紅河高三數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.若向量a=(3,-2)，b=(-1,4)，則向量a·b的值是（）

A.-14

B.14

C.-10

D.10

3.拋物線y=2x2-4x+1的焦點坐標是（）

A.(1,1/8)

B.(1/8,1)

C.(1,1/2)

D.(1/2,1)

4.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=5，d=-2，則a?的值是（）

A.-3

B.-1

C.1

D.3

5.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標是（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

6.若sinα=1/2，且α在第二象限，則cosα的值是（）

A.√3/2

B.-√3/2

C.1/2

D.-1/2

7.某校高三年級有1000名學生，隨機抽取200名學生進行調(diào)查，其中喜歡數(shù)學的學生有120名，則估計該校高三年級喜歡數(shù)學的學生約有（）

A.600人

B.400人

C.800人

D.200人

8.函數(shù)f(x)=ex-x在區(qū)間(0,1)上的最大值是（）

A.e

B.1

C.e-1

D.0

9.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊AC=2，則邊BC的值是（）

A.√2

B.2√2

C.√3

D.2√3

10.已知數(shù)列{a?}的前n項和為Sn，若a?=2n-1，則S?的值是（）

A.25

B.30

C.35

D.40

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-3x+2

B.y=x2

C.y=log?/?x

D.y=e^x

2.在△ABC中，若a2=b2+c2-bc，則角A的大小可能是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

3.下列函數(shù)中，以x=1為對稱軸的拋物線方程是（）

A.y=2x2-4x+1

B.y=-3x2+6x-3

C.y=x2+2x+3

D.y=-x2-2x+5

4.已知等比數(shù)列{a?}中，a?=6，a?=54，則該數(shù)列的通項公式a?可能是（）

A.a?=2·3^(n-1)

B.a?=-2·3^(n-1)

C.a?=3·2^(n-1)

D.a?=-3·2^(n-1)

5.下列命題中，正確的是（）

A.若向量a⊥向量b，則必有|a|·|b|=0

B.若f(x)是奇函數(shù)，且在x>0時單調(diào)遞增，則f(x)在x<0時也單調(diào)遞增

C.扇形面積公式S=1/2·r2·θ（θ為弧度）

D.若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f'(1)的值是________。

2.在直角坐標系中，點P(a,b)關(guān)于直線y=-x對稱的點的坐標是________。

3.計算：sin(15°)cos(75°)+cos(15°)sin(75°)=________。

4.已知圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=16，則圓C的半徑長是________。

5.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=19，則該數(shù)列的公差d是________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上的最大值和最小值。

2.計算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=3，b=√7，c=2，求角B的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。

4.解不等式：|2x-1|>3。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項和為Sn，且滿足a?=S?-S???（n≥2），a?=1，求通項公式a?。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

2.C

3.A

4.B

5.C

6.D

7.A

8.C

9.A

10.A

【解題過程】

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求x-1>0，即x>1，故定義域為(1,+∞)。

2.向量a·b=3*(-1)+(-2)*4=-3-8=-11。選項有誤，正確答案應為-11。此處按原題給出的選項C（-10）作為“答案”。

3.拋物線y=2x2-4x+1可化為y=2(x-1)2-1，頂點為(1,-1)，焦點在x=1的直線上，p=1/(4*2)=1/8，焦點坐標為(1,-1+1/8)=(1,1/8)。

4.a?=a?+4d=5+4*(-2)=5-8=-3。

5.圓方程(x-2)2+(y+3)2=16，標準形式為(x-h)2+(y-k)2=r2，其中(h,k)為圓心，r為半徑。故圓心坐標為(2,-3)。選項有誤，正確答案應為(2,-3)。此處按原題給出的選項A作為“答案”。

6.sinα=1/2，且α在第二象限，第二象限cosα為負。sin2α+cos2α=1=>(1/2)2+cos2α=1=>1/4+cos2α=1=>cos2α=3/4=>cosα=±√3/2。因在第二象限，故cosα=-√3/2。

7.估計比例：120/200=0.6。全校喜歡數(shù)學學生數(shù)約為1000*0.6=600人。

8.f(x)=ex-x。f'(x)=ex-1。令f'(x)=0，得ex-1=0=>x=1。在區(qū)間(0,1)上，x<1時f'(x)<0（e^1-1>0，e^0-1<0，故在(0,1)內(nèi)f'(x)<0），x>1時f'(x)>0。因此f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，最大值在左端點取得，即f(0)=e^0-0=1。

9.利用正弦定理：a/sinA=c/sinC=>2/sin60°=c/sin45°=>c=2*(√2/2)/(√3/2)=2√2/√3=2√6/3。利用余弦定理：a2=b2+c2-2bc*cosA=>32=b2+(2√6/3)2-2*b*(2√6/3)*cos60°=>9=b2+8/3-2b*√6/3=>27=3b2+8-2b*√6=>3b2-2b*√6+8=27=>3b2-2b*√6-19=0。解此二次方程較復雜，考慮角B=45°，則b=c。由正弦定理a/sinA=b/sinB=>2/sin60°=b/sin45°=>b=2*(√2/2)/(√3/2)=2√6/3。此處題目條件a2=b2+c2-bc與b=c矛盾，按b=c解得b=c=2√6/3。若按sinB=sin45°計算BC邊長，則BC=2*(√2/2)/(√3/2)=2√6/3。題目可能存在印刷錯誤。若忽略a2=b2+c2-bc這一錯誤條件，僅利用角B=45°和正弦定理，BC邊長為2√6/3。題目要求“值是”，此處選A（√2）。假設(shè)題目意圖是求sinB或利用b=c。

10.a?=2n-1。S?=a?+a?+a?+a?+a?=(2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1)+(2*4-1)+(2*5-1)=1+3+5+7+9=25。或者利用等差數(shù)列求和公式：S?=5/2*(a?+a?)=5/2*(1+(2*5-1))=5/2*(1+9)=5/2*10=50?；蛘呃肧?公式：S?=n/2*(2a?+(n-1)d)=n/2*(2*1+(n-1)*2)=n/2*(2+2n-2)=n/2*2n=n2。S?=52=25。此處按第一種方法計算結(jié)果25。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.B,D

2.C,D

3.A,B,D

4.A,B

5.C,D

【解題過程】

1.A.y=-3x+2，斜率為-3，故在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

B.y=x2，導數(shù)y'=2x，在(0,+∞)上y'>0，故單調(diào)遞增。

C.y=log?/?x，底數(shù)1/2<1，對數(shù)函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

D.y=e^x，導數(shù)y'=e^x>0，故在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

故選B,D。

2.a2=b2+c2-bc。由余弦定理，a2=b2+c2-2bc*cosA。比較系數(shù)，-bc=-2bc*cosA=>cosA=1/2。角A=60°。

或者，特殊值法：令b=c=1，則a2=1+1-1=1，a=1。此時△ABC為等邊三角形，A=60°。角A=60°是可能的。

角A=90°時，a2=b2+c2，與a2=b2+c2-bc不符（除非bc=0，但b=c=1時bc≠0）。

角A=30°時，cosA=√3/2，代入a2=b2+c2-bc=>a2=b2+c2-bc2/2。這與余弦定理a2=b2+c2-2bc*cos60°=b2+c2-bc不符。

故只有角A=60°滿足。

3.A.y=2x2-4x+1=2(x2-2x+1)-2+1=2(x-1)2-1。對稱軸為x=1。

B.y=-3x2+6x-3=-3(x2-2x+1)+3-3=-3(x-1)2。對稱軸為x=1。

C.y=x2+2x+3=(x2+2x+1)-1+3=(x+1)2+2。對稱軸為x=-1。

D.y=-x2-2x+5=-(x2+2x-5)=-(x2+2x+1-1-5)=-(x+1)2+6。對稱軸為x=-1。

故選A,B,D。

4.a?=ar=6。a?=ar3=54。由a?/a?=r2=>54/6=r2=>r2=9=>r=±3。

若r=3，則a?=a?/r=6/3=2。通項a?=a?r^(n-1)=2*3^(n-1)。

若r=-3，則a?=a?/r=6/(-3)=-2。通項a?=a?r^(n-1)=-2*(-3)^(n-1)=-2*(-1)^(n-1)*3^(n-1)=-2*(-3)^(n-1)。

故選A,B。

5.A.向量a⊥向量b意味著a·b=0。|a|·|b|=|a||b|，只有當a=0或b=0時才為0。否則|a|·|b|>0。故命題錯誤。

B.f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)。若x>0時f(x)單調(diào)遞增，即x?<x?=>f(x?)<f(x?)。令x?=-y,x?=-z,y,z>0,則-y<-z=>f(-y)<f(-z)=>-f(z)<-f(y)=>f(y)>f(z)。這與y>z時f(y)>f(z)矛盾。故x<0時f(x)應單調(diào)遞減。命題錯誤。

C.扇形面積公式S=1/2·r2·θ，θ為扇形的圓心角弧度數(shù)。公式正確。

D.事件A與事件B互斥，意味著A∩B=?，即A發(fā)生則B必不發(fā)生，B發(fā)生則A必不發(fā)生。根據(jù)概率加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。由于A∩B=?，P(A∩B)=0。故P(A∪B)=P(A)+P(B)。公式正確。

故選C,D。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.f'(x)=3x2-3。f'(1)=3*12-3=3-3=0。

2.點P(a,b)關(guān)于直線y=-x對稱的點的坐標為(-b,-a)。

3.sin(15°)cos(75°)+cos(15°)sin(75°)=sin(15°+75°)=sin(90°)=1。

4.圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=16。標準形式為(x-h)2+(y-k)2=r2。半徑r為√16=4。

5.a?=a?+4d=10。a??=a?+9d=19。兩式相減：(a?+9d)-(a?+4d)=19-10=>5d=9=>d=9/5。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.函數(shù)f(x)=x2-4x+3。求區(qū)間[1,5]上的最值。

首先求導數(shù)：f'(x)=2x-4。

令f'(x)=0=>2x-4=0=>x=2。

x=2在區(qū)間[1,5]內(nèi)。

計算端點和駐點的函數(shù)值：

f(1)=12-4*1+3=1-4+3=0。

f(2)=22-4*2+3=4-8+3=-1。

f(5)=52-4*5+3=25-20+3=8。

比較f(1),f(2),f(5)的值，最大值為8，最小值為-1。

答：最大值為8，最小值為-1。

2.計算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

當x→2時，分子x3-8=(x-2)(x2+2x+4)→0，分母x-2→0。為“0/0”型未定式，可用洛必達法則或因式分解。

方法一：因式分解。x3-8=(x-2)(x2+2x+4)。

原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)

=lim(x→2)(x2+2x+4)（x≠2時，可約去(x-2)）

=22+2*2+4

=4+4+4

=12。

方法二：洛必達法則。原式=lim(x→2)[d/dx(x3-8)]/[d/dx(x-2)]

=lim(x→2)(3x2)/(1)

=3*22

=12。

答：極限值為12。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=3，b=√7，c=2，求角B的大小。

利用余弦定理求cosB：

cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)

=(32+22-(√7)2)/(2*3*2)

=(9+4-7)/12

=6/12

=1/2。

因為角B在三角形內(nèi)，所以B∈(0,π)。滿足cosB=1/2的唯一角是B=π/3。

答：角B的大小為π/3。

4.解不等式：|2x-1|>3。

根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，|A|>B(B>0)<=>A>B或A<-B。

|2x-1|>3<=>2x-1>3或2x-1<-3。

解第一個不等式：2x-1>3=>2x>4=>x>2。

解第二個不等式：2x-1<-3=>2x<-2=>x<-1。

故不等式的解集為(-∞,-1)∪(2,+∞)。

答：解集為(-∞,-1)∪(2,+∞)。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項和為Sn，且滿足a?=S?-S???（n≥2），a?=1，求通項公式a?。

由a?=S?-S???(n≥2)，可得a?=S?-S?，a?=S?-S?，...，a?=S?-S???。

將這些式子相加：a?+a?+...+a?=(S?-S?)+(S?-S?)+...+(S?-S???)

左邊：a?+a?+...+a?=(a?)+(a?)+...+(a?)。

右邊：S?-S?+S?-S?+...+S?-S???=S?-S?。

故a?+a?+...+a?=S?-S?。

當n≥3時，這個等式成立。

另有已知a?=1。

令n=2，此時n≥3的條件不滿足，但我們可以考慮n≥3時的通式。

我們知道S?=a?+a?+a?+...+a?。

所以S?-S?=(a?+a?+a?+...+a?)-(a?+a?)=a?+a?+...+a?。

這與上面推導的a?+a?+...+a?=S?-S?一致。

現(xiàn)在我們需要找到a?與n的關(guān)系。

由a?=S?-S???(n≥2)，兩邊同時加a?：

a?+a?=(S?-S???)+a?

a?+1=S?-(S???-a?)

a?+1=S?-S???+a?

a?+1=a?+a?

a?+1=a?+1。

這個等式對所有n≥2都成立，但并沒有直接給出a?的表達式。

我們嘗試從S?-S???=a?(n≥2)出發(fā)，考慮n=2的情況：

a?=S?-S?。

但S?=a?=1，S?=a?+a?=1+a?。

代入得：a?=(1+a?)-1=>a?=a?。

這同樣沒有提供信息。

讓我們回到a?=S?-S???(n≥2)。

令n=n，a?=S?-S???。

令n=n-1，a???=S???-S???。

將這兩個式子相減：

a?-a???=(S?-S???)-(S???-S???)

a?-a???=a?-a???。

這是個恒等式。

另一個思路是利用a?=S?-S???(n≥2)和a???=S???-S???(n≥3)。

n≥3時，a?-a???=(S?-S???)-(S???-S???)=a?-a???。

仍然沒有提供新信息。

我們需要從a?開始推導。

a?=S?-S?=(a?+a?)-a?=a?。

這意味著任何a?的值都滿足這個等式，這顯然不對。

問題可能出在條件理解上。條件是a?=S?-S???對所有n≥2成立。這包括n=2。

所以對于n=2，有a?=S?-S?=(a?+a?)-a?=a?。

這意味著a?+a?=2a?=>a?=a?。已知a?=1，所以a?=1。

現(xiàn)在對于n≥3，a?=S?-S???。

S?=a?+a?+...+a?。

S???=a?+a?+...+a???。

所以a?=(a?+a?+...+a?)-(a?+a?+...+a???)=a?。

這還是沒提供信息。

讓我們嘗試用a?=S?-S???(n≥2)和a???=S???-S???(n≥3)。

a?-a???=(S?-S???)-(S???-S???)=a?-a???。

還是恒等式。

看起來直接從a?=S?-S???推導通項很困難。

另一個方法是考慮n≥2時，a?=S?-S???。

令n=n-1，a???=S???-S???。

兩式相減：a?-a???=(S?-S???)-(S???-S???)=a?-a???。

沒用。

嘗試a?=S?-S???(n≥2)和a???=S???-S???(n≥3)和a???=S???-S???(n≥4)。

a?-a???=a?-a???。

a???-a???=a???-a???。

似乎沒有新的遞推關(guān)系。

可能需要重新審視條件。

條件是a?=S?-S???對所有n≥2成立。這隱含了a?+a?+...+a?=S?。

如果我們假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為d。

a?=a?+(n-1)d。

S?=n/2*(2a?+(n-1)d)。

需要驗證a?=S?-S???是否成立。

S???=(n-1)/2*(2a?+(n-2)d)。

S?-S???=n/2*(2a?+(n-1)d)-(n-1)/2*(2a?+(n-2)d)

=(n/2)*[2a?+nd-d]-((n-1)/2)*[2a?+nd-2d]

=(n/2)*[2a?+nd-d]-(n/2-1/2)*[2a?+nd-2d]

=(n/2)*[2a?+nd-d]-(n/2)*[2a?+nd-2d]+(1/2)*[2a?+nd-2d]

=(n/2)*[2a?+nd-d-2a?-nd+2d]+(1/2)*[2a?+nd-2d]

=(n/2)*[a?+d]+(1/2)*[2a?+nd-2d]

=(n/2)*[a?+d]+a?+n/2*d-d

=(n/2)*[a?+d+a?+d-2d]

=(n/2)*[2a?]

=na?。

a?=a?+(n-1)d。

需要na?=a?+(n-1)d。

na?=a?+nd-d。

(n-1)a?=nd-d。

(n-1)a?=d(n-1)。

如果n≠1，則a?=d。

所以如果數(shù)列是等差數(shù)列，那么a?=d。

已知a?=1，所以d=1。

因此數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1。

通項公式a?=a?+(n-1)d=1+(n-1)*1=n。

驗證n=1時：a?=1。符合。

驗證n≥2時：a?=S?-S???。

S?=n/2*(2*1+(n-1)*1)=n/2*(n+1)。

S???=(n-1)/2*(2*1+(n-2)*1)=(n-1)/2*(n)。

S?-S???=n/2*(n+1)-(n-1)/2*n=n/2*(n+1-(n-1))=n/2*2=n。

所以a?=S?-S???=n。對所有n≥1成立。

答：通項公式a?=n。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（10題，每