2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷：立體幾何突破解題策略試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，-1），點(diǎn)C（-1，3，2），則向量AB與向量AC的夾角的余弦值是（）A.B.C.D.2.一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中，一條對(duì)角線與一個(gè)面上的一條棱所成的角的大小是（）A.B.C.D.3.已知點(diǎn)P在平面α上，點(diǎn)Q在平面β上，且平面α與平面β相交于直線l，若點(diǎn)P到直線l的距離為d1，點(diǎn)Q到直線l的距離為d2，則d1與d2的大小關(guān)系是（）A.d1一定大于d2B.d1一定小于d2C.d1可以大于d2，也可以小于d2D.d1等于d24.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，且PA=2，BC=AC=1，則三棱錐P-ABC的體積是（）A.B.C.D.5.一個(gè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，則該圓錐的側(cè)面積是（）A.B.C.D.6.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，-1），點(diǎn)C（-1，3，2），則向量AB與向量AC的夾角的正弦值是（）A.B.C.D.7.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是（）A.B.C.D.8.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，-1），點(diǎn)C（-1，3，2），則向量AB與向量AC的夾角的正切值是（）A.B.C.D.9.一個(gè)球的半徑為R，則該球的表面積是（）A.B.C.D.10.在空間直角坐標(biāo)系中，直線l過(guò)點(diǎn)A（1，2，3），且與向量平行，則直線l的參數(shù)方程是（）A.B.C.D.11.一個(gè)四棱錐的底面是一個(gè)矩形，側(cè)面都是等腰三角形，且底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面等腰三角形的底邊長(zhǎng)也為a，則該四棱錐的側(cè)面積是（）A.B.C.D.12.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，-1），點(diǎn)C（-1，3，2），則向量AB與向量AC的夾角是（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，-1），點(diǎn)C（-1，3，2），則向量AB與向量AC的夾角的度數(shù)是_________度。14.一個(gè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，則該圓錐的側(cè)面積是_________。15.一個(gè)球的半徑為R，則該球的表面積是_________。16.在空間直角坐標(biāo)系中，直線l過(guò)點(diǎn)A（1，2，3），且與向量平行，則直線l的參數(shù)方程是_________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)。求：（1）異面直線AE與BC所成角的余弦值；（2）三棱錐E-ABC的體積。18.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，-1），點(diǎn)C（-1，3，2），向量u=（1，1，1），向量v=（1，-1，0）。（1）求向量AB與向量AC的夾角的正弦值；（2）若向量w與向量u垂直，且向量w與向量v的夾角為45°，求向量w的坐標(biāo)。19.（12分）如圖，在圓錐P-AB中，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)C是底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)D是PC的中點(diǎn)。求：（1）異面直線AD與BC所成角的正切值；（2）三棱錐D-ABC的體積。20.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，-1），點(diǎn)C（-1，3，2），向量u=（1，1，1），向量v=（1，-1，0）。（1）求向量AB與向量AC的夾角的余弦值；（2）若向量w與向量u平行，且向量w與向量v的夾角為60°，求向量w的模長(zhǎng)。21.（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2，AB=1，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)。求：（1）異面直線AD與B1C所成角的正弦值；（2）三棱錐D-A1B1C1的體積。22.（10分）一個(gè)球的半徑為R，該球的表面積與體積之比是多少？本次試卷答案如下一、選擇題1.C解析：向量AB=(2-1,1-2,-1-3)=(1,-1,-4)，向量AC=(-1-1,3-2,2-3)=(-2,1,-1)。向量AB與向量AC的夾角的余弦值cosθ=AB·AC/|AB||AC|=(1*(-2)+(-1)*1+(-4)*(-1))/√(1^2+(-1)^2+(-4)^2)√((-2)^2+1^2+(-1)^2)=(-2-1+4)/√18√6=1/3√2=√2/6。2.B解析：正方體的對(duì)角線與面上的一條棱所成的角即為該棱與面對(duì)角線的夾角。設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則對(duì)角線長(zhǎng)為√3，面上的一條棱與面對(duì)角線的夾角即為直角三角形中較小的銳角，tanα=1/√3，α=30°。3.C解析：點(diǎn)P到直線l的距離d1可以大于d2，也可以小于d2。例如，當(dāng)點(diǎn)P在直線l的同一側(cè)時(shí)，d1=d2；當(dāng)點(diǎn)P在直線l的另一側(cè)時(shí)，d1+d2大于直線l的長(zhǎng)度，d1可以大于d2。4.A解析：三棱錐P-ABC的體積V=1/3*底面積*高。底面ABC是直角三角形，面積S=1/2*BC*AC=1/2*1*1=1/2。高為PA=2。所以V=1/3*1/2*2=1/3。5.B解析：圓錐的側(cè)面積S=πRL，其中R為底面半徑，L為母線長(zhǎng)。所以S=π*R*l。6.A解析：向量AB=(2-1,1-2,-1-3)=(1,-1,-4)，向量AC=(-1-1,3-2,2-3)=(-2,1,-1)。向量AB與向量AC的夾角的正弦值sinθ=|AB×AC|/|AB||AC|。AB×AC=(-1)*(-1)-(-4)*1,(-4)*(-2)-1*1,1*1-(-1)*(-2)=(3,-7,-1)。|AB×AC|=√3^2+(-7)^2+(-1)^2=9+49+1=59。所以sinθ=√59/√18√6=√59/3√2。7.D解析：長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)d=√(a^2+b^2+c^2)。8.C解析：向量AB=(2-1,1-2,-1-3)=(1,-1,-4)，向量AC=(-1-1,3-2,2-3)=(-2,1,-1)。向量AB與向量AC的夾角的正切值tanθ=|AB×AC|/(AB·AC)。AB×AC=(-1)*(-1)-(-4)*1,(-4)*(-2)-1*1,1*1-(-1)*(-2)=(3,-7,-1)。AB·AC=(1)*(-2)+(-1)*1+(-4)*(-1)=-2-1+4=1。所以tanθ=√59/1=√59。9.C解析：球的表面積S=4πR^2。10.B解析：直線l的方向向量為(1,1,1)，所以直線l的參數(shù)方程為x=1+t,y=2+t,z=3+t。11.A解析：四棱錐的側(cè)面積S=4*底面邊長(zhǎng)*側(cè)面等腰三角形的高。側(cè)面等腰三角形的高可以用勾股定理求得，為√(a^2-(a/2)^2)=√3a/2。所以S=4*a*(√3a/2)=2√3a^2。12.D解析：向量AB=(2-1,1-2,-1-3)=(1,-1,-4)，向量AC=(-1-1,3-2,2-3)=(-2,1,-1)。向量AB與向量AC的夾角θ滿足cosθ=AB·AC/|AB||AC|=1/3√2。所以θ=arccos(1/3√2)。二、填空題13.120解析：向量AB=(2-1,1-2,-1-3)=(1,-1,-4)，向量AC=(-1-1,3-2,2-3)=(-2,1,-1)。向量AB與向量AC的夾角的余弦值cosθ=AB·AC/|AB||AC|=1/3√2。所以θ=arccos(1/3√2)=120°。14.πRL解析：圓錐的側(cè)面積S=πRL，其中R為底面半徑，L為母線長(zhǎng)。15.4πR^2解析：球的表面積S=4πR^2。16.x=1+t,y=2+t,z=3+t解析：直線l的方向向量為(1,1,1)，所以直線l的參數(shù)方程為x=1+t,y=2+t,z=3+t。三、解答題17.解：（1）取AD中點(diǎn)F，連接EF。則EF平行且等于BC的一半，所以∠FAE為異面直線AE與BC所成角。設(shè)AD=2，AB=1，則EF=1/2。在直角三角形AEF中，AE=√(EF^2+AF^2)=√(1^2+1^2)=√2。所以cos∠FAE=EF/AE=1/√2=√2/2。（2）三棱錐E-ABC的體積V=1/3*底面積*高。底面ABC是矩形，面積S=AD*AB=2*1=2。高為PE=√(PF^2+PEF^2)=√(1^2+2^2)=√5。所以V=1/3*2*√5=2√5/3。18.解：（1）向量AB=(2-1,1-2,-1-3)=(1,-1,-4)，向量AC=(-1-1,3-2,2-3)=(-2,1,-1)。向量AB與向量AC的夾角的正弦值sinθ=|AB×AC|/|AB||AC|。AB×AC=(-1)*(-1)-(-4)*1,(-4)*(-2)-1*1,1*1-(-1)*(-2)=(3,-7,-1)。|AB×AC|=√59。|AB|=√18，|AC|=√6。所以sinθ=√59/(√18√6)=√59/3√2。（2）設(shè)向量w=(x,y,z)。因?yàn)橄蛄縲與向量u垂直，所以x+y+z=0。因?yàn)橄蛄縲與向量v的夾角為45°，所以cos45°=w·v/|w||v|，即√2/2=(x*(-1)+y*0+z*0)/√(x^2+y^2+z^2)√2。化簡(jiǎn)得x=-y。代入x+y+z=0得2x+z=0，即z=-2x。所以向量w=(x,-x,-2x)。因?yàn)橄蛄縲非零，所以x≠0。取x=1，則向量w=(1,-1,-2)。19.解：（1）取底面圓心O，連接AO，PC。則AO垂直于BC，PC垂直于AD。所以∠AOC為異面直線AD與BC所成角。設(shè)AO=1，OC=√3，AC=2。在直角三角形AOC中，cos∠AOC=AO/AC=1/2。所以∠AOC=60°。所以異面直線AD與BC所成角的正切值tan60°=√3。（2）三棱錐D-ABC的體積V=1/3*底面積*高。底面ABC是等邊三角形，面積S=√3/4*2^2=√3。高為PD=1/2*PA=1。所以V=1/3*√3*1=√3/3。20.解：（1）向量AB=(2-1,1-2,-1-3)=(1,-1,-4)，向量AC=(-1-1,3-2,2-3)=(-2,1,-1)。向量AB與向量AC的夾角的余弦值cosθ=AB·AC/|AB||AC|=1/3√2。（2）設(shè)向量w=(x,y,z)。因?yàn)橄蛄縲與向量u平行，所以(x,y,z)=k(1,1,1)，即x=y=z。因?yàn)橄蛄縲與向量v的夾角為60°，所以cos60°=w·v/|w||v|，即1/2=(x*(-1)+y*0+z*0)/√(x^2+y^2+z^2)√2?；?jiǎn)得x=-√2/2。所以向量w=(-√2/2,-√2/2,-√2/2)。向量w的模長(zhǎng)|w|=√((-√2/2)^2+(-√2/2)^2+(-√2/2)^2)=√6/2。21.解：（1）取AC中點(diǎn)E，連接DE，B1E。則DE平行且等于B1C，所以∠ADE為異