②；3、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到．4、三角形中的射影定理在中，；；．知識點(diǎn)03對三角形解的個(gè)數(shù)的研究1、已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

2、已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

3、從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

（1）若B=>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

（2）若B==1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

（3）若B=<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)大于，一個(gè)小于，考慮到“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.知識點(diǎn)04測量問題的基本類型和解決思路1、解三角形的實(shí)際應(yīng)用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．（2）方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．2、測量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長度不可直接測量時(shí)，求AB的距離有以下三種類型：類型簡圖計(jì)算方法A,B間不可達(dá)也不可視測得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得B,C與點(diǎn)A可視但不可達(dá)測得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+C)，由正弦定理得C,D與點(diǎn)A,B均可視不可達(dá)測得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數(shù).在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.3、測量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測量時(shí)，求AB的高度有以下三種類型：類型簡圖計(jì)算方法底部

可達(dá)測得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可達(dá)點(diǎn)B與C,D共線測得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數(shù).

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.點(diǎn)B與C,D不共線測得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數(shù).

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.4、測量角度問題的解決方案測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時(shí)問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【考點(diǎn)一：正、余弦定理求三角形的邊與角】一、單選題1．（24-25高一下·云南·期中）在中，，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)結(jié)合余弦定理直接求解即可.【詳解】在中，，即，化簡得，解得或（不合題意，舍去），，故選：C.2．（24-25高一下·吉林·期中）在，角，，所對的邊分別為，，．已知，，，則角為（

）A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理得，再由小邊對小角得解.【詳解】因?yàn)椋?，，根?jù)正弦定理，則，得，，所以或，因?yàn)?，所以，所?故選：C3．（24-25高一下·山東淄博·期中）在中，角的對邊長分別為.若，則（

）A．17 B．7 C．34 D．13【答案】A【分析】由兩角和的正弦公式求得，再結(jié)合正弦定理即可求解.【詳解】由，易得，由由正弦定理，可得，故選：A4．（24-25高一下·江蘇南通·期中）在等腰直角中，，點(diǎn)將三等分，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，易得，再應(yīng)用余弦定理求，由同角三角函數(shù)關(guān)系求其正切值.【詳解】設(shè)，則，則，故，同理，所以，又，則，所以.故選：C二、解答題5．（24-25高一下·河北邢臺·期中）在中，，，分別是角，，的對邊，且.(1)求的大小；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合三角恒等變換可得解；（2）利用余弦定理列方程，解方程即可.【詳解】（1）由已知，根據(jù)正弦定理可得，即，則，又在中，，即，又，，所以，，由，所以；（2）由余弦定理可知，即，即，解得或.6．（24-25高一下·天津·期中）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足，(1)求角的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化結(jié)合余弦定理計(jì)算求解；（2）先應(yīng)用二倍角公式結(jié)合兩角和差正弦公式計(jì)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，且，所?（2）由正弦定理知，又，，.7．（24-25高一下·海南·期中）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)若，求的外接圓面積；(2)若，求角.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）設(shè)的外接圓的半徑為，由條件利用正弦定理化邊為角可得，化簡可得，由此可求，再求的外接圓面積；（2）由正弦定理化邊為角，結(jié)合（1）可得，利用三角恒等變換公式可得，結(jié)合角的范圍及特殊角三角函數(shù)值可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，在中，由，可得，又所以所以所以，所以，而，所以，即，因?yàn)闉閮?nèi)角，所以，所以所以，故，所以外接圓的面積為，（2）由，可得，在中，由正弦定理得，由（1）所以，因?yàn)?，所以，所以，則，得，，或，或.【考點(diǎn)二：判斷三角形形狀】一、單選題1．（24-25高一下·湖北·期中）設(shè)的面積為，角所對的邊分別為，且，若，則此三角形的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)計(jì)算得出角，因?yàn)槔谜叶ɡ砗陀嘞叶ɡ淼玫?，從而判斷三角形形?【詳解】因?yàn)椋?，則，因?yàn)椋?，又，所以，由，所以，，所以為等腰直角三角?故選：D.2．（24-25高一下·全國·課堂例題）在中，角，，所對的邊分別為，，，且，若，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】先由余弦定理和已知得到，再由正弦定理得，代入得到即可判斷三角形形狀.【詳解】在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則．由于，故．由于，利用正弦定理，得，所以，故，所以為等邊三角形．故選：D.3．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理將邊化角，再由二倍角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】由題可得，由正弦定理可得，所以，又，則，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形．故選：D4．（24-25高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，則的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不確定的【答案】C【分析】由正弦定理，結(jié)合題意，可得邊的等量關(guān)系與角的不等關(guān)系，根據(jù)余強(qiáng)定理，可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以，，易知，即，設(shè)，則，，則，可得，所以是銳角三角形.故選：C.5．（24-25高一下·湖北武漢·期中）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀是（

）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形【答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解.【詳解】由，，所以，由正弦定理有，又由余弦定理有，所以，所以，即，又，所以是直角三角形但不是等腰三角形.故選：B.【考點(diǎn)三：判斷三角形解的個(gè)數(shù)】一、單選題1．（24-25高一下·廣西河池·階段練習(xí)）在三角形中，，，，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用正弦定理求角，利用大邊對大角確定角的范圍即可求解.【詳解】由可得：，所以，又，則，所以．故選：A2．（2024高一·全國·專題練習(xí)）在中，已知，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算出，結(jié)合正弦值的范圍判斷.【詳解】由正弦定理得，則,故不存在，即滿足條件的三角形不存在．故選：C3．（23-24高一下·福建南平·期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，已知，則此三角形（

）A．無解 B．一解 C．兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【分析】由正弦定理可得，進(jìn)而可求，可得結(jié)論.【詳解】由正弦定理，得，解得，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以或，故此三角形有兩?故選：C.4．（24-25高一下·甘肅白銀·期中）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且有兩解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件有兩解，計(jì)算求參.【詳解】因?yàn)橛袃山?，得，得．故選：B.5．（24-25高一下·山東·期中）在中，，，若滿足上述條件的有且僅有一個(gè)，則邊長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用正弦定理得，再由有唯一一個(gè)得出或，即可求解.【詳解】在中利用正弦定理得，則，若滿足上述條件的有且僅有一個(gè)，則或，則或，則邊長的取值范圍是.故選：C6．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分別為角所對邊，已知，，，若滿足條件的角有兩個(gè)不同的值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理用表示出，結(jié)合題意得到關(guān)于的不等式，解不等式即可.【詳解】由正弦定理，可得，所以，若滿足條件的角有兩個(gè)不同的值，即三角形有兩解，所以，則，即，解得.故選：C.【考點(diǎn)四：證明解三角形中的恒等式與不等式】一、解答題1．（23-24高一·上?！ふn堂例題）在中，求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用正弦定理邊化角推理即得.（2）利用余弦定理推理即得.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，其中為外接圓半徑，所以.（2）在中，由余弦定理得，即，同理，，所以，即.2．（24-25高一下·上海·期中）（1）在中，已知，求證：；（2）在中，已知，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用余弦定理化簡即得證；（2）利用正弦定理化邊為角，根據(jù)和角的正弦公式代入化簡，利用同角的基本關(guān)系式化弦為切即可得證.【詳解】（1）由和余弦定理，可得，化簡得：，即得；（2）由和正弦定理，可得，因，代入上式并整理得：(*)，因是的內(nèi)角，故，，將（*）兩邊同除以，可得.3．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求B；(2)若，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由正弦二倍角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知進(jìn)行運(yùn)算證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?，即，所以．因?yàn)?，所以；?）由余弦定理得，所以，即．①因?yàn)?，所以．②將②代入①，得，整理得．因?yàn)?，所以?．（24-25高一下·湖南·期中）已知中，.(1)求；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由輔助角公式化簡即可得解；（2）由余弦定理及基本不等式得出不等關(guān)系，再由正弦定理即可得證.【詳解】（1）由輔助角公式可得，即，則，又，故.（2）設(shè)中角的對邊分別為，由余弦定理且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故.由正弦定理可得，又，故，即，得證.5．（24-25高一下·河南·階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知．(1)證明：；(2)證明：；(3)若點(diǎn)D在線段AB上，，，求a的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理進(jìn)行化簡可求，進(jìn)而求得，本題得證；（2）利用反證法證明即可；（3）由條件可得，得到，再結(jié)合條件及即可求得a的值.【詳解】（1）證明：由正弦定理可得，即，由余弦定理，得，又，故．（2）證明：若，則是等邊三角形，則，而由可知，矛盾，故，得證．（3）因?yàn)?，，所以，由相似可知，又，故，又，代入得，解得（?fù)值舍去），即a的值為．【考點(diǎn)五：三角形面積公式的應(yīng)用】一、單選題1．（24-25高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）在中，若，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式求解.【詳解】在中，由余弦定理得，而，則，解得，，所以的面積為.故選：D2．（24-25高一下·浙江·階段練習(xí)）已知的面積為，則邊的長度為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，所以，故選:D．3．（24-25高一下·福建莆田·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為.若的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的面積公式和正弦定理求解.【詳解】由題知，，即，由正弦定理，，其中是外接圓半徑，由于，兩邊約分后可得.故選：A4．（24-25高一下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且的面積，則（

）A．8 B． C． D．4【答案】D【分析】由，可求出，再由結(jié)合余弦定理可求出，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，得，因?yàn)?，所以由余弦定理得，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：D5．（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，表示的面積，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形面積公式及余弦定理可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡可得，再利用正弦定理得，即可求得角B.【詳解】由，可得,所以，由正弦定理，可得，化簡得，即，故選：C．6．（24-25高一上·湖南郴州·期末）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為BC邊上一點(diǎn)，且，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，可求，可求的面積.【詳解】因?yàn)樵谥?，，又為邊上一點(diǎn)，且，所以，又，所以，所以，解得，所以.故選:D.【考點(diǎn)六：實(shí)際問題中距離、高度、角度的測量】一、單選題1．（24-25高一下·天津·期中）已知甲船位于燈塔的北偏東方向，且與相距3海里，乙船位于燈塔的北偏西方向，若兩船相距海里，則乙船與燈塔之間的距離為（

）A． B．2 C． D．5【答案】B【分析】由圖結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】設(shè)甲船位于點(diǎn)處，乙船位于點(diǎn)處，則由題意可得，，，，則由余弦定理可得：即，即，得，故乙船與燈塔之間的距離為海里.故選：B.2．（23-24高一上·山東泰安·階段練習(xí)）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點(diǎn)處測得樓頂?shù)难鼋菫椋诠飞献晕飨驏|行走，行走60米到點(diǎn)處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點(diǎn)處，測得仰角為.則（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】畫出相應(yīng)圖形后計(jì)算出點(diǎn)到該樓的距離，結(jié)合勾股定理與正弦定義計(jì)算即可得.【詳解】如圖所示，由題意有，，則有，故，則，故，則.故選：A.3．（24-25高一下·天津?yàn)I海新·期中）山西應(yīng)縣木塔，始建于1056年，是世界上現(xiàn)存最高大、最古老的純木樓閣式建筑，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”．某同學(xué)為了估算水塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高為10m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N在同一水平面上且三點(diǎn)共線）測得木塔頂部M，建筑物頂部A的仰角分別為60°和15°，在A處測得木塔頂部M的仰角為30°，則可估算木塔的高度為（

）m．A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入數(shù)值即可求得的值.【詳解】，在中，，在中，，則，由正弦定理，得，所以，在中，.故選：D.4．（24-25高一下·福建廈門·期中）某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量某建筑的高度OP，選取了在同一水平面上的A，B，C三處，其中B是AC的中點(diǎn).如圖.已知在A，B，C處測得該建筑頂部P的仰角分別為米，則該建筑的高度（

）A．米B．10米C．米D．米【答案】A【分析】根據(jù)三角形余弦定理求解即可．【詳解】設(shè)米，在中，已知所以在中已知所以在中已知所以因?yàn)锽是的中點(diǎn)，且米，所以米．又因?yàn)樗栽谥?，由余弦定理可得：解得所以米．故選：5．（23-24高一下·廣東茂名·階段練習(xí)）一艘漁船航行到處時(shí)看燈塔在的南偏東，距離為海里，燈塔在的北偏東，距離為海里，該漁船由沿正東方向繼續(xù)航行到處時(shí)再看燈塔在其南偏西方向，則此時(shí)燈塔位于漁船的（

）A．南偏東方向 B．南偏西方向C．北偏西方向 D．北偏西方向【答案】D【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求.【詳解】如圖，

由題意，在中，，，，由正弦定理得，所以，在中，因?yàn)?，，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，故為銳角，故，此時(shí)燈塔C位于漁船的北偏西方向.故選：D.6．（24-25高一下·山東·期中）如圖，為了測量兩山頂間的距離，飛機(jī)沿水平方向在兩點(diǎn)進(jìn)行測量，，在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)．在點(diǎn)測得的俯角分別為，在點(diǎn)測得的俯角分別為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求.【詳解】因?yàn)樵邳c(diǎn)測得，的俯角分別為，，所以，，因?yàn)樵邳c(diǎn)測得，的俯角分別為，，所以，，在中，已知，由正弦定理得，所以；因?yàn)椋瑒t，所以，在中，由余弦定理得，所以，因?yàn)?，，故，在中，由余弦定理得：，故，所以，故選：B.【考點(diǎn)七：解三角形中的圖形問題

】一、解答題1．（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，交于，.

(1)求的度數(shù)；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形內(nèi)角和的關(guān)系求解即可；（2）先利用兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）由已知得，，，所以是等腰三角形，，所以，所以.（2）由（1）知中，，，又，所以.2．（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，的面積為．

(1)求；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)面積得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出，從而求出的值；（2）在中，由正弦定理得，結(jié)合（1）中，由角的范圍得到.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，所以．在中，由余弦定理得，所以．在中，，所以，所以；（2）由（1）可得，在中，由正弦定理得，所以，且．由（1）可得，又，所以．3．（24-25高一下·海南?？凇るA段練習(xí)）如圖，在中，，，，為內(nèi)一點(diǎn)，且．(1)若，求的長；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，先求出，再在中，利用余弦定理求解即可；（2）設(shè)，則，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出，進(jìn)而可得出答案.【詳解】（1）在中，，則，所以，在中，由余弦定理得，所以；（2）設(shè)，則，在中，因?yàn)椋?在中，,所以，即，所以，即.4．（23-24高一上·安徽·期末）如圖,在中,的平分線交邊于點(diǎn),點(diǎn)在邊上,,,.

(1)求的大小;(2)若,求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€,所以,在中利用余弦定理求出的長,再次利用余弦定理即可求出的大小.（2）在中,由正弦定理求出的長,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為可得到,從而求出的值,再利用三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€,所以,在中,根據(jù)余弦定理得,所以,則,因?yàn)?所以.（2）因?yàn)?所以,在中,由正弦定理得,在四邊形中,,所以,則.5．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知在平面四邊形中，，，．(1)若該四邊形存在外接圓，且，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)外接圓得到，在中，有余弦定理得，在中，利用余弦定理求出；（2）設(shè)，則，由正弦定理得到方程組，求出，由正弦定理求出答案.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅未嬖谕饨訄A，則，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，解得；（2）設(shè)，則，分別在、中用正弦定理可得，則，，則，，則或（舍），故.6．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，D為所在平面內(nèi)一點(diǎn)且點(diǎn)B，D位于直線的兩側(cè)，在中，．

(1)求的大小；(2)若，，，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件得，在中，由余弦定理得即可；（2）設(shè)，，在和中都由正弦定理得，，即，最后化簡即可.【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，所以，在中，由余弦定理得，所以，因?yàn)樵谥校?，所以．?）法1：在中，設(shè)，，則由正弦定理得，即，①又在中，，，則由正弦定理得，即，②則由①②兩式得，，即，展開并整理得，即，所以，因?yàn)樵谥校?，所以，把代入①式得，．?：延長、交于，則，則，故，故，故即，故，故.一、單選題1．（24-25高一下·山東淄博·期中）的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則（

）A．15° B．45° C．105° D．15°或105°【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理可得，，因?yàn)椋曰?，?jīng)檢驗(yàn)均符合題意，所以或.故選：D2．（24-25高一下·海南省直轄縣級單位·期中）在中，角所對邊的長分別為.若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理可得，由平方關(guān)系可得.【詳解】因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，，所?故選：D.3．（24-25高一下·廣東佛山·期中）在中，角的對邊分別是，且，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．不確定的【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理，得到，再由，代入整理得，進(jìn)而得到，即可得到答案.【詳解】在中，由余弦定理得，因?yàn)?，可得，代入上式，整理得，即，所以，所以，所以為等腰三角?故選：A.4．（24-25高一下·江西·期中）如圖，為了測量某樓的高度，測量人員選取了與該樓AB在同一鉛垂面內(nèi)的樓CD，B，C在同一水平直線上，現(xiàn)測得，在樓底B點(diǎn)處測得樓CD的頂點(diǎn)D的仰角為，在點(diǎn)D處測得樓AB的頂點(diǎn)A的仰角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，，利用正弦定理可得結(jié)果.【詳解】在中，則，即．在中，則，，由正弦定理得，，所以．故選：D．5．（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化解題即可.【詳解】解：，可得，由余弦定理可得，整理可得：，即，所以或，即或∴的形狀是等腰或直角三角形.故選：C6．（23-24高一下·陜西商洛·期末）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)正弦定理化邊為角，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，再利用余弦定理得，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理可得：，，所以，，化簡得，，由余弦定理，，即，所以.故選：B7．（24-25高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）在中，已知角，，的對邊分別為，，，且，，，若有兩解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理求出關(guān)于的表達(dá)式，再結(jié)合三角形有兩解的條件確定的取值范圍.【詳解】已知，，，由正弦定理可得：，即.因?yàn)椋?要使有兩解，則，且，此時(shí)的取值范圍是.由，且，可得.得到.的取值范圍是，故選：B.8．（23-24高一下·福建·期末）如圖，某觀察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條公路走向是南偏東40°，在B處測得公路上距B處7km的C處有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到達(dá)D處，此時(shí)B，D間的距離為km．要達(dá)到A城，這個(gè)人還要走（）A．6km B．kmC．km D．7km【答案】A【分析】先在中利用余弦定理求出，則可得，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，然后在中利用正弦定理可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，在中，，由余弦定理得,因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，在中，，由正弦定理得由正弦定理得，所?故選：A9．（23-24高一下·重慶·期末）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為，，，則（

）A．120° B．135° C．150° D．165°【答案】A【分析】由面積公式得到，再將切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式得到，利用正弦定理將角化邊得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】在中，，又，則，而，則，即，又，則，而，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理因此，即，則，由余弦定理，又，所以.故選：A二、多選題10．（24-25高一下·河南·期中）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列各組條件中使得有兩個(gè)解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【分析】通過余弦定理解的個(gè)數(shù)來判斷三角形解的個(gè)數(shù)，也可以通過正弦定理大邊對大角來判斷解的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，，，由余弦定理得，所以，即，方程無解，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，由余弦定理得，所以，即，所以，且有兩個(gè)正根，所以有兩個(gè)解，故B正確；因?yàn)椋?，所以，又，所以有兩個(gè)解，故C正確；因?yàn)?，，，由余弦定理得，所以，所以?個(gè)解，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．（24-25高一下·湖北十堰·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．中，若，則為銳角三角形B．銳角三角形中，C．中，若，則D．中，若，則為銳角三角形【答案】BCD【分析】根據(jù)邊角關(guān)系，結(jié)合正弦定理以及三角恒等變換，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，，又所以，化簡得，所以、中有一個(gè)為鈍角，所以錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，且，，所以，即，所以正確；對于C，由正弦定理，又，所以，所以C正確；對于D，又可得，易得，均為銳角，所以，化簡得，即，所以也為銳角，所以D正確.故選：BCD三、解答題12．（24-25高一下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知△ABC內(nèi)角的對邊分別為，設(shè).(1)求；(2)若的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理求出，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由三角形的面積公式可得，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，得，由余弦定理，得因?yàn)?，所以；?），，由（1）得，，，.13．（23-24高一下·湖北咸寧·期末）在中，角，，的對邊為，，，已知，且.(1)若，求；(2)證明：;【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，，然后結(jié)合正弦定理以及二倍角公式解得.（2）根據(jù)（1），然后結(jié)合余弦