第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江西省撫州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足iz=3?4i，則z的虛部為(

)A.3i B.?3i C.3 D.?32.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，A′D′=2B′C′=2A′B′=1，則下列說法正確的是(

)A.AB=1

B.CD=2

C.四邊形ABCD的周長為5

D.四邊形ABCD3.已知向量a=(?1,?2)，b=(1,λ)，“λ>?12”是“a與bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)a=2tan13°1?tan213°，b=A.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a5.已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為78，且該圓錐的母線是底面半徑的2倍，若△SAB的面積為515A.40π B.(40+402)π C.406.函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移π3個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，則tanφ=A.?3 B.3 C.?7.已知非零平面向量a、b、c，滿足|a|=4，|b?c|=2，若a與b的夾角為πA.23?2 B.3 C.8.已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，D是AB上的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)且CD=2，(a?b)sinA=(c+b)(sinC?sinB)，則a+2b的最大值是(

)A.4 B.23 C.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)(i為虛數(shù)單位)，其中真命題為(

)A.z+z?∈R B.若a=b=1，則z4=?4

C.若1z為虛數(shù)，則z也為虛數(shù) D.10.已知函數(shù)f(x)=2sin(ax+φ)+1(ω>0,|φ|<π2)，滿足f(x)+f(?π3?x)=2，且對任意x∈R，都有f(x)≥f(?A.f(x)圖象的對稱軸方程為x=π12+kπ3，k∈Z

B.f(x)在[?π12,π6]上的值域?yàn)閇3,2]

C.11.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，P、M分別是棱BC，A1B1的中點(diǎn)，連接BM，CM，C1M，R是線段BMA.平面RPQ//平面C1CM

B.直線AC與平面RPQ所成的角為π3

C.三棱錐B?RPQ的體積與正三棱柱ABC?A1B1C1的體積之比為1：48

D.若AB=2AA1=4，則過A，P，R三點(diǎn)作平面α，截正三棱柱12.已知cos(π4?α)=5cos(π413.已知a=(2,4)，b=(?1,3)，則b在a方向上的投影向量的坐標(biāo)為______．14.如圖，在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β(0<β<α<π)，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?35,45)．

(1)求3cosα?5sinαsinα?cos16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2sin2(π4+ωx)?3cos2ωx?1,0<ω<12，且函數(shù)y=f(x+π)的圖象關(guān)于y軸對稱．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)17.(本小題15分)

在△ABC中、角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知bsinA+3acosB=0．

(1)求角B的大??；

(2)已知b=27，a=2，設(shè)E為AC邊上一點(diǎn)，且BE為角B18.(本小題17分)

如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=3AD，A1D∩AD1=O，E為線段AB上一點(diǎn)．

(1)當(dāng)OE//平面D1BC，求證：E為AB的中點(diǎn)；

(2)19.(本小題17分)

已知函數(shù)y=f(x)，若存在實(shí)數(shù)p，q(p≠0)，使得對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，均有p?f(x)=f(x+q)+f(x?q)成立，則稱函數(shù)f(x)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對(p,q)稱為函數(shù)f(x)的“平衡”數(shù)對．

(1)若f(x)=x2+1，求函數(shù)f(x)的“平衡”數(shù)對；

(2)若p=3，判斷f(x)=cosx是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；

(3)若p1、p2∈R且答案解析1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)

z

滿足

iz=3?4i，

所以z=3?4ii=?4?3i，

所以

z

的虛部為?3，

故選：D．

由iz=3?4i，化簡得到z=?4?3i2.【答案】D

【解析】解：由題意可得：平面圖形ABCD為直角梯形，且AB=AD=2DC=2，

即AB錯(cuò)誤；

又BC=22+(2?1)2=5，

即四邊形ABCD的周長為2+2+1+5=5+5，

即C錯(cuò)誤；

四邊形ABCD的面積為：(1+2)×23.【答案】B

【解析】解：已知向量a=(?1,?2)，b=(1,λ)，

當(dāng)a與b的夾角為鈍角時(shí)，

有a?b<0且a與b不共線，

即?1?2λ<0?λ≠?2，

即λ>?12且λ≠2，

即“λ>?12”是“a與4.【答案】D

【解析】解：由a=2tan13°1?tan213°=tan26°，

b=12cos6°?32sin6°=sin24°，

c=1?cos50°25.【答案】C

【解析】解：由圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為78，可得母線SA，SB所成角的正弦值為1?(78)2=158，

設(shè)圓錐的母線長為l，則12l2?158=515，解得l=46.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，可得g(x)=sin[2(x+π3)+φ]=sin(2x+2π3+φ)．

因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，所以g(0)=0，即sin(2π3+φ)=0，

可得sin2π3cosφ+cos2π3sinφ=0，即327.【答案】A

【解析】解：已知非零平面向量a、b、c，滿足|a|=4，|b?c|=2，若a與b的夾角為π3，

令OA=a，OB=b，OC=c．

則b?c=CB，a?c=CA．

又|b?c|=2，

所以點(diǎn)C在以B為圓心，2為半徑的圓上．

所以|CA|的最小值為：|AB|?2．

又|OA|=4，∠AOB=π8.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可知，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，D是AB上的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)且CD=2，如圖：

由(a?b)sinA=(c+b)(sinC?sinB)，

結(jié)合正弦定理，可得：(a?b)?a=(c+b)(c?b)?a2+b2?c2=ab，

由余弦定理可得：cosC=a2+b2?c22ab=12，又C為三角形內(nèi)角，所以C=π3，

因?yàn)镈是AB上的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)，

所以CD=CB+23BA=CB+23(CA?CB)=CB+23(9.【答案】ABC

【解析】解：z=a+bi(a,b∈R)，則z+z?=a+bi+a?bi=2a∈R，A正確；

若a=b=1，則z=1+i，z2=(1+i)2=1+2i+i2=2i，

z4=(2i)2=4i2=?4，B正確；

1z=1a+bi=a?bi(a+bi)(a?bi)=aa2+b2?bia2+b2，

由題意得b≠0，故z=a+bi(a,b∈R)也是虛數(shù)，C正確；

|z+i|=1的幾何意義為復(fù)平面內(nèi)，到(0,?1)的距離為1的圓，

故此圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大值為1+1=210.【答案】ABD

【解析】解：∵函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1滿足f(x)+f(?π3?x)=2，

∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?π6,1)對稱，則?π6ω+φ=kπ，k∈Z，

解得φ=π6ω+kπ，k∈Z．

對任意x∈R，都有f(x)≥f(?5π12)，則f(?5π12)為最小值．

∴?5π12ω+φ=?π2+2mπ，m∈Z，

則ω=2?4(2m?k)，k，m∈Z，

∵ω>0，|φ|<π2，

當(dāng)ω取最小值時(shí)，2m?k=0，此時(shí)ω=2，φ=π3．

∴函數(shù)的解析式為f(x)=2sin(2x+π3)+1．

對于A，令2x+π3=π2+kπ,k∈Z，則x=π12+kπ2,k∈Z，

∴函數(shù)的對稱軸方程為x=π12+kπ2,k∈Z，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于B，∵x∈[?π12,π6]，∴2x+π3∈[π6,2π3]，∴sin(2x+π3)∈[12,1]．

函數(shù)的值域?yàn)閇2,3]，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于C，∵x∈[π6,π3]，∴2x+π3∈[2π3,π]，

結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，選項(xiàng)C11.【答案】ACD

【解析】解：取AB中點(diǎn)D，連接CD，MD．

則在△BCD中，BQ=DQ，BP=CP，因此PQ/?/CD．

在△BMD中，BQ=DQ，BR=RM，因此RQ//MD．

又CD，MD?平面CC1MD，PQ，RQ不在平面CC1MD內(nèi)，

因此PQ/?/平面CC1M，RQ//平面CC1M，

又PQ∩RQ=Q，因此平面RPQ//平面C1CM.因此A選項(xiàng)正確；

由A知平面RPQ與平面CC1MD平行，因此直線AC與平面RPQ所成的角也是直線AC與平面CC1MD所成的角，

因?yàn)檎庵鵄BC?A1B1C1，因此AB⊥CD，AB⊥DM，

又CD∩DM=D，因此AB⊥平面CC1MD．

因此直線AC與平面CC1MD所成的角為∠ACD<∠ACB=π3，因此B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)镸D⊥平面ABC，RQ//MD，因此RQ⊥平面BPQ．

因?yàn)镼是AB的四等分點(diǎn)，P是BC的中點(diǎn)，

因此S△BPQS△ABC=12BQ?PQ12AB?CD=18．

因此三棱錐B?RPQ的體積與正三棱柱ABC?A1B1C1的體積之比為：

VB?RPQVABC?A1B1C1=13S△BPQ?RQS△ABC?MD=13×18×12=148，因此C選項(xiàng)正確；

連接AR并延長交BB1于點(diǎn)E，連接PE，AP△APE即是平面α截正三棱柱的截面圖形．

因?yàn)檎庵鵄BC?A1B1C112.【答案】23【解析】解：由cos(π4?α)=5cos(π4+α)，得cosπ4cosα+sinπ4sinα=5(cosπ4cosα?sin13.【答案】(1,2)

【解析】解：由a=(2,4)，b=(?1,3)，

得a?b=10，|a|=25，

所以b在a方向上的投影向量為a14.【答案】358π3【解析】解：作出示意圖如下：

根據(jù)題意可知該四棱臺的體積為：

13×(4+36+12)×OO1=5233，解得OO1=3，

設(shè)外接球球心P到下底面中心O的距離為x，外接球半徑為R，

則P到上底面中心O1的距離為3±x，

又OA=32，O1A1=2，15.【答案】?297；

5【解析】(1)依題意，tanα=?43，所以3cosα?5sinαsinα?cosα=3?5tanαtanα?1=?297；

(2)由OP⊥OQ，得β=α?π2，

則sinβ=sin(α?16.【答案】f(x)=2sin(56x?π3)【解析】(1)f(x)=2sin2(π4+ωx)?3cos2ωx?1

=1?cos(π2+2ωx)?3cos2ωx?1

=sin2ωx?3cos2ωx

=2sin(2ωx?π3)，

又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+π)的圖象關(guān)于y軸對稱，

所以函數(shù)y=f(x+π)是偶函數(shù)，

因?yàn)閒(x+π)=2sin(2ωx+2ωπ?π3)，

所以2ωπ?π3=π2+kπ(k∈Z)，解得ω=512+k2(k∈Z)，

由0<ω<12，所以ω=512，

所以f(x)=2sin(56x?π3)；

(2)g(x)=?2f2(65x)+mf(65x)=?8sin2(x?π3)+2msin(x?π3)，17.【答案】B=2π3；

4【解析】(1)根據(jù)題意可知，bsinA+3acosB=0，

根據(jù)正弦定理得sinAsinB=?3sinAcosB，

而sinA>0，則tanB=?3，又A∈(0,π)，∴B=2π3；

(2)在△ABC中，根據(jù)余弦定理得28=b2=a2+c2?2accosB=4+c2?4ccos120°，

整理得c2+2c?24=0，而c>0，解得c=4，

由BE為角B的平分線及S△ABE+S△CBE=S△ABC，

18.【答案】證明見解析；

存在，當(dāng)E為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn))．

【解析】(1)證明：因?yàn)锳A1D1D為正方形，A1D∩AD1=O，

所以O(shè)為AD1的中點(diǎn)，

又因?yàn)镺E/?/平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC=BD1，OE?平面ABD1，

所以O(shè)E/?/BD1，

又因?yàn)镺為AD1的中點(diǎn)，所以E為AB的中點(diǎn)；

(2)存在，當(dāng)E為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn))時(shí)，平面D1DE⊥平面AD1C，

理由如下：

設(shè)AC∩DE=F，

因?yàn)锳A1D1D為正方形，所以D1D⊥AD，

又因?yàn)锳D=平面AA1D1D∩平面ABCD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D?平面AA1D1D，

所以D1D⊥平面ABCD，

又因?yàn)锳C?平面ABCD，所以D1D⊥AC，

又因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，設(shè)AD=a，