2.2.2直線的兩點(diǎn)式方程【劃重點(diǎn)】1．掌握直線方程兩點(diǎn)式的形式、特點(diǎn)及適用范圍.2．了解直線方程截距式的形式、特點(diǎn)及適用范圍.3．會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程名稱兩點(diǎn)式截距式條件兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過(guò)原點(diǎn)【例題詳解】一、直線的兩點(diǎn)式方程例1已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC邊所在的直線方程；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．【答案】(1)2x＋5y＋10＝0；(2)10x＋11y＋8＝0【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)式求解即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得BC的中點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)式可得BC邊上的中線所在直線的方程．【詳解】（1）BC邊過(guò)兩點(diǎn)B(5，－4)，C(0，－2)，由兩點(diǎn)式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC邊所在的直線方程為2x＋5y＋10＝0．（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為M(a，b)，則a＝＝，b＝＝－3，所以，又BC邊的中線過(guò)點(diǎn)A(－3，2)，所以＝，即10x＋11y＋8＝0，所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0．跟蹤訓(xùn)練1(1)直線l過(guò)點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則線l的方程為，整理得，所以直線l的方程為.故選：D.(2)已知，，則直線的兩點(diǎn)式方程為．【答案】【分析】直接由直線的兩點(diǎn)式方程公式得出答案.【詳解】當(dāng)直線過(guò)兩點(diǎn)，時(shí)，其兩點(diǎn)式方程為，則直線的兩點(diǎn)式方程為，故答案為：.二、直線的截距式方程例2(1)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)直線的截距式方程分析運(yùn)算，注意討論截距是否為0.【詳解】設(shè)直線在x，y軸上的截距分別為，則，若，即直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線為，代入，即，解得，故直線方程為；若，設(shè)直線為，代入，即，解得，故直線方程為，即；綜上所述：直線方程為或.故選：D.(2)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為0(不過(guò)原點(diǎn))的直線方程為，此直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.【答案】【分析】設(shè)直線的截距式方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用三角形面積公式求解即可.【詳解】當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，且不為0.可設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)，所以，解得，所以直線方程為.當(dāng)直線方程為時(shí)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為.跟蹤訓(xùn)練2(1)求過(guò)點(diǎn)P(2,－3)，且橫、縱截距互為相反數(shù)的直線方程.【答案】x－y－5＝0或3x＋2y＝0【分析】分截距為0和不為0兩種情況討論去求直線方程.【詳解】①當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)(2,－3)代入方程中得，解得a＝5，所以所求直線的方程為即x－y－5＝0.②當(dāng)截距為0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，所以直線的方程為，即3x＋2y＝0.綜上，所求直線的方程為x－y－5＝0或3x＋2y＝0.故答案為：x－y－5＝0或3x＋2y＝0.(2)過(guò)點(diǎn)(5，0)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之差為2的直線方程是.【答案】=1或=1【分析】設(shè)直線的方程為，根據(jù)條件先求a,再列方程求解即可.【詳解】設(shè)直線的方程為=1，點(diǎn)在直線上，∴.由得或，∴所求直線的方程為=1或=1.故答案為:或.【課堂鞏固】1．過(guò)（1，2），（5，3）的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用直線方程的兩點(diǎn)式寫出直線方程即可.【詳解】因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)，，所以，即.故選：B.2．過(guò)兩點(diǎn)，的直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩點(diǎn)式得出直線方程，令，即可解出直線在軸上的截距.【詳解】過(guò)兩點(diǎn)，的直線的為，令，解得：，故選：A.3．入射光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)直線反射后，通過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式方程即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，所以所求的直線方程為，即.故選：A.4．已知M（3，），A（1，2），B（3，1），則過(guò)點(diǎn)M和線段AB的中點(diǎn)的直線方程為（）A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0【答案】B【分析】求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程即可的解.【詳解】解：因?yàn)锳（1，2），B（3，1），所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以過(guò)點(diǎn)M和線段AB的中點(diǎn)的直線方程為，即.故選：B.5．（多選）下面說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C．不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程表示D．經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)、的直線都可以用方程表示【答案】ABC【分析】由直線方程的四種特殊形式的適用范圍逐一核對(duì)即得答案.【詳解】對(duì)A，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線不能用方程表示，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且垂直于軸的直線不能用方程表示，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，不僅過(guò)原點(diǎn)的直線不可以用方程表示，而且垂直于兩坐標(biāo)軸的直線也不能用方程表示，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)兩個(gè)不同的點(diǎn)、的連線不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，直線方程為，即，當(dāng)直線斜率為0或者斜率不存在時(shí)，也適合方程，所以經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)、的直線都可以用方程表示，故D正確.故選：ABC.6．（多選）光線自點(diǎn)射入，經(jīng)軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線還經(jīng)過(guò)下列點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)和，從而求出反射光線所在直線，再確定ABCD四個(gè)選項(xiàng)哪個(gè)點(diǎn)在其上.【詳解】關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則反射光線所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則直線為：，即，代入，則，A選項(xiàng)正確；代入，則，B錯(cuò)誤；代入，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；代入，則，D正確.故選：AD7．已知傾斜角為90°的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2m，3)，B(2，－1)，則m=【答案】1【分析】由傾斜角為90°的直線方程的特點(diǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為90°且過(guò)點(diǎn)A(2m，3)，B(2，－1)，故其方程為，所以，解得.故答案為：18．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它在x軸上的截距為1，則直線的方程為．【答案】【分析】分類討論直線的斜率是否存在，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解.【詳解】若直線的斜率不存在，則方程為，顯然它在x軸上的截距為1，符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)為，則方程為，代入可得，不成立；綜上所述：直線的方程為.故答案為：.9．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且在y軸上的截距是在x軸上的截距的兩倍的直線方程為．【答案】或【分析】分截距為零和不為零兩種情況求直線方程即可.【詳解】①當(dāng)橫縱截距為零時(shí)，直線的斜率，所以直線方程為，即；②當(dāng)橫縱截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以直線方程為，即.故答案為：或.10．過(guò)A(1，4)且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線共有條．【答案】3【分析】根據(jù)題意可得有三種情況.【詳解】解析：一條是截距為0，一條是截距相等(不為0)，一條是截距互為相反數(shù)(不為0)，共3條．故答案為：3.11．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別滿足：點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，，直線的斜率為，直線與直線垂直．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求邊上的中線所在直線的方程．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）結(jié)合直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系、兩點(diǎn)求斜率的公式求得的坐標(biāo)；（2）根據(jù)邊上的中線所過(guò)點(diǎn)求得中線所在直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€AC的斜率為，直線AC與直線BC垂直，所以直線BC的斜率為．設(shè)，，則，解得；，解得．所以，．（2）因?yàn)锽C的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且中線過(guò)點(diǎn)，所以邊BC上的中線所在直線方程為，即．12．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn).(1)求BC邊所在直線的方程；(2)求BC邊上的高所在直線方程；(3)求BC邊的中垂線所在直線方程.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）直接利用直線兩點(diǎn)式方程求解即可；（2）先求，根據(jù)直線垂直可得BC邊上的高所在直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求解即可；（3）先求中點(diǎn)為，再利用點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】（1）利用點(diǎn)斜式可得直線方程為，整理可得；（2）由，所以BC邊上的高所在直線的斜率，所以BC邊上的高所在直線方程為，整理可得；（3）由中點(diǎn)為，由（2）知BC邊的垂直平分線的斜率，所以BC邊的垂直平分線為，整理可得.13．若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，求直線l的方程．【答案】或.【分析】由題意可得直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等且不為0，設(shè)直線方程為，其中，根據(jù)三角形面積即可求解.【詳解】解∵直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，∴直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等或互為相反數(shù)且不為0，若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且設(shè)為，則直線方程為，即.，即，，∴直線方程為.若在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，不妨設(shè)在軸上的截距為，則在軸上的截距為，故直線方程為，即.∵，即，，直線方程為.綜上所述，直線的方程為或.14．已知直線過(guò)點(diǎn)．(1)若直線過(guò)點(diǎn)，求直線的方程；(2)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）利用直線的兩點(diǎn)式方程求解即可；（2）利用直線的截距式方程求解即可，注意討論截距為0的情況；【詳解】（1）因?yàn)橹本€過(guò)，，所以直線方程為，整理得.（2）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入可得，解得，所以直線方程為；當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入可得，解得，所以直線方程為，綜上所述，直線方程為或.15．已知直線l：（1）若直線l的斜率是2，求m的值；（2）當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大時(shí)，求此直線的方程．【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.【分析】（1）由方程得出在坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)，即可由斜率求出；（2）由題得出0＜m＜4，表示出面積即可求出.【詳解】解：(1)直線l過(guò)點(diǎn)(m，0)，(0，4－m)，則，解得m＝－4.(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，則.當(dāng)m＝2時(shí)，S有最大值，故直線l的方程為x＋y－2＝0.【課時(shí)作業(yè)】1．已知直線的兩點(diǎn)式方程為，則的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線的兩點(diǎn)式方程為，得到直線過(guò)點(diǎn)，，然后由斜率公式求解.【詳解】因?yàn)橹本€的兩點(diǎn)式方程為，所以直線過(guò)點(diǎn)，，所以的斜率為．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程以及斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.2．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線方程都可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)式直線方程即可求解.【詳解】當(dāng)經(jīng)過(guò)、的直線不與軸平行時(shí)，所有直線均可以用，由于可能相等，所以只有選項(xiàng)C滿足包括與軸平行的直線.故選:C3．已知直線l經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，則m的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程即可求解.【詳解】由題意知不與軸平行，故由直線的兩點(diǎn)式方程可得，解得：，故選：C4．一束光線從點(diǎn)處射到y(tǒng)軸上一點(diǎn)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由反射定律得點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，又因?yàn)锽點(diǎn)也在直線上，根據(jù)截距式可得直線方程．【詳解】由題得點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點(diǎn)也在反射光線所在的直線上，由截距式求得反射光線所在直線的方程為，即，故選B.【點(diǎn)睛】本題直線方程可由兩點(diǎn)式或截距式求出，找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是突破口，屬于基礎(chǔ)題．5．過(guò)點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】按截距為0和不為0分類討論分別求得符合題意的直線方程【詳解】當(dāng)截距時(shí)，設(shè)直線方程為，將，代入得，∴方程為當(dāng)截距時(shí)，過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程為又且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，∴過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為和故選：D.6．有關(guān)直線方程的兩點(diǎn)式，有如下說(shuō)法：①直線方程的兩點(diǎn)式適用于求與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線方程；②直線方程也可寫成；③過(guò)點(diǎn)，的直線可以表示成.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)直線方程的兩點(diǎn)式使用條件可判斷①②；③式是由直線兩點(diǎn)式化簡(jiǎn)而得，通過(guò)驗(yàn)證斜率為0或不存在即可驗(yàn)證命題真?zhèn)?【詳解】①正確，從兩點(diǎn)式方程的形式看，只要，，就可以用兩點(diǎn)式來(lái)求解直線的方程；②正確，方程與的形式有異，但實(shí)質(zhì)相同，均表示過(guò)點(diǎn)和的直線；③顯然正確.故選：D.7．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(－1，－5)和B(2，13)的直線在x軸上的截距為（

）A．－1B．1C．－D．【答案】C【分析】先由兩點(diǎn)式方程求出直線方程，即可求得在x軸上的截距.【詳解】解析：由直線的兩點(diǎn)式可得直線的方程為，即6x－y＋1＝0，將代入可得在x軸上的截距為.故選：C.8．已知直線和直線都過(guò)點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把坐標(biāo)代入兩條直線和得,,求出,再用兩點(diǎn)式方程求過(guò)點(diǎn),的直線的方程．【詳解】把坐標(biāo)代入兩條直線和,得,,,過(guò)點(diǎn),的直線的方程是：,,則,,,所求直線方程為：．故選：A.9．（多選）已知的三個(gè)頂點(diǎn)、、，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的斜率為B．直線的傾斜角為鈍角C．邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為D．邊上的中線所在的直線方程為【答案】BCD【分析】利用直線的斜率公式可判斷A選項(xiàng)；利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用中點(diǎn)坐標(biāo)可判斷C選項(xiàng)；利用直線的兩點(diǎn)式方程可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，直線的斜率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率為，所以直線的傾斜角為鈍角，故B正確；對(duì)于C，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，，即點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，邊上的中線所在的直線方程為，整理得，故D正確.故選：BCD.10．（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤有（

）A．“”是“與直線互相垂直”的充要條件B．過(guò)，兩點(diǎn)的所有直線的方程為C．直線的傾斜角的取值范圍是D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】ABD【分析】A.由兩直線互相垂直求解判斷；，B.根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程判斷；C.利用直線的傾斜角和斜率求解判斷；D分直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)求解判斷.【詳解】A.當(dāng)與直線互相垂直時(shí)，，解得或，故錯(cuò)誤；B.過(guò)，（且）兩點(diǎn)的所有直線的方程為，故錯(cuò)誤；C.直線的傾斜角，則，所以傾斜角的取值范圍是，故正確；D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)為，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，將點(diǎn)代入得，則直線方程為，故錯(cuò)誤；故選：ABD11．已知直線l過(guò)點(diǎn)P(0，1)，且與x，y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于2，則直線l的方程是.【答案】【分析】設(shè)所求直線方程為，求出直線與x，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積等于2即可得解.【詳解】設(shè)直線l的方程為，由題意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得，所以，即，解得，所以直線l的方程為，即.故答案為：12．一束光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)由x軸反射后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)射出，則反射光線所在直線方程是．【答案】【分析】根據(jù)題意，若要求反射光線，可求得點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，又過(guò)即可得解.【詳解】首先求點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以反射光線過(guò)和兩點(diǎn)，故直線方程為：，即，故答案為：.13．已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，當(dāng)時(shí)，直線方程為：，與軸平行，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令得：，令得：，則，解得：，綜上：實(shí)數(shù)的值為，故答案為：.14．直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，且過(guò)定點(diǎn)，則直線l的方程為.【答案】【分析】設(shè)直線在x軸上的截距為a，則在y軸上的