廣東省廣州市天河區(qū)2025屆高三下學(xué)期綜合測試（三）數(shù)學(xué)試卷1．已知向量a,b不共線，λa+bA．32 B．2 C．6 D．2．已知1+iz=1+i3A．?2i B．2i C．0 D．?23．某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納840個(gè)座位，報(bào)告廳共有21排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個(gè)座位，則第1排應(yīng)安排的座位數(shù)為（）A．18 B．19 C．20 D．214．設(shè)tanα,tanβ是方程xA．p B．?p C．pp?1 D．5．已知奇函數(shù)fx和偶函數(shù)gx的定義域均為R，且滿足gxA．1 B．?1 C．f2x D．6．已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M,N為C上的不同兩點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)A．3 B．6 C．9 D．367．已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,φ<π2A．1 B．2 C．3 D．48．一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體的八個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1到8，將其隨機(jī)拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為x1,x2，事件A：x1A．A，B互斥 B．A∪B=CC．PABC=P9．在1?2x2nA．展開式共2n+2項(xiàng) B．各項(xiàng)系數(shù)的和為1C．x2n?2項(xiàng)的系數(shù)為2n2?210．某次測驗(yàn)中，高三（1）班m位同學(xué)參加考試，平均分為x1，方差為S12，高三（2）班n位同學(xué)參加考試，平均分為x2，方差為S2A．若x1=B．若m=n，則xC．若x1=D．若m=n，則S11．函數(shù)fx=axA． B．C． D．12．橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的焦點(diǎn)為F1?1,0、F21,013．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b2+c2?14．已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，在其內(nèi)部放入兩個(gè)相外切的球O115．為減少環(huán)境污染，保護(hù)生態(tài)環(huán)境，某校進(jìn)行了“垃圾分類知識(shí)普及活動(dòng)”，并對(duì)高一、高二全體學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識(shí)測試．現(xiàn)從高一、高二各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生，對(duì)他們的成績（百分制）進(jìn)行了整理和分析后得到如下信息：高一年級(jí)成績分布表成績50,6060,7070,8080,9090,100人數(shù)123410高二年級(jí)成績頻率分布直方圖（1）從高一和高二樣本中各抽取一人，求這兩人成績都不低于90分的概率；（2）用頻率估計(jì)概率，分別從高一全體學(xué)生中抽取一人，從高二全體學(xué)生中抽取兩人，隨機(jī)變量X表示這三人中成績不低于90分的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．16．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C（1）求證：A1（2）若三棱柱ABC?A1B1C1的體積為17．已知雙曲線C:x（1）若直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為3,3，求直線l的方程；（2）若P為雙曲線C右支上異于右頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，x軸上是否存在定點(diǎn)Mt,0t<0，使得18．已知函數(shù)f(x)=1（1）當(dāng)a<0時(shí)，求fx（2）已知關(guān)于x的方程fx=（?。┣骯的取值范圍；（ⅱ）λ為正實(shí)數(shù)，若當(dāng)s=λx1+x219．對(duì)于數(shù)集A=?1,a1,a2,???,an，其中0<a1（1）已知數(shù)集A1∈?1,12,1，請(qǐng)寫出數(shù)集（2）若有限集A=?1,a1,a2,???,（3）若有限集A=?1,a1,a

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：向量a,b不共線，因?yàn)棣薬+b與3a+2b共線，所以存在實(shí)數(shù)故答案為：A.【分析】根據(jù)向量共線定理，列式求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：由1+iz=1+i3則z=i，故z?故答案為：A.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除遠(yuǎn)算求得復(fù)數(shù)z，再求z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)第一排安排的座位數(shù)a1，

由題意可得：每排座位數(shù)構(gòu)成一個(gè)公差d=2的等差數(shù)列an，且該數(shù)列的前21項(xiàng)和則S21=21a故答案為：C.【分析】設(shè)第一排安排的座位數(shù)a1，由題意可知，每排座位數(shù)構(gòu)成一個(gè)公差d=2的等差數(shù)列a4．【答案】D【解析】【解答】解：tanα,tanβ由韋達(dá)定理可得：tanα+則sinα+β故答案為：D.【分析】利用韋達(dá)定理結(jié)合兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)閒x是定義在R上的奇函數(shù)，gx是定義在R上的偶函數(shù)，

所以g?x=gx，f?x=?f則fx+e?x=f則fx2+故答案為：D.【分析】根據(jù)函數(shù)fx和gx的奇偶性，結(jié)合gx=fx6．【答案】C【解析】【解答】解：易知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線方程為x=?1，

設(shè)Mx1,y1,Nx又因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2，所以x1由拋物線的定義可得：MF=x1+1,NF因?yàn)镸,N的橫坐標(biāo)均大于0，所以x1+x當(dāng)x1x2=4時(shí)，即故答案為：C.【分析】易知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線方程為x=?1，設(shè)Mx1,7．【答案】B【解析】【解答】解：由圖可得：3T4=7π2?π2則函數(shù)fx=2sin12x+φ，

因?yàn)閳D象過點(diǎn)π2,2，所以2sin又因?yàn)棣?lt;π2，所以φ=因?yàn)锳，B，C是直線y=mm>0與函數(shù)fx圖象的從左至右相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，

且AB=13BC，所以則m=2sin故答案為：B.【分析】先由圖象求得函數(shù)fx的周期，確定ω的值，再根據(jù)圖象過點(diǎn)π2,2，求得φ=π48．【答案】D【解析】【解答】解：A、由題意可知：事件A,B同時(shí)發(fā)生，即A∩B≠?，故A錯(cuò)誤；B、事件C發(fā)生，A∪B不一定發(fā)生，故B錯(cuò)誤；C、易知PA=PB則PABC=1D、由PAB=1可知事件A,B,C兩兩獨(dú)立，故D正確.故答案為：D.【分析】由題意，利用互斥事件的定義即可判斷A；根據(jù)并事件的定義即可判斷B；利用獨(dú)立事件的定義即可判斷CD.9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、二項(xiàng)式1?2x2n的展開式中共2n+1B、令x=1，可得1?22nC、1?2x2nn∈N令k=2n?2，則該項(xiàng)系數(shù)為C2nD、由A可知：1?2x2nn∈N?展開式有故答案為：BD.【分析】由二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)數(shù)即可判斷A；利用賦值法即可判斷B；寫出1?2x2nn∈N10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由題意可知：兩個(gè)班的平均分x=mx1+nA、若x1=xB、若m=n，則x=C、若x1=xS2而mm+n因?yàn)檎?fù)不確定，所以不等式不一定成立，故C不正確；D、若m=n，x=則S2=m故答案為：ABD.【分析】先計(jì)算兩班的平均分和方差，再根據(jù)平均數(shù)的公式和方差的公式逐項(xiàng)分析判斷即可.11．【答案】B,D【解析】【解答】解：函數(shù)fx=ax2+b令f'(x)=0，得x=3b2aA、若a<0，b<0，3?(ba)<0x∈(?∞,0)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x∈(0,3x∈(3b2a,+∞B、若a<0，b>0，則3?(ba)>0x∈(?∞,3b2a)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x∈(3b2aC、若a>0，b<0，則3?(ba)>0x∈(?∞,3b2a)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x∈(3b2aD、若a>0，b>0，則3?(ba)<0x∈(?∞,0)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x∈(0,3x∈(3b2a,+∞故答案為：BD．【分析】求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，分別求出函數(shù)f(x)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，對(duì)a，b在取不同符號(hào)的值的情況下f(x)可能的圖象進(jìn)行分類討論，選出符合題意的圖象即可．12．【答案】3【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意可知，圓F2的半徑為OF因?yàn)橹本€MF1與圓F2相切，所以M在△MF1F由橢圓的定義可得：2a=MF1故答案為：3+1【分析】由題意可得MF1⊥MF2，在△M13．【答案】34【解析】【解答】解：若b2+c2?b+c=2acosB+2acos整理可得b+c=a因?yàn)閎c=1，所以b+c=a化簡可得b2+c2?則△ABC的面積S=1故答案為：34【分析】由題意，利用余弦定理化簡求得bc與cosA14．【答案】3?3【解析】【解答】解：要使r1+r且球O1與平面AD1，平面C球O2與平面BC1，平面B易知BD1=3，D1則3r1+故答案為：3?3【分析】由題意，要使r115．【答案】（1）解：由題意可知：高一年級(jí)成績成績不低于90分的概率為1020高二年級(jí)成績不低于90分的概率為0.025×10=0.25，則從高一和高二樣本中各抽取1人，這兩人的成績都不低于90分的概率為：12（2）解：由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，PX=0PX=1PX=2PX=3X的分布列為：X0123P91571EX【解析】【分析】（1）由題意，先求高一年級(jí)、高二年級(jí)成績不低于90分的概率，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可；（2）由題意，先確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求對(duì)應(yīng)的概率值，列分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.（1）從高一年級(jí)成績分布表可以看出，成績不低于90分的概率為1020從高二年級(jí)成績頻率分布直方圖中可以看出，成績不低于90分的概率為0.025×10=0.25.所以從高一和高二樣本中各抽取1人，這兩人的成績都不低于90分的概率為：12（2）根據(jù)題意可知，X的可能取值為0，1，2，3.當(dāng)X=0時(shí)，即這三個(gè)人中成績都低于90分，此時(shí)概率為：PX=0當(dāng)X=1時(shí)，即這三個(gè)人中成績只有1人的成績是不低于90分的，此時(shí)概率為：PX=1當(dāng)X=2時(shí)，即這三個(gè)人中成績只有2人的成績是不低于90分的，此時(shí)概率為：PX=2當(dāng)X=3時(shí)，即這三個(gè)人的成績都是不低于90分的，此時(shí)概率為：PX=3所以X的分布列為：X0123P91571所以數(shù)學(xué)期望為EX16．【答案】（1）證明：取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，如圖所示：易知AO⊥BC，因?yàn)锳1A⊥BC，AO,AA1為平面AOA1內(nèi)兩條相交直線，所以BC⊥平面AOA1，又因?yàn)锽C的中點(diǎn)為O，所以A1（2）解：過A1作A1D⊥OA，垂足為D，由（1）BC⊥平面AOA1所以BC⊥A1D，BC,OA為平面ABC內(nèi)兩條相交直線，所以A1D⊥又因?yàn)镾△ABC=12×4×4×32=43，三棱柱ABC?A1又因?yàn)榈酌妗鰽BC是邊長為4的等邊三角形，所以AO=23過O作A1D的平行線作為z軸，OA,OB為x,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則A2設(shè)C1a,b,c，則由AC=A1C1AC設(shè)平面AA1B1B設(shè)x=3，得y=3,z=3，即n設(shè)直線AC1與平面AA1B【解析】【分析】（1）取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，通過BC⊥平面AOA1，得到（2）過O作A1D的平行線作為z軸，OA,OB為（1）取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，因?yàn)榈酌妗鰽BC是邊長為4的等邊三角形，所以AO⊥BC，又A1A⊥BC，AO,AA所以BC⊥平面AOA1，又A1所以BC⊥A又BC的中點(diǎn)為O，所以A1（2）過A1作A1D⊥OA，垂足為由（1）BC⊥平面AOA1，A1所以BC⊥A1D，BC,OA所以A1D⊥平面ABC，即又S△ABC三棱柱ABC?A1B所以A1又AA1=2又底面△ABC是邊長為4的等邊三角形，所以AO=23過O作A1D的平行線作為z軸，OA,OB為則A2設(shè)C1a,b,c，則由AC=A1即C1A設(shè)平面AA1B則n?設(shè)x=3，得y=3,z=3所以n=設(shè)直線AC1與平面AA則sinθ17．【答案】（1）解：設(shè)Ax因?yàn)辄c(diǎn)A,B在雙曲線上，所以x12?y123又因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為3,3，所以x1+x所以直線的斜率為k=y1?y2x1（2）解：假設(shè)存在定點(diǎn)Mt,0t<0，使得設(shè)Px0,因?yàn)椤螾FM=2∠PMF，所以tan∠PFM=即?y0x又點(diǎn)P在雙曲線上，所以y0代入上式可得x0整理可得?4tx0?4所以?4t?4=0且t2+4t+3=0，解得當(dāng)x0=2時(shí)，代入雙曲線方程可得顯然，此時(shí)△PMF為等腰直角三角形，也成立，綜上，t=?1.【解析】【分析】（1）設(shè)Ax（2）假設(shè)存在定點(diǎn)Mt,0t<0，使得（1）設(shè)Ax則x12?y1因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為3,3，所以x1所以6x所以直線的斜率為k=y1?y2即3x?y?6=0.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)Mt,0t<0，使得設(shè)Px0,因?yàn)椤螾FM=2∠PMF，所以tan∠PFM=即?y0x又點(diǎn)P在雙曲線上，所以y0代入上式可得x0整理可得?4tx0?4所以?4t?4=0且t2+4t+3=0，解得當(dāng)x0=2時(shí)，代入雙曲線方程可得顯然，此時(shí)△PMF為等腰直角三角形，也成立，綜上，t=?1.18．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)=12af'當(dāng)a<0時(shí)，令f'(x)>0，解得得0<x<?1a，令則函數(shù)f(x)在(0,?1a)故當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,?1a)（2）解：（ⅰ）由fx=12ax2設(shè)g(x)=ax+lnx(x>0)，g'(x)=a+1當(dāng)a≥0時(shí)，g'(x)=ax+1x>0，函數(shù)g(x)在(0,+∞)當(dāng)a<0時(shí)，令g'(x)=ax+1x>0，解得0<x<?即函數(shù)g(x)在(0,?1a)上單調(diào)遞增，在(?1a要使g(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)，需使g(?1a)>0當(dāng)0<x<?1a時(shí)，因?1a>e又g(x)在(0,?1a)上單調(diào)遞增，所以g(x)當(dāng)x>?1a時(shí)，令φ(x)=e再令u(x)=ex?2x(x>1)故u(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則u(x)>u(1)=e?2>0，即故φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則因?1a>e>1，所以φ(?1a)>0，即故g(e又g(x)在(?1a,+∞)綜上，當(dāng)?1e<a<0時(shí)，g(x)即方程fx=12a（ⅱ）由（?。┛傻?<x1<?1a因f'(s)<0，則(as+1)(s+1)s<0，即故有λ>x2?x1(x1+x2設(shè)s(t)=λlnt?t?1因t>1時(shí)，2t(1+t)①當(dāng)λ≥12時(shí)，s'(t)>0在(1,+∞即s(t)>s(1)=0，即λlnt>t?1②當(dāng)0<λ<12時(shí)，s'(1)=λ?12<0，而s故存在t0>1，使得?t∈(1,t0)，使得s'(t)<0綜上，可得λ≥12，即【解析】【分析】（1）求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，當(dāng)a<0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可得f(x)的單調(diào)性即可；（2）（ⅰ）問題轉(zhuǎn)化為方程ax+lnx=0有兩個(gè)解，構(gòu)造g(x)=ax+lnx(x>0)，分類討論a≥0與a<0時(shí)的圖象性質(zhì)，由極大值g(?1a)>0得到?1e<a<0，再分類討論區(qū)間(0,?1a)與(?1a,+∞)上零點(diǎn)的情況確定a的取值范圍即可；

（ⅱ）對(duì)f'（1）函數(shù)f(x)=12a則f'因a<0，由f'(x)>0得0<x<?1a，由即函數(shù)f(x)在(0,?1a)故當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,?1a)（2）（?。┯蒮x=12ax2設(shè)g(x)=ax+lnx(x>0)，則g'(x)=a+1當(dāng)a≥0時(shí)，g'(x)=ax+1x>0，故g(x)在(0,+當(dāng)a<0時(shí)，由g'(x)=ax+1x>0得0<x<?即g(x)在(0,?1a)上單調(diào)遞增，在(?1a要使g(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)，需使g(?1a)>0當(dāng)0<x<?1a時(shí)，因?1a>e又g(x)在(0,?1a)上單調(diào)遞增，所以g(x)當(dāng)x>?1a時(shí)，令φ(x)=e再令u(x)=ex?2x(x>1)故u(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則u(x)>u(1)=e?2>0，即故φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則因?1a>e>1，所以φ(?1a)>0，即故g(e又g(x)在(?1a,+∞)綜上，當(dāng)?1e<a<0時(shí)，g(x)即方程fx=12a（ⅱ）由（?。┛傻?<x1<?1a因f'(s)<0，則(as+1)(s+1)s<0，即故有λ>x2?x1(x1+設(shè)s(t)=λlnt?t?1因t>1時(shí)，2t(1+t)①當(dāng)λ≥12時(shí)，s'(t)>0在(1,+∞即s(t)>s(1)=0，即λlnt>t?1②當(dāng)0<λ<12時(shí)，s'(1)=λ?12<0故存在t0>1，使得?t∈(1,t0)，使得s'(t)<0綜上，可得λ≥12，即19．【答案】（1）解：由“伴隨向量集”的定義可得：B1=?1,?1,?1,12