一圓柱與圓錐

復(fù)習(xí)課件知識網(wǎng)絡(luò)圓柱與圓錐面的旋轉(zhuǎn)圓柱的表面積圓柱的體積圓錐的體積“點、線、面、體”之間的聯(lián)絡(luò)圓柱、圓錐的特性圓柱的側(cè)面積、表面積的計算措施圓柱表面積的應(yīng)用圓柱體積的計算公式圓柱體積公式的應(yīng)用圓錐體積的計算公式圓錐體積公式的應(yīng)用復(fù)習(xí)驛站1．面的旋轉(zhuǎn)點的運動形成線，線的運動形成面，面的運動形成體。2．圓柱和圓錐的認(rèn)識（1）圓柱：以長方形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)360°，得到的空間幾何體叫作圓柱。圓柱底面：圓柱上下的兩個圓面叫作底面。圓柱兩個底面都是圓，并且大小相似。圓柱側(cè)面：圓柱周圍的面叫作側(cè)面。圓柱的側(cè)面沿高展開后是長方形，長方形的長等于圓柱底面的周長，寬等于圓柱的高。圓柱的高：兩個底面的距離叫作高。圓柱有無數(shù)條高，每條高的長度都相等。（2）圓柱的特性：兩個底面、一種側(cè)面。底面由兩個大小完全相似的圓構(gòu)成。側(cè)面是一種曲面。（3）圓錐：以三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)360°，得到的空間幾何體叫作圓錐。（4）圓錐的特性：由一種底面（圓）、一種側(cè)面（曲面）構(gòu)成。從圓錐的頂點究竟面圓心的距離是圓錐的高，圓錐只有一條高。3．圓柱和圓錐的表面展開圖沿著圓柱的一條高將圓柱的側(cè)面剪開，可以得到一種平面圖形，這個平面圖形是長方形。在圓柱表面展開圖中有兩個底面、一種側(cè)面。底面是兩個大小完全相似的圓。側(cè)面展開是長方形，特殊狀況下是正方形。圓錐的表面展開后，底面是一種圓，側(cè)面是一種扇形。圓錐只有一條高。4．圓柱的表面積圓柱的表面積＝圓柱的側(cè)面積＋兩個底面的面積。（1）圓柱的側(cè)面積＝底面周長×高＝Ch。因C＝πd，因此也可以表達為圓柱的側(cè)面積＝πdh＝2πrh。（2）兩個底面的面積＝底面積×2＝2πr。5．圓柱表面積的應(yīng)用在生活中，我們常常碰到包裝圓柱形的飲料、制作通風(fēng)管等，求包裝面積、材料面積等實際問題，解題時，要根據(jù)實際狀況，理清要計算幾種面的面積。例如：制作無蓋的圓柱形水桶時，求側(cè)面積加1個底面積（沒有上面）；制作通風(fēng)管、煙囪時，只求側(cè)面積（沒有底面）。6．體積（容積）的意義和體積單位（1）體積（容積）的意義：任何物體都占據(jù)空間，有的物體占據(jù)的空間大，有的物體占據(jù)的空間小。物體所占空間的大小叫作物體的體積。容器能容納物體的體積，叫作這個容器的容積。有些物體有容積也有體積，如油桶、瓶子等；有些物體只有體積，如石頭等。一種容器容積的大小與它所能盛物體的多少有關(guān)，由于容器均有一定的厚度，因此一種容器的體積一定不小于它的容積。（2）體積（容積）單位：計算一種物體的體積要用體積單位，棱長是1厘米、1分米、1米的正方體，體積是1立方厘米、1立方分米、1立方米；立方厘米、立方分米、立方米用字母表達是cm、dm、m。計量容積一般用體積單位，但計量液體的體積，如水、油等常用容積單位。容積單位有升和毫升，用字母表達為L和mL。1立方厘米＝1毫升，1立方分米＝1升。7．圓柱和圓錐的體積計算（1）圓柱的體積把圓柱的底面提成許多相等的扇形，沿高把圓柱切開，再把它們拼起來，得到一種近似的長方體。長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高。長方體的體積＝底面積×高，因此圓柱體積的計算公式為：圓柱的體積＝底面積×高＝Sh，由于S＝πr，因此V＝πrh。（2）圓錐的體積圓錐體積的計算公式為：圓錐的體積＝底面積×高×＝Sh，由于S＝πr，因此V＝πrh。復(fù)習(xí)驛站（3）怎樣辨別是求圓柱的體積、容積還是求表面積求做圓柱形狀的物體需要的材料、圓柱形狀的墻壁抹水泥面積的多少，或貼墻需要多少瓷磚等，這樣的表述是求表面積。尚有一種鑒定措施就是看所求問題的單位，所求問題的單位是平方的，則求表面積；所求問題的單位是立方、升、毫升的，則求體積。求圓柱能裝下多少的問題，就是求容積，用體積公式。例如：一種裝滿稻谷的糧囤，高0.9m，上面是圓錐形，下面是圓柱形。量得底面周長是12.56m，圓柱的高是0.5m。這個糧囤大概能裝稻谷多少立方米？分析：在解答本題時，0.9m是圓柱和圓錐高的和。它們兩個的底面積也是同樣的。3.14×r×0.5（r為糧囤的底面半徑）計算的是圓柱的體積，還應(yīng)計算圓錐的體積，糧囤的體積＝圓柱的體積＋圓錐的體積。解答：半徑：12.56÷3.14÷2＝2（m）圓柱的體積：3.14×2×0.5＝6.28（m）圓錐的體積：×3.14×2×（0.9－0.5）≈1.67（m）1.67＋6.28＝7.95（m）答：這個糧囤大概能裝稻谷7.95立方米。8．圓錐、圓柱的體積關(guān)系（1）等底（面積）等高時，圓錐的體積是圓柱體積的，即圓錐的體積＝圓柱的體積×。（2）等底（面積）等高時，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，即圓柱的體積＝圓錐的體積×3。（3）等底（面積）等高時，圓柱的體積與圓錐的體積比是3∶1。（4）等底（面積）等高時，圓柱的體積比圓錐的體積多200%。（5）等底（面積）等高時，圓錐的體積比圓柱的體積少

。

注意：這些結(jié)論的前提都是等底（面積）等高，沒有這個前提就不成立。經(jīng)典例題分析例1：玲玲想用一張長為15.7cm的長方形紙（如圖）圍成一種圓柱的側(cè)面，你能協(xié)助她從下面的圓中選擇一種合適的圓作底嗎？分析：根據(jù)圓柱的側(cè)面和底面的關(guān)系可知：圓柱的底面的周長應(yīng)當(dāng)?shù)扔陂L方形的長或?qū)?。因此，只需計算出三個圓的周長，再和長方形的長或?qū)掃M行比較，即可選擇出合適的底面。經(jīng)典例題分析解答：圓①的周長：3.14×4＝12.56（cm）

圓②的周長：3.14×5＝15.7（cm）

圓③的周長：3.14×6＝18.84（cm）

比較：圓②的周長等于長方形的長。

答：選擇圓②作底合適。經(jīng)典例題分析例題2：一種糧囤，上面是圓錐，下面是圓柱（如下圖）。圓柱的底面周長是12.56m，高是2m，圓錐的高是0.6m。求這個糧囤的體積。經(jīng)典例題分析分析：按一般的計算措施，先分別求出圓錐、圓柱的體積，再把它們合并在一起求出總體積。但我們仔細(xì)想一想，假如把圓錐形的稻谷鋪平，把它變成圓柱，這樣求出變化后直圓柱的體積就可以了。經(jīng)典例題分析解答：將上面圓錐形的稻谷鋪成圓柱形后，體積和底面積不變，高變了。根據(jù)

Sh

＝Sh，得h＝h，變化后的高是

×0.6＝0.2（m），圓柱的底面積是3.14×（12.56÷3.14÷2）

＝12.56（m），糧囤的體積是12.56×（2＋0.2）＝27.632（m）。經(jīng)典例題分析例題3：一種圓柱高8cm，假如它的高增長2cm，那么表面積增長25.12cm，求本來圓柱的表面積。經(jīng)典例題分析分析：由題意可知，增長的表面積就是高2cm的圓柱的側(cè)面積，用增長的表面積除以2，即可得到本來圓柱的底面周長，由底面周長求出底面半徑，進而可求出底面積，底面周長乘高可以得到側(cè)面積，兩個底面積加側(cè)面積就是本來圓柱的表面積。經(jīng)典例題分析

解答：底面周長：25.12÷2＝12.56（cm）底面半徑：12.56÷3.14÷2＝2（cm）兩個底面積：3.14×22×2＝25.12（cm）側(cè)面積：12.56×8＝100.48（cm）表面積：25.12＋100.48＝125.6（cm）經(jīng)典例題分析例題4：一種高8cm的圓柱完全浸沒在長10cm、寬8cm、高7cm的裝滿水的長方體容器內(nèi)。把這個圓柱拿出來后，發(fā)現(xiàn)水面下降了3cm，你懂得這個圓柱的底面積是多少嗎？經(jīng)典例題分析分析：完全浸沒在水中的物體的體積等于水面上升或下降部分的體積，因此圓柱的體積等于水面下降3那部分長方體的體積。根據(jù)圓柱的體積＝底面積×高，題中已知圓柱的高，求圓柱的底面積，可以用體積除以高。經(jīng)典例題分析解答：10×8×3＝240（cm）240÷8＝30（cm）答：這個圓柱的底面積是30cm。經(jīng)典例題分析例題5：一種圓錐沿底面直徑通過頂點切開（如下圖）后表面積比本來增長了36cm，已知這個圓錐的高是6cm，這個圓錐的底面半徑是多少厘米？經(jīng)典例題分析分析：圓錐沿底面直徑通過頂點切開后表面積比本來增長了兩個三角形的面積，這兩個三角形的底是圓錐的底面直徑，高是圓錐的高。先求出每個三角形的面積，已知三角形的高是6cm，根據(jù)三角形的面積公式求出底，繼而求出圓錐的底面半徑。經(jīng)典例題分析解答：36÷2＝18（cm）18×2÷6＝6（cm）6÷2＝3（cm）答：這個圓錐的底面半徑是3cm。經(jīng)典例題分析容錯展板錯例1.判斷：圓柱和圓錐均有無數(shù)條高。（√）錯解分析：圓柱有無數(shù)條高，圓錐只有1條高，圓錐的高是頂點究竟面圓心的距離，圓錐只有1個頂點和1個底面圓心，因此只有1條高。容錯展板對的解答：×溫馨提醒：出現(xiàn)此類錯誤的原因是沒有對的理解圓錐的高的含義。容錯展板錯例2.做一種高5dm、底面半徑2dm的圓柱形無蓋水桶，至少需要鐵皮多少平方分米？容錯展板錯誤解答：側(cè)面積：2×3.14×2×5＝62.8（dm）底面積：3.14×22＝12.56（dm）

表面積：62.8＋12.56×2＝87.92（dm）答：至少需要鐵皮87.92dm。錯解分析：根據(jù)生活實際計算圓柱形狀的物體的表面積，要注意觀測需要計算的是圓柱哪些部分的面積。無蓋的水桶只有一種底面，在計算需要鐵皮多少平方分米時，用側(cè)面積加上一種底面的面積就可以了。容錯展板對的解答：側(cè)面積：2×3.14×2×5＝62.8（dm）底面積：3.14×22＝12.56（dm）表面積：62.8＋12.56＝75.36（dm）答：至少需要鐵皮75.36dm。容錯展板錯例3.大廳里有10根圓柱，圓柱的底面直徑是1m，高是8m。在這些圓柱的表面涂油漆，平均每平方米用油漆0.8kg，共需油漆多少公斤？錯誤解答：每根圓柱涂油漆面積：3.14×1×8＋3.14×（1÷2）

×2＝26.69（m）10根圓柱涂油漆面積：26.69×10＝266.9（m）需要油漆的質(zhì)量：266.9×0.8＝213.52（kg）容錯展板錯解分析：每根圓柱的涂漆面積只是圓柱的側(cè)面積，而不是圓柱的表面積。容錯展板對的解答：3.14×1×8×10＝251.2（m）251.2×0.8＝200.96（kg）

溫馨提醒：出現(xiàn)此類錯誤的原因是沒有聯(lián)絡(luò)生活實際，在解答與圓柱表面積有關(guān)的實際問題時，一定要認(rèn)真審題，弄清規(guī)定的是圓柱的哪幾種面的面積。（對應(yīng)訓(xùn)練參見第一周復(fù)習(xí)第六題第2小題內(nèi)容）容錯展板錯例4.有一種圓錐形的煤堆，它的底面半徑是2.5m，高是1.5m，假如每立方米煤重1.7t，這堆煤約重多少噸？（得數(shù)保留整噸數(shù)）錯誤解答：3.14×2.5×1.5＝29.4375（m）29．4375×1.7≈50（