤2f(√(ab))

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增的有？

A.y=x^2

B.y=e^x

C.y=ln|x|

D.y=2^x

2.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim(x→0)(f(x)/x)=3，則下列結(jié)論正確的有？

A.f(0)=0

B.f'(0)=3

C.lim(x→0)(f(x)-3x)=0

D.lim(x→0)(f(x)/3x)=1

3.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有？

A.Σ(n=1to∞)(1/n)

B.Σ(n=1to∞)(1/n^2)

C.Σ(n=1to∞)(-1)^n/n

D.Σ(n=1to∞)(1/n^3)

4.下列向量組中，線性無關(guān)的有？

A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

B.(1,1,1),(1,2,3),(1,3,5)

C.(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6)

D.(1,0,1),(0,1,0),(1,1,0)

5.下列方程中，表示旋轉(zhuǎn)拋物面的有？

A.x^2+y^2-z^2=0

B.x^2-y^2+z^2=0

C.z=x^2+y^2

D.x^2-y^2+z=0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f'(2)的值為______。

2.矩陣A=|12|，B=|30|，則矩陣B的轉(zhuǎn)置B^T等于______。

3.設(shè)向量u=(1,2,3)，v=(4,5,6)，則向量u與v的向量積u×v等于______。

4.圓x^2+y^2-6x+8y-11=0的半徑為______。

5.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)且單調(diào)遞減，則對(duì)于任意0≤a≤b≤1，有______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.解微分方程y'-y=x。

4.計(jì)算二重積分?_Dx^2ydA，其中D是由拋物線y=x^2和直線y=x圍成的區(qū)域。

5.將函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[-π,π]上展開成傅里葉級(jí)數(shù)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.A

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.A

9.B

10.C

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.B,D

2.A,B,C

3.B,C,D

4.A,B

5.C

三、填空題答案

1.-2

2.|03|

3.(-3,2,-3)

4.3√2

5.f(b)≤f(a)

四、計(jì)算題答案及過程

1.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x+1)^2/(x+1)dx=∫(x+1)dx=∫xdx+∫1dx=(1/2)x^2+x+C。

2.解：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=0。最大值為2，最小值為-4。

3.解：y'-y=x。對(duì)應(yīng)齊次方程y'-y=0的通解為y=Ce^x。設(shè)非齊次方程的特解為y=Ax+B，代入方程得(Ax+B)'-(Ax+B)=x，即A-Ax-B=x。比較系數(shù)得A=-1，B=-1。特解為y=-x-1。通解為y=Ce^x-x-1。

4.解：D區(qū)域由y=x^2和y=x圍成，0≤x≤1。?_Dx^2ydA=∫_0^1∫_{x^2}^xx^2ydydx=∫_0^1x^2[(1/2)y^2]_{x^2}^xdx=∫_0^1x^2(1/2)x^2-(1/2)x^4dx=(1/6)∫_0^1x^4dx-(1/6)∫_0^1x^6dx=(1/6)(1/5)x^5-(1/6)(1/7)x^7|_0^1=1/30-1/42=1/210。

5.解：f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，周期T=2π。a_n=0(n=0,1,2,...)。b_n=(1/π)∫_{-π}^πsin(x)sin(nx)dx=(1/π)∫_0^π[cos((n-1)x)-cos((n+1)x)]dx=(1/π)[sin((n-1)x)|_0^π-sin((n+1)x)|_0^π]=0。b_1=(1/π)∫_{-π}^πsin(x)sin(x)dx=(1/π)∫_{-π}^π(1/2)[cos(0)-cos(2x)]dx=(1/π)[π-0]=1。f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為f(x)=(1/2)sin(x)。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷主要涵蓋微積分、線性代數(shù)、常微分方程、多元函數(shù)微積分、級(jí)數(shù)以及傅里葉級(jí)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)。這些知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的重要組成部分，對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)更高級(jí)的數(shù)學(xué)理論和技術(shù)具有基礎(chǔ)性和工具性作用。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題主要考察學(xué)生對(duì)基本概念的掌握和理解能力。

示例：第1題考察了數(shù)列遞推關(guān)系和前n項(xiàng)和的計(jì)算，需要學(xué)生掌握遞推關(guān)系和求和公式的應(yīng)用。

二、多項(xiàng)選擇題主要考察學(xué)生對(duì)概念的理解和綜合應(yīng)用能力，需要學(xué)生能夠全面考慮問題的各個(gè)方面。

示例：第1題考察了函數(shù)的單調(diào)性，需要學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性