湖南省部分高中2025屆高三下學(xué)期三模聯(lián)考數(shù)學(xué)試一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式，解得，不等式，解得，所以集合，，，故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由已知條件知：.所以.所以該復(fù)數(shù)的實(shí)部為-1.故選：A.3.若甲?乙?丙?丁?戊隨機(jī)站成一排，則甲?乙不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】5個(gè)人隨機(jī)排成一排的總排列數(shù)為：種.將甲乙看成一個(gè)整體（捆綁法），此時(shí)相當(dāng)于有4個(gè)人隨機(jī)排列，排列數(shù)為，而甲乙兩人之間又有種排列順序.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，甲乙相鄰的排列數(shù)為：種.所以，甲乙不相鄰的排列數(shù)為種.根據(jù)古典概型概率公式可得，甲乙不相鄰的概率為：.故選：A.4.若向量滿足，且，則夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，.∴，，，∴，且，則，故選：B.5.已知（），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，解得（舍去）或，所以，則，則.故選：A6.已知函數(shù)在時(shí)取極小值，則其導(dǎo)函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵跁r(shí)取極小值，所以在處成立.即：，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)取得極小值，故.所以原函數(shù)表達(dá)式為：.導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式為：因?yàn)?，所以根?jù)基本不等式.所以導(dǎo)函數(shù)的最小值為：.故選：C.7.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，平面，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到的距離的2倍，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵平面，平面，∴即點(diǎn)到的距離為，∴，如圖平面中以C為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，∵，∴，整理得，即的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓上，即點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，故選：D.8.已知雙曲線左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)．若四邊形是正方形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由對(duì)稱性，知軸，，，四邊形是正方形，則，，則，，則在雙曲線上，，即，即，化簡(jiǎn)整理得，即，所以，即，又，故，解得或（舍去）.故選：C．二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為11B.已知隨機(jī)變量，設(shè)，則的方差C.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是D.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為8【答案】AB【解析】對(duì)于A，由，得第80百分位數(shù)為11，A正確；對(duì)于B，，則，因此，B正確；對(duì)于C，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，都是，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意，的平均數(shù)為，D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在區(qū)間上的值域?yàn)镈.若的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為【答案】BCD【解析】因?yàn)?，?duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，故在區(qū)間上的值域?yàn)?，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，故，解得，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，取最小值，D對(duì).故選：BCD.11.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，下列命題中正確的是（）A.若既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是常數(shù)列B.若等差數(shù)列滿足，則是常數(shù)列C.若等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列D.若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.對(duì)于等差數(shù)列，有（為公差）；對(duì)于等比數(shù)列，有（為公比且）.若，那么，不是常數(shù)，這與等比數(shù)列性質(zhì)矛盾.所以，即，所以是常數(shù)列，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，等差數(shù)列滿足.設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)無(wú)限增大，不可能始終滿足.只有當(dāng)時(shí)，，才能滿足，所以是常數(shù)列，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，等比數(shù)列滿足.例如等比數(shù)列，，當(dāng)增大時(shí)，逐漸減小且始終小于等于，滿足，但它不是常數(shù)列，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.設(shè)等比數(shù)列的公比為（），.若，當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)無(wú)限增大，不滿足；若，當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)無(wú)限趨近于，不滿足所以只有，此時(shí)，滿足，是常數(shù)列，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得,則，則.故答案為：.13.已知是偶函數(shù)，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，易知定義域?yàn)椋?，因此的解集為；即可得，所以；此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足，符合題意；此時(shí)的定義域?yàn)?，且，易知?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，可知在處取得極大值，也是最大值，即；所以的最大值為.故答案為：14.已知集合且中至少含有2個(gè)元素，若對(duì)于中的任意兩個(gè)不同元素，都有，則稱具有性質(zhì)，若，且同時(shí)具有性質(zhì)和，則中至多有______個(gè)元素.【答案】921【解析】先說(shuō)明連續(xù)11項(xiàng)中集合中最多選取5項(xiàng)，以為例.構(gòu)造抽屜，，，，，，.①同時(shí)選，因?yàn)榫哂行再|(zhì)和，所以選5則不選；選6則不選；選7則不選；則只剩，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).②選2個(gè)，若只選，則不可選，又只能選一個(gè)元素，可以選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).若選，則只能從中選，但不能同時(shí)選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).若選，則不可選，又只能選一個(gè)元素，可以選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).③中只選1個(gè)，又四個(gè)集合，，，每個(gè)集合至多選1個(gè)元素，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).由上述①②③可知，連續(xù)11項(xiàng)自然數(shù)中屬于集合的元素至多只有5個(gè)，如取.因?yàn)椋瑒t把每11個(gè)連續(xù)自然數(shù)分組，前184組每組至多選取5項(xiàng)，余一個(gè)數(shù)2025.給出如下選取方法：從中選?。蝗缓笤谶@5個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上每次累加11，構(gòu)造184次.此時(shí)集合的元素為：；；；；，共個(gè)元素，而取也滿足題意，經(jīng)檢驗(yàn)可得該集合符合要求，故集合的元素最多有個(gè).故答案為：921.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：由題知平面，又平面，所以.又，，平面，平面，所以平面.又平面，所以.因?yàn)椋运倪呅问钦叫?，所?又，平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因，所以，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即.取，則，所以平面一個(gè)法向量為.由（1）得平面的一個(gè)法向量為.所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾710米色內(nèi)飾35（1）若小明從這些模型中隨機(jī)抽取一個(gè)模型，記事件為抽到的模型為紅色外觀，事件為抽到的模型是米色內(nèi)飾，求，并據(jù)此判斷事件是否相互獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以從這些模型中一次性抽兩個(gè)汽車模型，根據(jù)這兩個(gè)汽車模型的外觀和內(nèi)飾顏色確定獎(jiǎng)金：若外觀異色且內(nèi)飾異色，則獎(jiǎng)勵(lì)600元，若外觀同色且內(nèi)飾同色，則獎(jiǎng)勵(lì)300元，若僅外觀同色或僅內(nèi)飾同色，則獎(jiǎng)勵(lì)150元，設(shè)一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為元，求的分布列與期望.解：（1）紅色外觀共有（個(gè)），，米色內(nèi)飾共有（個(gè)），，是紅色外觀且是米色內(nèi)飾的有個(gè)，，，，、不相互獨(dú)立.（2）由題意知的所有可能取值為，且，，，的分布列為600300150.17.已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）將中的項(xiàng)按從小到大的順序插入中，且在任意的之間插入項(xiàng)，從而構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，求.解：（1）由可得，又，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即.（2）方法一：由已知得，所以，所以，又，等式兩邊同時(shí)相乘，可得，得，該式對(duì)也成立.故.方法二：由可知是常數(shù)列，所以，即.（3）設(shè)在的前100項(xiàng)中，來(lái)自的有項(xiàng).若第100項(xiàng)來(lái)自，則應(yīng)有，整理可得，該方程沒(méi)有正整數(shù)解，不滿足題意.若第100項(xiàng)來(lái)自，則應(yīng)有，整理可得.易知在時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故，所以的前100項(xiàng)中有10項(xiàng)來(lái)自，有90項(xiàng)來(lái)自，所以.18.已知是拋物線的焦點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）比較與的大小，并說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，線段的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）已知點(diǎn)在上，所以，即，解得，所以的方程為.（2）拋物線方程可化為，則，當(dāng)時(shí)，切線斜率，由點(diǎn)斜式可得過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，令，可得，所以.由，可得，所以.如圖（1），設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得得，所以.因?yàn)?，所以，所?（3）易知.由題意知直線的斜率必存在，故設(shè)直線，聯(lián)立得消去得，所以.直線的方程為，將代入，得，由，所以，同理可得.所以直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線，將代入，得，所以直線過(guò)定點(diǎn).19.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若，（i）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（ii）若有兩個(gè)實(shí)根，，且，證明：.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以函?shù)在處的切線方程為：，即.（2）（i）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又因