1第1講全等三角形 第2講等腰三角形 第3講等邊三角形 第4講直角三角形 第5講平行四邊形 第8講中點(diǎn)的暢想 第9講平行線分線段成比例 第10講相似三角形的判定 17第11講相似三角形的性質(zhì) 第12講幾何不等式 第13講圖形面積 第14講平移變換 第15講對(duì)稱變換 第16講數(shù)形互助 第17講圖論思想 第18講染色問(wèn)題與染色方法 216第19講解析法初步 2第1講全等三角形全等三角形是研究三角形、四邊形的主要工具，是解決有關(guān)線段：角等問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)，線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角的關(guān)系、兩直線位置關(guān)系等的證明問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為證明三角形全等。熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：例1如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD,。(上海市競(jìng)賽題)解題思路運(yùn)用角平分線翻折構(gòu)造全等三角形。B.3<AB<13C.5<AB<13D.9<AB<13(陜西省競(jìng)賽題)解題思路線段AC.AD.AB不是同一個(gè)三角形的三條邊，通過(guò)中線倍長(zhǎng)，將分散的條件加以集中。DDAC3(天津市競(jìng)賽題)解題思路AB、CD所在的三角形不全等，通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形是證明的關(guān)鍵，即以一個(gè)如圖③,由45°聯(lián)想到等腰直角三角形等。BB構(gòu)造的過(guò)程是想象的過(guò)程，構(gòu)造的過(guò)程是邏輯思考的過(guò)程，你有其他的構(gòu)造方法嗎?解題思路截長(zhǎng)法(或補(bǔ)短法)是證明線段和差問(wèn)題的基本方法。即在AB上截取AF,使AF=AC,以下只要證明FB=BD。例5如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-4,0),B(0,4),C(0,2),D(2,0)。(2)如圖②,設(shè)E,F分別是AC,BD的中點(diǎn)，試判斷△OEF的形狀，并說(shuō)明理由；(3)如圖③,延長(zhǎng)AC交BD于P,連OP,試求的值。圖①4解題思路對(duì)于(3),∠PAB+∠PBA=∠APD,即求的值，猜測(cè)OP平分∠APD,怎樣證明?例6下列四個(gè)判斷：(1)有兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(2)有兩邊及第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(3)三角形6個(gè)邊、角元素中，有5個(gè)元素分別相等的兩個(gè)三角形全等；(4)一邊及其他兩邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。上述判斷是否正確?若正確，說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)舉出反例。(江蘇省競(jìng)賽題)解判斷(1)、(2)、(3)、(4)都不正確。判斷(1)的反例：如圖①,在△ABC中，AC=AC,BC=B'℃,高AH=AH,但這兩個(gè)三角形不合等。判斷(2)的反例：如圖②,在△ABC、△ABC'中，AB=AB,AC=AC',高AH=AH,但兩個(gè)三角形不全等。圖①圖②圖③判斷(3)的反例：設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=16,AC=24,BC=36;△A'B'℃的三邊長(zhǎng)分別為A'B'=24,A'C'=36,B'C'=54.由于△ABC與△A'B'C'的對(duì)應(yīng)邊成比例，故△ABC∽△A'B'C',從而它們有5個(gè)邊、角元素分別判斷(4)的反例：如圖③,在△ABC中，AD,BE分別是邊BC,AC上的高，作∠BAF=∠BAC,延長(zhǎng)BC,FA交于點(diǎn)綜上所述，題中四個(gè)判斷都不正確。半角模型半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的—半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等，通過(guò)翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)造全等或相似三角形，弱化條件，變更載體，而構(gòu)建模型，可把握問(wèn)題的本質(zhì)。例7(1)問(wèn)題背景：如圖①,在四邊形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系。小王同學(xué)探5究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使可得出結(jié)論。他的結(jié)論應(yīng)是;DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,上的點(diǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；(3)實(shí)際應(yīng)用：如圖③,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離。(山東省德州市中考題)對(duì)于實(shí)際應(yīng)用，通過(guò)作輔助線完善圖形，為半角模型的應(yīng)用創(chuàng)造條件。1.如圖，AB=2,BC=AE=6,CE=CF=7,BF=8,則四邊形ABDE與△CDF面積的比值是。(北京市競(jìng)賽題)2.已知A(-1,0),5(3,0),0(2,2),以A,B,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，則符合條件的D3.如圖，△ABC繞著C點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)20°,B點(diǎn)落在B'′點(diǎn)位置，A點(diǎn)落在A'點(diǎn)位置，若AC6(江蘇省競(jìng)賽題)4.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=51(北京市競(jìng)賽題)5.如圖，I是△ABC的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，且CA+AI=BC,若∠BAC=80°,則∠ABC=,(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)6.一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別為3,5,7,另一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別為3,3x-2,2x-1,若這兩個(gè)三角形全等，則x的值是_。(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)7.在△ABC中，高AD,BE所在的直線相交于點(diǎn)G,若BG=AC,則∠ABC的度數(shù)為()。A.45°B.135°C.60°或120°D.45°或135°(湖北省黃岡市競(jìng)賽題)8.如圖，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,BE⊥AD交AC的延長(zhǎng)線于F,E為垂足則結(jié)論：①AD=BF;②CF=CD;③AC+CD=AB;④BE=CF;⑤BF=2BE,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A.1B.27(河北省競(jìng)賽題)9.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分△BAD,AB>AD,下列結(jié)論中正確的是()。A.AB-AD>CB-CDB.AB-AD=CB-CDD.AB-AD與CB-CD的大小關(guān)系不確定(江蘇省競(jìng)賽題)10.如圖，△ABC是一個(gè)等腰直角三角形，DEFG是其內(nèi)接正方形，H是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)。那么,由圖中的線段所構(gòu)成的三角形中相互全等的三角形的對(duì)數(shù)為(。A.12B.13(江西省競(jìng)賽題)11.下面三個(gè)判斷：(1)存在這樣的三角形，它有兩條角平分線互相垂直；(3)存在這樣的三角形，其中一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半。其中，正確的判斷有()。(江蘇省競(jìng)賽題)下列結(jié)論：①∠DIF=45°;②CF+BE=BC;③AE+AF=2AH;④S四邊形BEDC=2SAIBC.則正確沒(méi)結(jié)論的個(gè)數(shù)813.(1)閱讀理解：如圖①,在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍。解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD)。把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷。中線AD的取值范圍是o(2)問(wèn)題解決：連接EF。求證：BE+CF>EF;(3)問(wèn)題拓展：如圖③,在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70°角，角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證圖③(2016年貴州省貴陽(yáng)市中考題)14.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°,AD,CE分別平分∠BAC,∠ACB。求證：AC=AE+CD。(湖北省武漢市競(jìng)賽題)9(廣西競(jìng)賽題)求證：∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。(北京市競(jìng)賽題)18,設(shè)梯形兩底邊長(zhǎng)為整數(shù)，求證：它可以分割為若干個(gè)彼此全等的三角形。(環(huán)球數(shù)學(xué)奧林匹克試題)19.問(wèn)題提出：學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究。然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究。深入探究：第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF。(1)如圖①,在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根據(jù)，可以知道Rt△ABC(2)如圖②,在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E (江蘇省南京市中考題)20.如圖，已知A(a,0),B(0,b),且a,b滿足a2-8a+√a-(2)如圖①,若C(6,0),連CB,作BD⊥CB于B,且BC=BD,連接AD交y軸于P點(diǎn)，求P點(diǎn)則∠EMF的大小是否發(fā)生改變?若不變，請(qǐng)求出其度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案例1180°在AB上截取AF=AD,連CF,則△ABC≌△DEF,∠ADC=∠AFC,可證明BE=EF,例4如圖，在AB上截取AF,使AF=AC,連接EF。而∠5+∠AFE=180°,則∠5=∠D。例5(1)證明△ACO≌△BDO得AC=BD。于點(diǎn)N,例7(1)問(wèn)題背景：EF=BE+DF(2)探索延伸：EF=BE+DF仍然成立，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF即可。(3)實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF,延長(zhǎng)AE,BF相交于點(diǎn)C,在四邊形AOBC中，∠OAC+∠OBC=180°,符合探索延伸中的條件，∴EF=AE+BF=1.5×(60+80)=210(海里)。參考答案2.(0,2)或(0,-2)或(2,-2)4.39°連BD,△ABD≌△CFB,△ABE≌△FCA,得DB=FB,AE=AF,△DBF,△EAF都是等腰直5.40°,120°在BC上取點(diǎn)D,使CD=AC,連DI,則△ACI≌△DCI。8.D①②③⑤正確。(3)延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N,使BN=DF,證明△NBC≌△FDC,△NCE≌△FCE,由此可得BE+DF=EF。17.如圖，連接AC,EC,CA。因?yàn)榱呅蝺?nèi)角和為720°,又∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠E,18.設(shè)兩底邊長(zhǎng)為n≤m當(dāng)m=n或n+1時(shí)兩底的對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)A;B,A,Bi+1相連，由于平行四邊形被一條對(duì)角線分成的兩個(gè)三角形全等，故得到全等的三角形分割。當(dāng)m≥n+2時(shí)將兩腰m-n等分，過(guò)分點(diǎn)作底邊的平行線將原梯形分割為m-n個(gè)梯形。每個(gè)按上述(n,n+1)方式分割為全等的三角形。由于任意兩層的同方向平行四邊形彼此全等，故各層的所有三角形彼此全等。(2)如圖①,分別過(guò)點(diǎn)C,F作對(duì)邊AB,DE上的高CG,FH,其中G,H為垂足。ADB(E)(3)如圖②,△DEF就是所求作的三角形。(4)本題答案不唯一，此答案供參考：∠B≥∠A。(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E,可證明△BOC≌△DEB,△AOP≌△DE(3)∠EMF=45°,值不變，在x軸上截取AN=OF,連接QM,MN,可證明△OMF≌△AMN,∠FMN=90°,第2講等腰三角形知能概述等腰三角形的豐富性質(zhì)為角度的計(jì)算、線段相等、直線位置關(guān)系的證明等問(wèn)題提供了新的理論依據(jù)。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造等腰三角形是解與等腰三角形相關(guān)問(wèn)題的常用技巧，而分類討論是解等腰三角形問(wèn)題的重要方法。熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)(2)如圖②,四邊形ABDC中，△EDC是由△ABC繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)40°所得，頂點(diǎn)A恰好轉(zhuǎn)到AB上一點(diǎn)E的位置，則∠1+∠2度。(江蘇省競(jìng)賽題)解題思路對(duì)于(1),設(shè)∠BAC=x°。把相關(guān)的角用x的式子表示：對(duì)于(2),尋找網(wǎng)中全等三角形、等腰三角形。例2(1)如圖①,在等腰Rt△ABC巾，AD為斜邊上的高，以D為端點(diǎn)任作兩條互相垂血的射線與兩腰相交于E,F,連接EF與AD相交于點(diǎn)G,則∠AED與∠AGF的關(guān)系為();C.∠AED<∠AGFD.不能確定(《學(xué)習(xí)報(bào)》公開(kāi)賽試題)(2)如圖②,在Rt△ABC中，已知∠C=90°,∠A=30°,在直線BC或AC上取一點(diǎn)P,使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有(。(江蘇省競(jìng)賽題)的腰，也可為其底。(天津市競(jìng)賽題)解題思路如何利用條件∠B=2∠C?又怎樣得到AD+BD?不同的思考方向，會(huì)得到不同的解題方例4兩個(gè)全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E,A,C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD,取BD的中點(diǎn)M,連接ME,MC,試判斷△EMC的形狀，并說(shuō)明理由。解題思路從△ADE≌△BAC出發(fā)，先確定△ADB的形狀，為判定的形狀奠定基礎(chǔ)。長(zhǎng)線于E,交AC于F,求證：(重慶市競(jìng)賽題)解題思路分兩步證明：先證BE=CF,再證中點(diǎn)、平行線、平分線給我們豐富的聯(lián)想：中點(diǎn)→中心對(duì)稱、中位線，平行線+平分線→等腰三角形，平分線+垂線→等腰三角形。例6一個(gè)三角形可被剖分成兩個(gè)等腰三角形，原三角形的一個(gè)內(nèi)角為36°,求原三角形最大內(nèi)角的所有可能值。(青少年數(shù)學(xué)國(guó)際城市邀請(qǐng)賽)分祈與解剖分的三角形有不同形式，剖分線與36°的角有不同的位置關(guān)系，故應(yīng)全面討論。(1)若剖分線不過(guò)點(diǎn)B,設(shè)剖分線為AD,相應(yīng)角的度數(shù)如圖；(2)若剖分線過(guò)點(diǎn)B,設(shè)剖分線為BE,相應(yīng)角的度數(shù)如圖。故原三角形的最大內(nèi)角可能是72°,90°,108°,126°,132°。度數(shù)。(北京市競(jìng)賽題)又∠ADC=21°+46°=67°,故∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°,∠CDE=113°-67°=46°,連DE,可證△CDE解法2如圖②,過(guò)A點(diǎn)作AEIBC,過(guò)D點(diǎn)作DE/IAB,連接EC?！郃C=DE(等腰梯形對(duì)角線相等),確定主條件所謂解題，即從已知條件出發(fā)，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)方法，推出未知結(jié)論的過(guò)程。當(dāng)條件眾多時(shí)，可選擇一個(gè)條件為主條件，尋找解決問(wèn)題的實(shí)破口。例8如圖，在△ABC中，已知∠B=2△ABCC,AC=AB+BD,求證：AD是∠BAC的平分線。(2016年四川省競(jìng)賽題)解題思路條件有倍角關(guān)系、線段和關(guān)系，擇其一為主條件，聯(lián)想到相應(yīng)作輔助線方法，可得到不1.已知△ABC的某兩個(gè)內(nèi)角的比是4:7,且AB=AC,BD⊥AC于D,BE平分△ABC交AC于E,2.有一個(gè)等腰三角形紙片，若能從一個(gè)底角的頂點(diǎn)出發(fā)，將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為_(kāi)度。(江蘇省競(jìng)賽題)3.已知等腰△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c均為整數(shù)，且滿足a+bc+b+ca=24,則這樣的三角形共有 個(gè)。(四川省競(jìng)賽題)4.(1)已知△ABC是等腰三角形，由頂點(diǎn)A所引BC邊的高線恰等于BC邊長(zhǎng)的一半，則∠BAC=;(北京市競(jìng)賽題)(2)如圖鋼架中，焊上等長(zhǎng)的13根鋼條來(lái)加固鋼架。若AP?=P?P?=P?P?=.….=Pi?P14=P14A,則∠A的度數(shù)是0(浙江省紹興市中考題)(北京大學(xué)自主招生試題)6.如圖，在△ABC中，AB=BC,在BC上取點(diǎn)M,在MC上取點(diǎn)N,(俄羅斯薩溫市競(jìng)賽題)7.已知△ABC中，AB=6,AC=8,BC=11.任作一條直線將△ABC分成兩個(gè)三角形，若其中有一個(gè)三角形是等腰三角形，則這樣的直線最多有()。(2016年山東省萊蕪市中考題)A.10°B.15°C.20°(遼寧省大連市競(jìng)賽題)(海南省競(jìng)賽題)11.如圖，在△ABC中，∠BAC,∠BCA的平分線相交于點(diǎn)I,若∠B=35°,BC=AI+AC,則∠BACA.60°B.70°C.80°12.在△ABC中，∠ABC=12°,∠ACB=132°,BM和CN分別是這兩個(gè)角N分別在直線AC和直線AB上，則()。A.BM>CNB.BM=CNC.BM<CND.BM和CN的大小關(guān)系不確定(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)(湖北省黃岡市競(jìng)賽題)為∠BAC,∠ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP。(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)15.如圖，在銳角△ABC的邊上分到作等腰Rt△ABP和等腰Rt△AQC,其中∠APB和∠AQC都是直角，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連PM,QM,PQ。求證：△PMQ為等腰直角三角形。(湖北省黃岡市競(jìng)賽題)16.如圖，已知∠BAD=∠DAC=9°,AD⊥AE,且AB+AC=BE,求∠B的度數(shù)。(“新知杯”上海市競(jìng)賽題)∠BAO的度數(shù)。(天津市競(jìng)賽題)18.某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：設(shè)∠BAC=0(0°<θ<90°),現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB,AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線活動(dòng)一如圖①所示，從點(diǎn)A?開(kāi)始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直，A?A?為第1根小棒。②若記小棒A?n-1A?n的長(zhǎng)度為an(n為正整數(shù)，如A?A?=a?,A?A?=a2,..),求出此時(shí)a?,a3的值，并直接寫出an(用含n的式子表示);活動(dòng)二如圖②所示，從點(diǎn)A?開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A?A?為第1根小棒，且A?A?=AA1。(3)若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則θ?=,θ?=_,θ?=(用含θ的式子表示);(4)若只能擺放4根小棒，求θ的取值范圍。(江西省南昌市中考題)19.如圖①,△ABC中，沿∠BAC的平分線AB?折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B?A?C的平分線A?B?折疊，剪掉重疊部分；……;將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重。無(wú)論折疊多少次；只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的“好角”。小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形。情形一：如圖②,沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB?折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合。情形二：如圖③,沿△ABC的∠BAC的平分線AB?折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B?A?C的平分線A?B?折疊，此時(shí)點(diǎn)B?與點(diǎn)C重合。探究發(fā)現(xiàn)(2)小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄俊螧與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之間的等量關(guān)系；根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之(3)小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15°,60°,105°,發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角形的好角。請(qǐng)你完成：如果一個(gè)三角形的最小角是4°,試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角。(江蘇省淮安市中考題)通過(guò)折疊方式定義“△ABC的好角”,對(duì)于(3),在(2)的基礎(chǔ)上，引入字母表示此三角形另兩角。20.如圖，已知△ABC中，∠B=∠C=40°,將AB延長(zhǎng)到D,使得AD=BC。求證：∠BCD=10°。(美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)參考答案例3延長(zhǎng)DB至E,使BE-AB,連AE,則ZABC-2么E-2么C,么C-ZE.‘為等腰直角三角形。例5如圖延長(zhǎng)FM至P點(diǎn)，使MP=MF,連BP,則△BMP≌△CMF,例8下列解法僅供參考，請(qǐng)讀者完成。證法1:如圖①,作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)E,過(guò)D作BE的平行線，交AC于點(diǎn)F,交AB的延長(zhǎng)線于G。證法2:如圖②,延長(zhǎng)DB至E,使BE=AB,連接AE。證法3:如圖③,延長(zhǎng)AB至G,使BG=BD,連接CG,DG。AAA參考答案1.15°或18°三內(nèi)角比為4:7:7或7:4:4。2.3.3原式=(a+b)(c+1)=12×2=8×3=6×4,底邊的長(zhǎng)只能為c,滿足條件的三角形有3個(gè)：c=1,4.(1)90°或75°或15°7.C分別以A,B,C為等腰三角形的頂點(diǎn)的等腰三角形有4個(gè)；分別以AB,AC,BC為底的等腰三角形有3個(gè)。11.B在BC上截取CD=CA,連接ID,∴∠BNC=180°-∠ABC-∠BCN=18013.以下證法僅供參考：以AD為邊在△ABD內(nèi)作等邊△ADE,先證△EAB≌△DAC,再證△ABE≌△DBE即可。14.延長(zhǎng)AB至M,使BM=BP,BQ=QC,證明AC=AM。15.延長(zhǎng)PM至N,使MN=PM,則△PBM≌△NCM,連Q△PQN為等腰直角三角形，從而△PMQ為等腰直角三角形。16.如圖，延長(zhǎng)BA至F,使AF=AC,則BF=BE。故90°-α=∠5=∠1+∠B=9°+180°-4α,解得α=330,∠B=180°-4×33°=48°。17.作∠BAC的平分線與CO線交于D,連BD,則△ABD即△ABO為等腰三角形，得18.(1)能(2)①22.519.(1)是(2)∠B=n∠C。(3)設(shè)另兩角分別為4m°,4mn°(m,n為正整數(shù)),則4m+4mn+4=180°,得m(n+1)=44,經(jīng)討論得4m=4,4mn=172;4m=8,4mn=168;4m=16,4mn=160;4m=44,4mn=132;4m=88;4mn=88。故該三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為4°,172°;8°,168°;16°,160°;44°,132°;88°,88°。20.作∠C的平分線交AB于點(diǎn)E,∠BAC=100°,由傳統(tǒng)名題可得BC=CE+EA,又AD=BC,第3講等邊三角形知能概述等邊三角形是特殊的等腰三角形，它的特殊性體現(xiàn)在邊、角、對(duì)稱性，以及如下性質(zhì)：等邊三角形內(nèi)任意二點(diǎn)到三邊距離和是一個(gè)定值，等于一邊上的高。利用特殊角或線段構(gòu)造等邊三角形，進(jìn)而運(yùn)用等邊三角形性質(zhì)為解題服務(wù)是解相關(guān)問(wèn)題的常用技巧。問(wèn)題解決例1如圖，已知六邊形ABCDEF的各個(gè)內(nèi)角等于120°,AB+AF=5,AF+FE=6,AB=CD,則六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)為0(重慶市競(jìng)賽題)解題思路通過(guò)向外補(bǔ)形，把六邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形問(wèn)題加以解決。PC為邊的三角形的三個(gè)角的大小之比(從小到大)是()。A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.不能確定(全國(guó)通訊賽試題)解題思路解題的關(guān)鍵是怎樣構(gòu)造以PA,PB,PC為邊的三角形。若把△PAB,△PBC,△PCA中的任一個(gè)繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°,就可把PA,PB,PC集中。求證：△ABC是等邊三角形。解題思路只需證明AB=CB。條件AE=BD,CE=DE能導(dǎo)出什么結(jié)論?延長(zhǎng)BD至F,使DF=BC。例4(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底邊是BC,點(diǎn)D在線段AB上，E是直線BC上一點(diǎn)，EB=AD;CCC(2)若將(1)中的“點(diǎn)D在線段AB上”改為“點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上”,其他條件不變(如圖②),(1)的結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由；(3)若將(1)中的“若∠A=60°”改為“若∠A=90°”,其他條件不變，則的值是多少?(直接寫出結(jié)論，不要求寫解答過(guò)程)(2016年山東省泰安市中考題)解題思路對(duì)于(1),通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形；把解決(1)的方法恰當(dāng)遷移至問(wèn)題(2)、(3)是解題的關(guān)鍵。探究1如圖①,過(guò)等邊△ABC的頂點(diǎn)A,B,C依次作AB,BC,CA的垂線圍成△MNG。探究2在等邊△ABC內(nèi)取一點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D分別作OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分別為D,E,F。(1)如圖②,若點(diǎn)O是△ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個(gè)正確結(jié)論(不必證明):(2)如圖③,若點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則上述結(jié)論1、2是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析與解探究1的結(jié)論對(duì)于探究2的結(jié)論2起到了提示作用，構(gòu)造等邊三角形將AD+BE+CF轉(zhuǎn)化為OD+OE+OF情形。探究2結(jié)論1、2仍然成立，探究1的結(jié)論對(duì)于探究2的結(jié)論2起到了提示作用。證明如下：如圖④,過(guò)點(diǎn)A,B,C依次作邊AB,BC,CA的垂線圍成△MNG,則△MNG為等邊三角形且MN=√3a,過(guò)點(diǎn)0分別作OD'⊥MN于D',OE'⊥NG于E',OF'⊥MG于F',由結(jié)論得又四邊形ADOF′為矩形，∴OF′=AD。同理OD′=BE,OE′=CF。度數(shù)。分析雖然80°,20°,80°并不是特殊角，但是它們的差卻為60°,60°使我們聯(lián)想到等邊三角形，由此找到解題突破口。解法1如圖①,以BC邊為邊.在△ABC內(nèi)作等邊△BCO,連AO,由圖形的軸對(duì)稱知，△ABO≌?qǐng)D②AB=AC=AE,雙等邊三角形以一個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)向外作兩個(gè)等邊三角形；或以在一條直線上的兩條線段為邊向外作兩個(gè)等邊三角形，或以一個(gè)基本圖形兩邊為邊向外作兩個(gè)等邊三角形，稱為雙等邊三角形。例7如圖，△ABC,△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A,C,E在一條直線上，AD與BE,AD與BC,BE與CD分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)Q。求證：(1)AD=BE,AP=BQ;(1)如圖①,將△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論哪些依然成立?哪些不成立?(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)C在線段上沿著從點(diǎn)A向點(diǎn)E的方向移動(dòng)(點(diǎn)C與點(diǎn)A、E不重合)。連接BD,R為BD中點(diǎn)，則點(diǎn)R到AE的距離為定值；(3)將兩個(gè)正三角形改為正方形，我們又能提出什么問(wèn)題?更一般的情形呢?刻意練習(xí)(河南省競(jìng)賽題)2.如圖，在正△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,CA上，使得CD=AE,AD與BE交于點(diǎn)P,BQ(“新知杯”上海市競(jìng)賽題)(北京市競(jìng)賽題)(“祖沖之杯”免賽題)(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題〉6.每三根牙簽可造出一個(gè)等邊三角形，而這些小等邊三角形可分層堆成大等邊三角形。如圖表示三層全等的小等邊三角形形成的大等邊三角形，其中最底層共有5個(gè)小等邊三角形，試問(wèn)欲堆成底層共有2003個(gè)小等邊三角形的大等邊三角形共需()根牙簽。A.1004004B.1005006C.1507509D.30150187.如圖，在四邊形ABCD中，AC,BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°,AD=3,BD=5,6一26一28.如圖，設(shè)△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°,則的度數(shù)是()。AA.124°B.122°C.120°A9.以銳角△ABC的各邊為長(zhǎng)，在△ABC形外分別作等邊三角形，得△ABD,△BCE,△CAF,結(jié)論：③AE,BF,CD每?jī)蓷l夾角(銳角)都等于60°。正確選項(xiàng)是(。C.①③成立，②不成立D.①成立，②③不成立10.如圖，一個(gè)凸六邊形的六個(gè)內(nèi)角都是120°,六條邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,d,e,f,則下列等式中成立的是(。A.a+b+c=d+e+fB.a+c+e=b+d+fC.a+b=d+eD.a+c=b+d(湖北省黃岡市競(jìng)賽題)12.如圖，已知等邊△ABC,在AB上取點(diǎn)D,在AC上取點(diǎn)E,使得AD=AE,作三個(gè)等PCD,QAE和RAB,求證：P,Q,R(江蘇省競(jìng)賽題)AC于F。若AF=EF,求∠ADB的度數(shù)。(日本數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)14.如圖，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°,M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得∠MCA=30°,∠MAC=16°。求∠BMC的度數(shù)。(北京市競(jìng)賽題)度數(shù)。(青少年數(shù)學(xué)國(guó)際城市邀請(qǐng)賽)16.(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①,D是等邊△ABC邊BA上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△DCF,連接AF。你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。(2)類比猜想：如圖②,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與(1)相同，猜想AF與BD在(1)中的結(jié)論是否仍然成立?(3)深入探究：①如圖③,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合),連接DC,以DC為邊你探究的結(jié)論。②如圖④,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊三角形邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與圖③相同，①中的結(jié)論是否成立?若不成立，是否有新的結(jié)論?并證明你得出的結(jié)論。(湖南省岳陽(yáng)市中考題)(北京市競(jìng)賽題)18.(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①,點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a,AB=b。填空：當(dāng)點(diǎn)A位于時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為(用含a,b的式子表示)。(2)應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=3,AB=1。如圖②所示，分別以AB,AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE。①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說(shuō)明理由；②直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值。(3)拓展：如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)P為線段AB參考答案解題解決例117如圖，延長(zhǎng)AB,CD,EF交于P,Q,R,邊三角形。設(shè)六邊形ABCDEF的各邊依次是a,b,c,f,d,e,f,因△PQR是等邊三角形，于是有a+b+c=b+c+d=e+d+fd=f,e=6-f,于是a+b+c+d+e+f=17。備用圖(2016年河南省中考題)顯然△PBC,△AQF,△DER,△PQR都是等由已知，a+f=5,f+e=6,a=c,可算出a=5-f,b=1+f,c=5-f,例2A將△ABP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得△CBD,則△ABP≌△CBD,△PBD為等邊三角形。∵AE=BD,BD=CF,∴AE=CF。∴AB=CB,(2)方法不變，(1)中結(jié)論仍成立。(3)同理作DF//BC交AC于點(diǎn)F,參考答案5.20°延長(zhǎng)DB至F,使BF=ED,連接CF,則△AED,△ACF都為等邊三角形，可證明△CAD≌6.C底層等邊三角形個(gè)數(shù)=2n-1,牙簽總數(shù)∠CBD=2°+α,于是∠EBA=60°-(2°+α)=58°-α,故∠AEB=180°-α-(58°-α)=122°。12.連接BP,可證明△ADC≌△BPC,又∠RAB+∠BAC+∠QAE∵∠CBP=∠CAD=60°,∠RBA+∠ABC+∠CBP=180°,∴R,B,P三點(diǎn)共線，而AQ=AE=AD=BP,13.下面解法僅供參考：如圖，延長(zhǎng)AD至G,使DG=AE,于是AD=EG,連BG,則△ACD≌△EBG,于是△BDG為正三角形，∴∠ADC=60°。14.以下解法僅供參考：如圖，以AC為一邊，向點(diǎn)B所在的一側(cè)作等邊△ACN,連接BN。15.如圖，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)Q,使得AB=AQ,則△BAP≌△QAP,又∠APB=180°-∠PBA-∠PAB=150°,17.如圖.以PC為邊作等邊△PDC,連接AP,AP平分∠BAC,可18.(1)CB的延長(zhǎng)線上.a+b(2)①DC=BE②DE長(zhǎng)的最大值為4(3)如圖①,構(gòu)造△BNP≌△MAP,則NB=AM,由(1)知，當(dāng)點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，NB有最大值，如圖②,易得AN=2√2,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,則PE=AE=√2,第4講直角三角形知能概述直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：角的關(guān)系、邊的關(guān)系、邊角關(guān)系。這些性質(zhì)在求線段的長(zhǎng)度、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面有廣泛的應(yīng)用。代數(shù)化、數(shù)形結(jié)合是運(yùn)用勾股定理的常用技巧。熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：例1如圖，在△ABC中，AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°,則當(dāng)。(江西省中考題)解題思路運(yùn)用勾股定理求相關(guān)線段的長(zhǎng)，因直角三角形直角頂點(diǎn)不確定，故需全面討論。例2如圖，在四邊形ABCD中，∠B=135°,∠C=120°,AB=2√3,BC=4-2√2,CD=4√2,則AD邊的長(zhǎng)為()。A.2√6B.4√6C.4+√6解題思路通過(guò)作輔助線，為直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用創(chuàng)造條件。例3如圖，已知CD是Rt△ABC斜邊上的高，∠A的平分線AE交CD于H,交∠BCD的平分線(天津市競(jìng)賽題)解題思路從直角三角形基本圖形出發(fā)，尋找全等三角形，等腰三角形。例4如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A,D,E在同一直線上，連接BE。(1)如圖①,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°。②求∠AEB的度數(shù)。試證明：(2016年山東省菏澤市中考題)解題思路對(duì)于(2),AE=AD+DE,遷移問(wèn)題(1)的解法，尋找線段間的關(guān)系。例5(1)問(wèn)題背景：在△ABC中，AB,BC,AC三邊的長(zhǎng)分別為√5,√10,√13,求這個(gè)三角形的面積。小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖①所示。這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積。(2)思維拓展：我們把上述求△ABC面積的方法叫作構(gòu)圖法，若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為√5a,2√2a,√17a(請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a)畫出相應(yīng)的△ABC,并求出它的面積。圖①(3)探索創(chuàng)新：圖②圖法求出這個(gè)三角形的面積。(湖北省成寧市中考題)解題思路由數(shù)到形，√a2+b2的幾何意義是直角邊為a,b的直角三角形斜邊的長(zhǎng)，這是解本例的關(guān)鍵。例6一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的面積和周長(zhǎng)的數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在?若存在，確定它的三邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由。(北京市競(jìng)賽題)分析與解假設(shè)存在符合條件的直角三角形，它的三邊長(zhǎng)為a,b,c,其中c為斜邊，則于是將存在性問(wèn)題的討論轉(zhuǎn)化為求方程組的解。由于a,b,c均為正整數(shù)，所以a≠b,不妨設(shè)a>b,則有,兩邊平方整理得，,消得得如圖①中邊長(zhǎng)為a,b,c的四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖②所示的圖形，這個(gè)圖形被稱為“弦圖”,由圖①及弦圖你能寫出若干等式嗎?例7閱讀下面材料：AF=BF=CG=DH=1,當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積。小明發(fā)現(xiàn)，分別延長(zhǎng)QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH;△WPE,是四個(gè)全等的等腰直角三角形(如圖②)。請(qǐng)回答：(1)若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形(無(wú)縫隙不重疊),則這個(gè)新正方形的邊長(zhǎng)(2)求正方形MNPQ的面積。參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖③,在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF,再分別過(guò)點(diǎn)D,E,F作BC,AC,AB的垂線，(北京市中考題)解題思路問(wèn)題(1)為問(wèn)題(2)的解決提供了可以借鑒的方法，而解問(wèn)題(3)需逆向思考，由面積求相關(guān)線段。1.(1)Rt△ABC三邊的長(zhǎng)分別是x,x+1和5,則△ABC的周長(zhǎng)=_,△ABC的面積=_0(2)以200912為一條直角邊，且三條邊都是整數(shù)的不同的直角三角形(全等三角形視為同一三角(青少年數(shù)學(xué)國(guó)際城市邀請(qǐng)賽試題)2.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD,AB=21,AD=9,BC=CD=10,則AC=3.如圖，已知Rt△ABC的兩直角邊AC=5,BC=12,AD平分∠A,則CD=o(山西省太原市競(jìng)賽題)4.如圖，在等腰Rt△ABC中，AB=BC=5,P(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)5.在△ABC中，已知AB=√39,BC=6,CA=√3,M是邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AM延長(zhǎng)線的垂線，垂是為D,則線段BD的長(zhǎng)度是_(四川省競(jìng)賽題)6.長(zhǎng)方形ABCD中嵌入了如圖所示的5個(gè)相同的正方形和一個(gè)三角形，E,F,G,H分別在長(zhǎng)方形的邊AB,BC,CD和DA上。已知AB=22米，BC=20米，則求嵌入的圖形總面積為_(kāi)o7.設(shè)一直角三角形的兩條直角邊為a,b,斜邊為c,斜邊上的高為h,那么以c+h,a+b,h為邊構(gòu)成的三角形的形狀是()。A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不能確定，形狀與a,b,c大小有關(guān)8.對(duì)如下的三個(gè)命題：命題1:邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)的直角三角形是存在的。命題2:邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)的銳角三角形是存在的。命題3:邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)的鈍角三角形是存在的。正確命題的個(gè)數(shù)為(。A.0(江蘇省競(jìng)賽題)9.在直角三角形中，三條邊的長(zhǎng)均為整數(shù)，分別記為a,b,c,其中c為斜邊長(zhǎng)，若A.3B.4C.6(“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)A.16B.20(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)A.9B.10C.1113.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的一點(diǎn)，求證：BD2+CD2=2AD2。(江蘇省南京市競(jìng)賽題)14.如圖，自△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)P,作三角形三條邊的垂線：PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,若BD=BF,(江西省競(jìng)賽題)《北京市競(jìng)賽題》16.已知Rt△ABC中；∠ACB=90°,AC=BC,∠MCN’=45°。(1)如圖①,當(dāng)M,N在AB上時(shí)，求證：MN2=AM2+BN2;(2)如圖②,將∠MCN繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，上述結(jié)論是否成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理?！?b-a)2+(d-c)2,此三角形的面積。18.邊長(zhǎng)為連續(xù)的自然數(shù)且周長(zhǎng)不超過(guò)2010的銳角三角形有多少個(gè)?(世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽試題)的火柴棒(每根長(zhǎng)度記為1個(gè)單位)中取出若干根，首尾依次相接組成三角形，進(jìn)行探究活動(dòng)。小穎分別用24根和30根火柴棒擺出直角“整數(shù)三角形”(2)你能否也從中取出若干根，按下列要求擺出“整數(shù)三角形”?如果能，請(qǐng)畫出示意圖；如果不(福建省寧德市中考題)20.已知直角三角形的邊長(zhǎng)為整數(shù)，周長(zhǎng)為30,求它的斜邊長(zhǎng)。(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)他開(kāi)始琢磨：如何用一串連續(xù)自然數(shù)的平方和構(gòu)造等式?其中有沒(méi)有規(guī)律?參考答案問(wèn)題解決例12或2√3或2√7如圖，當(dāng)∠AP?B=90°例2D如圖，過(guò)A,D分別作AE,DF垂直于直線BC,E,F為垂足。由條件得BE=AE=√6,AD=√(4+√6)2+(√6)2=2例4(1)①由△ACD⊥△BCE,得AD=BE。②∠AEB=80°(2)仿(1)可得AD=BE,(2)△ABC如圖①所示(位置不唯一),(3)構(gòu)造△ABC如圖②所示，(2)由(1)可知；由△RQF,△SMG,△TNH,△WPE拼成的新正方形的面積與正方形ABCD的∴△RAE,△SBF,△TCG,△WDH這四個(gè)全等的等腰直角三角形的面積之和等于正方形MNPQ的△ABC,SARPo=3S△TAD,進(jìn)而可得參考答案刻意練習(xí)1.(1)12或30,6或30(2)612設(shè)(c-a)(c+a)=20092?=412?×74?,3.作DE⊥AB于E。6.220平方米如圖，可以將每個(gè)正方形依長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的方向構(gòu)造成“弦圖”,顯然，所有的直角三角形都相同。設(shè)它的直角邊為a與b,從圖可知，解得a=6,b=2。每個(gè)正方形的面積等于a2+b2=36+4=40(平方米),而其中三角形面積為正方形的一半，為20綜上所述，嵌入圖形的總面積是40×5+20=220(平方米)。8.D3,4,5;4,5,6;2,3,4的三角形顯然存在，且分別為直角、銳角、鈍角三角形。10.A過(guò)A作AD⊥BC于D,可證得AP2+BP·PC=AB2。11.A僅共參考：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F,設(shè)CD=EF=x,則BE=2x,x+1+√12.C設(shè)AD=m,DC=n。(m+n)2-m2=57,n(2m+n)=57=3×19-1×57,(m,n)=(8,3),(28,1),m+n的最小值為11。13.作AEIBC于E,則BD+CU=(BE+DE)2.+(CE_DE)2,展開(kāi)整理即可.,,、r;÷15.連AC,則△ADC為等邊三角形，以BC為邊向形外作等邊三角形BCE,證明BD又由CA=CB,得CD=CB。圖①圖②(2)關(guān)系式MN2=AM2+BN2仍成立，如圖②,由△DCM≌△ACM,同理可證△CGN≌△CBM。連接EF,FB,則BF=√a2+c2,EF=√b2+d2,BE=√(b-a)2+(d-c)2,從而知△BEF就是題設(shè)的三18.設(shè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為n-1,n,n+1,則其中，銳角三角形三邊的長(zhǎng)還要滿足(n-1)2+n2>(n+1)2,解得n>∴4<n≤670,從而知這樣的銳角三角形有666個(gè)。圖①(2)①不能擺出等邊“整數(shù)三角形”,理由略。20.設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)分別為a,b,c(a≤b<c),則a+b+c=30,由a≤b<c得30=a+b+c<3c,∴c>10,由a+b>c得30=a+b+c>2c,∴c<15,∵a2+b2=c2,把c=30-a-b代入并化簡(jiǎn)得ab-30(a+b)+450=0,∵a,b均為整數(shù)，且n≤6,∴只可能是21.那么是否存在七個(gè)連續(xù)正整數(shù)，前四個(gè)數(shù)的平方和恰等于后三個(gè)數(shù)的平方和?為了找出這七個(gè)數(shù)，不妨設(shè)中間數(shù)(即第4個(gè)數(shù))為x,則前四個(gè)數(shù)依次為x-3,x-2,x-1,x;后三個(gè)數(shù)依次為x+1,x+2,(x+3)2-(x-3)2+(x+2)2-(x-2)2+(x+4(3x+2x+x)-x2=0,即24x-x2=0。由此，獲得啟發(fā)，相信存在九個(gè)連續(xù)正整數(shù)，前五個(gè)數(shù)的平方和等于后四個(gè)數(shù)的平方和。設(shè)這九個(gè)連續(xù)數(shù)的中間數(shù)為x,則(x-4)2+(x-3)2+(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+利用乘法公式(a+b)2-(a-b)2=4ab,有據(jù)此規(guī)律，有2n+1個(gè)連續(xù)正整數(shù)，則前n+1個(gè)數(shù)的平方和等于后以個(gè)數(shù)的平方和。設(shè)這2n+1個(gè)連續(xù)正整數(shù)的中間數(shù)為x,則前n+1個(gè)數(shù)依次為x-n,x-n+1,x-n+2,..,x-1,x;后n個(gè)數(shù)依次為x+1,x+2,.,x+n。有(x+n)2-(x-n)2+(x+n-1)2-(x-n+1)2+…+(x亦即這樣就解決了這一研究課題。第5講平行四邊形知能概述平行四邊形是一類特殊的四邊形，它的特殊性體現(xiàn)在邊、角、對(duì)角線上，矩形、菱形是特殊的平行四邊形，它們既有平行四邊形的性質(zhì)，又有各自特殊的性質(zhì).對(duì)角線是解決四邊形問(wèn)題的常用線段，對(duì)角線本身的特征又可以決定四邊形的形狀、大小.連對(duì)角線后，平行四邊形就產(chǎn)生特殊三角形，因此解平行四邊形相關(guān)問(wèn)題時(shí)，既用到全等三角形法、特殊三角形性質(zhì)，又要善于構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形豐富的性質(zhì)為解題服務(wù).熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：例1(1)如圖①,在矩形ABCD中，已知AD=12,AB=5,P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,那么PE+PF的值為的最小值為(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)(“希望杯”遨請(qǐng)賽試題)解題思路對(duì)于(1),△AOD為等腰三角形，若能聯(lián)想到等腰三角形性質(zhì)，則問(wèn)題易解：對(duì)于(2),連AC,由對(duì)稱性確定P點(diǎn)位置.則∠AED的大小是().A.60°B.65°C.70°(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)A.60°B.80°C.100°(安徽省競(jìng)賽題)解題思路對(duì)于(1),作出直角三角形常用輔助線；對(duì)于(2),設(shè)∠B=x°,建立x的方程.例3如圖，已知□ABCD,以AC為邊在兩側(cè)各作一個(gè)正三角形ACP,ACQ.求證：四邊形BPDQ為平行四邊形.(湖北省武漢市競(jìng)賽題)解題思路可從不同角度判定，而發(fā)現(xiàn)圖中其他平行四邊形是證題的關(guān)鍵.例4如圖，凸八邊形ABCDEFGH的八個(gè)內(nèi)角都相等，邊AB,BC,CD,DE,EF,FG的長(zhǎng)分別為7,4,2,5,6,2,求該八邊形的周長(zhǎng).(全國(guó)部分省市通訊賽試題)解題思路八邊形每個(gè)內(nèi)向外補(bǔ)形，構(gòu)造等腰三角形、矩形.例5已知□ABCD的周長(zhǎng)為28,過(guò)頂點(diǎn)D作直線AB,BC的垂線，垂足分別為E,F,若DE=3,DF=4.求：(1)邊AB,BC的長(zhǎng)；(2)BE+BF的長(zhǎng).(第2題)(“祖沖之杯”競(jìng)賽題)(第3題)2.如圖，在Rt△ABC中，CB=3,CA=4,M為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MD⊥AC于D點(diǎn)，過(guò)M作ME⊥CB于點(diǎn)E,則線段DE的最小值為·(四川省競(jìng)賽題)(北京市競(jìng)賽題)4.如圖，將兩個(gè)長(zhǎng)為8,寬為2的矩形透明塑料片交叉擺放，重疊部分是菱形ABCD,當(dāng)兩個(gè)塑料片垂直時(shí)，菱形ABCD的周長(zhǎng)有最小值8;當(dāng)兩個(gè)塑料片不重合但有一條對(duì)角線重合時(shí)，菱形ABCD的周長(zhǎng)最大，這個(gè)最大值是·(第5題)(第4題)(第5題)5.如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BCF四邊形AEFD的面積為(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)(第6題)都是等邊三角形，則(山東省競(jìng)賽題)6.如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，直線1平行于直線EC,且直線1與直線EC之間的距離為2,點(diǎn)F在矩形ABCD邊上.將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)A恰好落在直線1(2016年紹興市中考題)7.已知四邊形ABCD,從下列條件中：①AB//CD;②BC//AD;③AB=CD;④BC=AD;⑤∠A=∠C;⑥∠B=∠D任取其中兩個(gè)，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有().(江蘇省競(jìng)賽題)8.給出下列命題：①一組對(duì)邊和一組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)角的內(nèi)角平分線分別平行的四邊形是平行四邊形；③一組對(duì)邊中點(diǎn)間的距離等于另一組對(duì)邊長(zhǎng)和的一半的四邊形是平行四邊形；④兩條對(duì)角線都平分四邊形的面積的四邊形是平行四邊形.其中，真命題有().(湖北省武漢市競(jìng)賽題)9.如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)是16,DE=2,△FEC是等腰直角三角形，∠FEC=90°,則AE的長(zhǎng)為A.3B.4(第9題)(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)10.已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)A(5,0),OB=4√5,點(diǎn)P是對(duì)角線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D(0,1).當(dāng)CP+DP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為().(第10題)(2016年湖北省咸寧市中考題)A.54°B.60°C.66°(湖北省武漢市競(jìng)賽題)(第11題)(第12題)12.如圖，在菱形ABCD中，已知AB=3,DF=1,∠DAB=60°,∠EFG=15°,FG⊥BC,則AE=(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)一個(gè)內(nèi)角等于60°,則△AMN為等邊三角形.(俄羅斯莫斯科市競(jìng)賽題)(第14題)(第15題)(第16題)BC-EF=ED-AB=AF-CD>0,求證：該六邊形的各角相等.(全俄數(shù)學(xué)奧林匹克試題)16.如圖，已知八邊形所有的角都相等，且邊長(zhǎng)皆為整教.求證：該八邊形對(duì)邊相等.(全俄數(shù)學(xué)奧林匹克試題)知PB=15,BQ=20,PR=30,QS=40.使得P,Q,R,S為AB,BC,CD,DA邊上的點(diǎn)，已若記約分?jǐn)?shù)為矩形ABCD的周長(zhǎng)，求m+n.(美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)18.在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.FFFF(第18題)(1)在圖①中證明：CE=CF;(2)若∠ABC=90°,G是EF的中點(diǎn)(如圖②),直接寫出∠BDG的度數(shù)；(3)若∠ABC=120°,FG//CE,FG=CE,分別連接DB,DG(如圖③),求∠BDG的度數(shù).(北京市中考題)(四川省競(jìng)賽題)(第19題)20.我們知道平行四邊形有很多性質(zhì).如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，那么會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.發(fā)現(xiàn)與證明：結(jié)論1:B'D//AC;請(qǐng)利用圖①證明結(jié)論1或結(jié)論2(只需證明一個(gè)結(jié)論);應(yīng)用與探究：在□ABCD中，已知∠B=30°,將△ABC沿AC翻折至△AB'C,連接B'D.(第20題)(1)如圖①,若AB=√3,∠AB'D=75°,則∠ACB=°,BC=;(3)已知AB=2√3,當(dāng)BC長(zhǎng)為多少時(shí)，△AB'D是直角三角形?(江蘇省鎮(zhèn)江市中考題)21.△ABC是正三角形，在BC上取點(diǎn)A?,A?,在CA上取點(diǎn)B?,B?,在AB上取點(diǎn)C?,C?,使得凸六邊形A?A?B?B?C?C?的邊長(zhǎng)都相等，如圖所示.求證：直線A?B?,B?C?,C?A?相交于一點(diǎn).(2016年北京市競(jìng)賽題)參考答案問(wèn)題解決PE+PC=AE=√(4a)2-(2a2=2√3a為最小.例2(1)D取DE中點(diǎn)M,連AM,則AM=AB.(2)B設(shè)∠B=x°,則∠BAE=∠DAF=180°-2x連接BD,因ABCD是平行四邊形，故BD與AC互相平分，即BD的中點(diǎn)也是0.(例4)例4如圖，延長(zhǎng)AB,CD,EF,GH,得四邊形MNPQ.因?yàn)樵诉呅蔚?個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)內(nèi)角為每個(gè)外角為45°,因而四十十故該八邊形的周長(zhǎng)為32+√2.(2)當(dāng)∠A為銳角時(shí)，BE+BF=2+√3;當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，BE+BF=14+7√3.(2)猜想：(1)中的結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化.證明：如圖，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H,連接CH,CG.由∠ABC=∠BEF=60°,且菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，可得(3)tan(90°-α).參考答案刻意練習(xí)1.75°AB=BO=BE.6.2√2或4-2√2如圖，有點(diǎn)F在AD上或點(diǎn)F在CD上兩種情況.7.B8.B只有②、④正確.9.A10.D連接AD,交OB于點(diǎn)P,此時(shí)CP+DP的值最小，B點(diǎn)坐標(biāo)為B(8,4).11.D取BC中點(diǎn)G,連FG,或延長(zhǎng)EF,CD交于H點(diǎn).(1)若∠MAN=60°,則△ABM≌△ACN.∵AM=AN,∠MAN=60°.∴△ANM為等邊三角形.又∠AMN=60°,故△AMN為等邊三角形.(第14題)(第15題)(第18題)15.如圖，分別過(guò)A點(diǎn)作AM//EF,過(guò)C點(diǎn)作CP//AB,過(guò)E點(diǎn)作EN//AF,它們分別交于N,M,CP=DE,AF=NE,由條件得△NMP為等邊三角形，可推得六邊形的各角均為120°.16.參見(jiàn)例4,由矩形對(duì)邊相等，有,即∵a(i=1,2,…,8)是整數(shù)，而是無(wú)理數(shù)，則必有a?-a?=0.17.如圖，設(shè)AS=x,AP=y.由于菱形與矩形都是中心對(duì)稱圖形，故它們的對(duì)稱中心重合于矩形的中心0,由對(duì)稱性可知，CQ=x,CR=y.由PR=30,QS=40,得PO=OR=15,Q0=OS=20,故△BPQ≌△OPQ,這個(gè)矩形被分成了六個(gè)邊長(zhǎng)分別為15,20,25的直角三角形與兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為x,y,25的直角三角形.由矩形的面積，可得6×150+x×y=(20+x)×(15+y).化簡(jiǎn)，得3x+4y=120.由Rt△ASP,得x2+y2=625.解由這兩個(gè)方程組成的聯(lián)立方程，得x=20,或..但x=20與PR=30不符，故舍去.18