第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖北省恩施州高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A5A.20 B.30 C.40 D.502.計(jì)算Δx→0lim(2+Δx)A.4 B.6 C.8 D.103.已知函數(shù)f(x)=sinx+12x(0<x<π)，則f(x)A.極大值為32+π3，無(wú)極小值 B.極小值為12+π3，無(wú)極大值

4.已知x≥1，f(x)=lnx，g(x)=1?1x，?(x)=12(x?1x)三個(gè)函數(shù)圖象如圖所示，則f(x)，g(x)A.C1，C2，C3

B.C3，C2，C1

C.C2，C3，5.學(xué)校有5名男教師，3名女教師，現(xiàn)在要隨機(jī)選擇3名教師參加會(huì)議，下列事件中概率等于27的是(

)A.至少有1名女教師 B.有1名或2名女教師

C.有2名或3名女教師 D.恰有2名女教師6.用測(cè)量工具測(cè)量某物體的長(zhǎng)度，由于工具的精度及測(cè)量技術(shù)的原因，測(cè)得n個(gè)數(shù)a1，a2，a3，?，an(a1≤a2A.a1=2 B.an C.i=17.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，f′(x)是其導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)+8x是偶函數(shù)，f′(x)?3x2?1是奇函數(shù)，當(dāng)f(0)=?4時(shí)，關(guān)于a的不等式f(a)≥0的解集為A.(?∞,4]B.[4,+∞)C.(?∞,4]∪[4,+∞)D.[?4,4]8.某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出二十四節(jié)氣宣傳櫥窗，其中“雨水”，“驚蟄”，“谷雨”，“芒種”，“白露”，“寒露”6塊知識(shí)展板放置在排成一排的六個(gè)文化櫥窗里，要求“雨水”和“谷雨”兩塊展板不相鄰，且“白露”與“寒露”兩塊展板不相鄰，則不同放置方式的種數(shù)為(

)A.144 B.240 C.336 D.456二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.一個(gè)距地心距離為r，質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星，與地球之間的萬(wàn)有引力F由公式F=GMmr2給出，其中M為地球質(zhì)量，G為引力常量，則A.F關(guān)于r的瞬時(shí)變化率為?2GMmr3 B.r關(guān)于F的瞬時(shí)變化率為GMmF

C.m關(guān)于r的瞬時(shí)變化率為GMmr D.10.已知盒子中有12個(gè)樣品，6個(gè)不同的正品和6個(gè)不同的次品，現(xiàn)從中逐個(gè)抽取5個(gè)樣品.方案一：有放回地抽樣，記取得次品個(gè)數(shù)為X；方案二：不放回地抽樣，記取得次品個(gè)數(shù)為Y，則(

)A.P(X=0)<P(Y=0) B.當(dāng)k=2或3時(shí)，P(X=k)最大

C.E(X)=E(Y) D.兩種方案中第三次抽到次品的概率均為111.已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bxA.f(1)=0

B.若f(x)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則|ba|≥2

C.若f(x0)=0，則f(1x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.233除以7的余數(shù)是______．13.設(shè)隨機(jī)變量X～N(1,σ2)，P(X≤a)+P(X≤2a)=1，則實(shí)數(shù)a14.若x≥2，不等式(lnx?2ax)(x?ln2a)≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知(1+2x)n的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為512．

(1)求n的值；

(2)求展開式中第n?1項(xiàng)的系數(shù)與第316.(本小題15分)

某田徑協(xié)會(huì)組織開展競(jìng)走的步長(zhǎng)和步頻之間關(guān)系的課題研究，得到相應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：步頻x(單位：步/s)0.280.290.300.310.32步長(zhǎng)y(單位：cm)909599m115(1)若步頻和步長(zhǎng)近似為線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)m=101時(shí)，i=15xi2=0.451，i=15xiyi=150.56，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程．

附：回歸直線方程y?=b?x+a?中b=i=1nxiyi?n17.(本小題15分)

已知曲線C1：f(x)=ex+e?x，曲線C2：g(x)=ex?e?x，直線x=a與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)，曲線C1在點(diǎn)A處的切線為l1，曲線C2在點(diǎn)B處的切線為l2，設(shè)直線l118.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?alnx?a，其中a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)存在極小值點(diǎn)x0，且f(x0)≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)t(x)=f(x)?ex19.(本小題17分)

甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽，每局勝者得1分，負(fù)者得0分；平局兩人均不計(jì)分.按照規(guī)則，當(dāng)一方的得分比另一方多2分時(shí)即獲勝，比賽結(jié)束.已知每局中，甲獲勝概率為25，乙獲勝概率為25，平局的概率為15，且每局互不影響，相互獨(dú)立．

(1)求甲在進(jìn)行了3局后獲勝的概率；

(2)若進(jìn)行n局后，記甲領(lǐng)先1分的概率為pn，甲乙持平的概率為rn，求證：存在實(shí)數(shù)λ，使得{rn?λpn}為等比數(shù)列；

答案解析1.【答案】D

【解析】解：A53?C53=5×4×3?5×4×33×2×12.【答案】A

【解析】解：設(shè)函數(shù)f(x)=x2，f′(x)=2x，

故Δx→0lim(2+Δx)2?22Δx=f′(2)=2×2=4．

即Δx→03.【答案】A

【解析】解：求導(dǎo)數(shù)得f′(x)=cosx+12，

由f′(x)=0，得cosx=?12，結(jié)合x∈(0,π)，可得x=2π3，

因?yàn)楫?dāng)x∈(0,2π3)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(2π3,π)時(shí)，f′(x)<0

所以f(x)在(0,2π3)上單調(diào)遞增，在(2π3,π)上單調(diào)遞減，

可知當(dāng)x=2π3時(shí)，4.【答案】C

【解析】解：令x=2，可得?(2)=12(2?12)=34，g(2)=1?12=12，f(2)=ln2，

因?yàn)?>e，所以2>e12，ln2>lne12=12，

又因?yàn)?6<e3，可得2<e34，即ln2<34，

所以?(2)>f(2)>g(2)，

所以f(x)5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，設(shè)至少有1名女教師的概率為P1，則P1=1?C53C83=2328，不符合題意；

對(duì)于B，設(shè)有1名或2名女教師的概率為P2，則P2=C31C52+C32C51C836.【答案】D

【解析】解：根據(jù)f(x)=1ni=1n(x?a1)2，f′(x)=1ni=1n2(x?ai)=2(x?1ni=1nai)，

當(dāng)x>1ni=1nai時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，f′(x)+8x是偶函數(shù)，則有f′(x)+8x=f′(?x)?8x，即f′(x)?f′(?x)=?16x①，

又由f′(x)?3x2?1是奇函數(shù)，則f′(?x)?3x2?1=?[f′(x)?3x2?1]，即f′(x)+f′(?x)=6x2+2②，

聯(lián)立①②可得：f′(x)?f′(?x)=?16xf′(x)+f′(?x)=6x2+2，解得f′(x)=3x2?8x+1，

因?yàn)閒(0)=?4，所以f(x)=x3?4x2+x?4，

則有f(x)=(x2+1)(x?4)，

若f(a)≥0，即8.【答案】C

【解析】解：因?yàn)椤坝晁焙汀肮扔辍眱蓧K展板不相鄰，且“白露”與“寒露”兩塊展板不相鄰，

第一步，讓“雨水”和“谷雨”不相鄰，不同放置方式種數(shù)為A44A52；

第二步，讓“雨水和“谷雨”不相鄰且“白露和“寒露”相鄰，不同放置方式種數(shù)為A22A33A429.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，由F=GMmr2=GMmr?2，可得F′=?2GMmr?3=?2GMmr3

則F對(duì)于r的瞬時(shí)變化率是?2GMmr3，所以A正確；

對(duì)于B，由r=GMmF，可得r′=?12FGMmF，

則r關(guān)于F的瞬時(shí)變化率?12FGMmF，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由m=Fr2GM，可得m′=2FrGM，

10.【答案】BCD

【解析】解：方案一中，有放回地抽樣，則取得次品個(gè)數(shù)X～B(5,12)，

∴P(X=k)=C5k(12)5，k=0，1，2，3，4，5，

方案二中，不放回地抽樣，則取得次品個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布，

則P(Y=k)=C6kC65?kC125，k=0，1，2，3，4，5．

A，P(X=0)=(12)5=132，P(Y=0)=C65C60C125=1132，P(X=0)>P(Y=0)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B，因?yàn)镻(X=k)=C5k(12)5，由于C53=C52>C51=C54>C50，故k=2或3時(shí)，P(X=k)最大，B選項(xiàng)正確；

C，由二項(xiàng)分布及超幾何分布期望公式E(X)=5×12=5211.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A中，根據(jù)f(x)=ax3+bx2?bx?a=(x?1)[ax2+(a+b)x+a+b]

可f(1)=0，因此選項(xiàng)A正確．

對(duì)于選項(xiàng)B中，根據(jù)函數(shù)f(x)=(x?1)[ax2+(a+b)x+a+b]，可得x=1是f(x)=0的一個(gè)解，

要使得f(x)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

那么ax2+(a+b)x+a+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么Δ=(a+b)2?4a(a+b)>0，

即b2?2ab?3a2>0，即(ba)2?2?ba?3>0，解得ba>1或ba<?3，因此選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C中，根據(jù)f(x0)=0，

那么f(1x0)=a(1x0)3+b(1x0)2?b(1x0)?a=?1x03(ax03+b02?bx0?a)=?1x03f(x0)=0，

因此選項(xiàng)12.【答案】1

【解析】解：233=(7+1)11=711+?111710+…+?11107+1

13.【答案】23【解析】解：由題可得正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x=1，

因?yàn)镻(X≤a)+P(X≤2a)=1，所以a+2a=2，解得a=23．

故答案為：23．

根據(jù)題意，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，得到a+2a=214.【答案】{ln2【解析】解：若x≥2，不等式(lnx?2ax)(x?ln2a)≤0恒成立，

即為(lnx2x?a)(a?ln2x)≤0恒成立，

令f(x)=lnx2x?a,g(x)=a?ln2x，

則當(dāng)a<0時(shí)，f(x)與g(x)需同號(hào)；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)與g(x)需異號(hào)，

由函數(shù)y=ln2x,x≥2，可得y′=1?lnx2x2，

令f′(x)>0，可得2≤x<e；令f′(x)<0，可得x>e，

所以函數(shù)y=lnx2x在[2,e)單調(diào)遞增，在(e,+∞)單調(diào)遞減，

且y|x=e=12e，y|x=4=ln24，y|x=2=ln22，

又由函數(shù)y=ln2x,x≥2，可得y′=?ln2x2<0，

所以y=ln2x在[2,+∞)單調(diào)遞減，且y|x=4=ln215.【答案】9；

32．

【解析】(1)由題意可得，2n=512=29，解得n=9；

(2)由(1)，二項(xiàng)式(1+2x)9展開式的通項(xiàng)為Tr+1=2r?C9r?xr,r=0,1,?,9，

可得T3=4C16.【答案】y=560x?68；

105【解析】(1)根據(jù)題意，可得x?=15i=15xi=0.3，y?=15i=15yi=100，

又由i=15xi2=0.451，i=15xiyi=150.56，可得b=i=15xiyi?5x?y?i=15xi2?517.【答案】a=12ln5?1【解析】(1)因?yàn)閒(x)=ex+e?x，g(x)=ex?e?x，

所以f′(x)=ex?e?x，g′(x)=ex+e?x，

則kl1=ea?e?a，kl2=ea+e?a，

根據(jù)題意可知kl1?kl2=(ea?e?a)?(ea+e?a)=?1，

所以1+(e2a?e?2a)=0，

解得a=12ln5?12；

(2)由(1)知18.【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)．

(0,e]．

證明見詳解．

【解析】(1)當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)f(x)=ex?elnx?e，

可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex?ex，

設(shè)函數(shù)g(x)=ex?ex，那么導(dǎo)函數(shù)g′(x)=ex+ex2>0，

可知函數(shù)g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，且g(1)=0，

當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，即f′(x)>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0，

因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)．

(2)根據(jù)題意可知：f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex?ax=xex?ax，

設(shè)函數(shù)?(x)=xex?a，那么導(dǎo)函數(shù)?′(x)=(x+1)ex>0，可知函數(shù)?(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，

由于f(x)存在極小值點(diǎn)x0，因此函數(shù)?(x)在(0,+∞)存在零點(diǎn)x0，

即?(x0)=x0ex0?a=0，可得a=x0ex0．

那么f(x0)=ex0?alnx0?a=ex0?x0ex0lnx0?x0ex0≥0，可得1?x0?x0lnx0≥0，

設(shè)函數(shù)φ(x)=1?x?xlnx，x>0，且φ(1)=0，

當(dāng)x∈(1,+∞)，1?x<0，?xlnx<0，則φ(x)<0；

當(dāng)x∈(0,1)，1?x>0，?xlnx>0，則φ(x)>0，

可得0<x0≤1，0<a≤e，

因此a