4.5相似三角形判定定理的證明學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，已知為的角平分線，交于，如果，那么A． B． C． D．2．在直角三角形ABC中，CD是斜邊上的高線，則下列各式能成立的是()A． B． C． D．3．下列兩個圖形：①兩個等腰三角形；②兩個直角三角形；③兩個正方形；④兩個矩形；⑤兩個菱形；⑥兩個正五邊形．其中一定相似的有（）A．2組B．3組C．4組D．5組4．如圖，在大小為的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（

）A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④5．如圖，在的正方形網(wǎng)格中有一只可愛的小狐貍，算算看畫面中由實線組成的相似三角形有（）A．4對 B．3對 C．2對 D．1對6．如圖，在△ABC中，P為AB上一點，則下列四個條件中，（1）∠ACP=∠B（2）∠APC=∠ACB（3）（4）AB?CP=AP?CB，其中能滿足△APC和△ACB相似的條件有（）A．1個B．2個C．3個D．4個7．如圖所示，、相交于點，連接，，添加下列一個條件后，仍不能判定的是（

）A． B． C． D．8．如圖，是的邊上異于、一點，過點作直線截得的三角形與相似，那么這樣的直線可以作的條數(shù)是（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條9．如圖所示，在△ABC中，D，E分別是AC，BC的中點，有下列三個結(jié)論：①DE＝AB；②△CDE∽△CAB；③△CDE與△CAB的相似比為2.其中正確的結(jié)論有()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個10．如圖，中，交于點，，，，，則的長等于（）A． B． C． D．11．下列各組條件中，不能判定與相似的是（

）A．， B．，，C．， D．，12．如圖，點E為?ABCD的AD邊上一點，且AE∶ED＝1∶3，點F為AB的中點，EF交AC于點G，則AG∶GC等于()

A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3二、填空題13．如圖，當∠AED＝時，以A，D，E為頂點的三角形與相似．14．如圖，已知，，，，要使，只要．15．如圖，添上條件，則．16．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，滿足∠ACD＝∠ABC，則△∽△，若AC＝2，AD＝1，則DB＝．17．如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AF⊥DE于點O，則等于三、解答題18．如果的兩條直角邊分別為3和4，那么以和（k是正整數(shù)）為直角邊的直角三角形一定與相似嗎？為什么？19．如圖，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6.試說明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的長.20．如圖，，，又，點，，在同一條直線上．求證：．21．已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：；（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長．22．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若S△ADE=16cm2，S△EFC=49cm2，求①，②S△ABC．23．如圖，在△ABC中，AB=4cm，AC=2cm．(1)在AB上取一點D（D不與A、B重合），當AD=_________cm時，△ACD∽△ABC．(2)在AC的延長線上取一點E，當CE=________cm時，△AEB∽△ABC．此時BE與DC有怎樣的位置關系?為什么?24．如圖，在中，，點是的重心，且，的延長線交于．(1)求證：；(2)求的值．《4.5相似三角形判定定理的證明》參考答案題號12345678910答案BDADCCDDCA題號1112答案CB1．B【分析】根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)易證，，從而求得的值．【詳解】∵AD為△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠EAD，∵DEAB，∴△CED∽△CAB，∠BAD=∠EDA.∴∠EDA=∠EAD，∴EA=ED，∵,∴ED:EC=2:3，那么故選:B.【點睛】考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.2．D【詳解】試題分析：根據(jù)三角形的面積計算公式可得：AC·BC=AB·CD，即，故選D．3．A【詳解】試題解析：①不相似，因為沒有指明相等的角或成比例的邊；②不相似，因為只有一對角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因為其四個角均相等，四條邊都相等，符合相似的條件；④不相似，雖然其四個角均相等，因為沒有指明邊的情況，不符合相似的條件；⑤不相似，因為菱形的角不一定對應相等，不符合相似的條件；⑥相似，因為兩正五邊形的角相等，對應邊成比例，符合相似的條件；所以正確的有③⑥．故選A．4．D【分析】本題考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解題關鍵．利用勾股定理分別求出每個三角形的三邊長，再根據(jù)兩三角形的三組對應邊的比例相等，則這兩個三角形相似判斷即可．【詳解】解：①中三角形三邊分別為，2，，②中三角形三邊分別為，3，，③中三角形三邊分別為，，，④中三角形三邊分別為2，，，∵，∴是相似三角形的是①和④．故選D．5．C【分析】本題主要應用兩三角形相似的判定定理，三組對應邊的比相等，做題即可．【詳解】設第一個小正方形的邊長為1，則計算各個小三角形的各邊長△ABC的各邊分別為△CDF的各邊分別為△EFG的各邊分別為△HMN的各邊分別為△HPQ的各邊分別為可以得出△ABC與△EFG，△HMN與△HPQ的各邊對應成比例且比例相等，所以這兩組三角形相似.故選:C.【點睛】此題考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩組對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似．6．C【詳解】試題解析：（1）中，∠ACP=∠B，又有一公共角∠A，所以相似，（1）正確；（2）∠APC=∠ACB，且有一公共角∠A，（2）正確；（3）中AC2=AP?AB，∠A為其夾角，（3）正確；（4）中不是兩組對應邊成比例，夾角相等，所以（4）錯誤．故選C．7．D【分析】要使△AOC∽△DOB，只需再添加一個對應角相等或其對應邊成比例即可，而對應邊所夾的角則必是其相等的角，否則不能得到其相似．【詳解】由圖可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一個對應角相等或其對應邊成比例即可，所以題中選項A、B、C均符合題意，而D選項中AC與AO的夾角并不是∠AOC，所以其不能判定兩個三角形相似．故選D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定問題，能夠熟練掌握．8．D【分析】過點P作作PE∥BC，則△AEP∽△ACB（如圖1）；作PE∥AC，則△BPE∽△BAC（如圖2）；作PE，使AE：AB=AP：AC，則△AEP∽△ABC（如圖3）；作PE，使BP：CB=BE：AB，則△BEP∽△BAC（如圖4），由此即可解答．【詳解】解：（1）如圖1，作PE∥BC，則△AEP∽△ACB；（2）如圖2，作PE∥AC，則△BPE∽△BAC；（3）如圖3，作PE，使AE：AB=AP：AC，則△AEP∽△ABC；（4）如圖4，作PE，使BP：CB=BE：AB，則△BEP∽△BAC．故選D．【點睛】本題考查了平行線的判定方法：①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得到的三角形與原三角形相似；②兩邊的比相等，夾角相等的兩個三角形相似．9．C【詳解】分析：根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線的性質(zhì)逐個分析，即可得出正確答案．詳解：①△ABC中，∵DE是它的中位線，∴DE=，故本選項正確；

②△ABC中，∵DE是它的中位線，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本選項正確；

③∵DE=，△ADE∽△ABC，∴△CDE與△CAB的相似比為1：2．

故本選項錯誤．

故選C．點睛：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理，在解題時要注意與三角形的中位線的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關鍵．10．A【分析】由，∠BDE=∠ADC可證明△BDE∽△ACD，根據(jù)相似三角形對應找到成比例找出對應邊即可求出DC的長.【詳解】∵，∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ACD，∴DC：BD=AD：DE，∵，，AB=AD+BD，∴AD=4，BD=6，∴DC===，故選A.【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形找出對應邊是解題關鍵.11．C【分析】根據(jù)：有兩個角對應相等的兩個三角形相似.【詳解】A.，,有兩個角對應相等的兩個三角形相似.

B.，，,得，有兩個角對應相等的兩個三角形相似.C.，，兩個等腰三角形不一定相似；

D.①，②，①+②得，所以，有兩個角對應相等的兩個三角形相似.故選C【點睛】考核知識點：三角形相似的條件.熟記三角形相似的條件是關鍵.12．B【分析】如圖，延長FE，CD交于點H，易證△AFE∽△DHE，根據(jù)已知條件和相似三角形的性質(zhì)可得HD＝3AF.再證得△AFG∽△CHG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答【詳解】延長FE，CD交于點H，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DHE，∴=，即，∴HD＝3AF.∵AB∥CD，∴△AFG∽△CHG，∴.故選B.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，正確作出輔助線證明△AFE∽△DHE及△AFG∽△CHG是解題的關鍵.13．∠B或∠C【分析】由兩個角對應相等的兩個三角形相似，從而可得結(jié)論．【詳解】解：∠BAC＝∠EAD(公共角)，再由∠AED＝∠C或∠AED＝∠B，即可證明與相似．故答案為：或【點睛】本題考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解題的關鍵．14．【分析】根據(jù)對應邊成比例的兩個三角形互為相似三角形可以求解.【詳解】解:∠ACB=,AC=4,BC=3,,要使,有,,,故答案為:【點睛】本題考查相似三角形的判定定理,關鍵是知道對應邊成比例兩個三角形互為相似三角形.15．∠ABC=∠ADE（答案不唯一）【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理添加即可.【詳解】添上∠ABC=∠ADE條件，則△ABC∽△ACD．理由：∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．故答案為∠ACD=∠B（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定：有兩個角對應相等的三角形相似；熟練掌握相似三角形的判定定理是解題鍵．16．ACDABC3【詳解】（1）∵∠ACD＝∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC.（2）∵△ACD∽△ABC，∴AC:AB=AD:AC，∴ADAB=AC2，又∵AC=2，AD=1，∴AB=4，∴BD=AB-AD=4-1=3.17．．【詳解】∵∠ADO=∠ADO,∠DOA=∠DAE=90°，∴△AOD∽△EAD，∴.故答案為.18．相似．因為兩邊成比例，比值為k，且夾角相等．【分析】根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行判斷．【詳解】解：因為，且兩組對應邊的夾角都為90°，所以根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可判斷以3k和4k（k是正整數(shù)）為直角邊的直角三角形一定與Rt△ABC相似．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．19．（1）證明見解析；（2）DE=4.5【分析】（1）由條件可得，且為公共角，則可證明；（2）由（1）可得，可求得.【詳解】⑴

∵AD=5，BD=3，AE=4，CE=6，∴AB=8，AC=10，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；⑵∵△ADE∽△ACB，∴，∵BC=9，∴DE=4.5.【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形相似的判定方法，即有兩組角對應相等、兩組對應邊的比相等且夾角相等或三組對應邊的比相等是解題的關鍵.20．證明見解析【分析】由AB=2AC、BD=2AE可得AB：AC=BD：AE=2，又因BD?//?AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠EAC，再由兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，即可判定△ABD∽△CAE．【詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟知兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似是解決本題的關鍵.21．(1)詳見解析；（2）10.【分析】①只需證明兩對對應角分別相等可得兩個三角形相似；故.②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC長以及AP與OP的關系，然后在Rt△PCO中運用勾股定理求出OP長，從而求出AB長．【詳解】①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.∴∠APO=90°.∴∠APD=90°?∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.∴△OCP∽△PDA.∴.②∵△OCP與△PDA的面積比為1:4，∴OCPD=OPPA=CPDA=14??√=12.∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.∵AD=8，∴CP=4，BC=8.設OP=x，則OB=x，CO=8?x.在△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8?x，∴x2=(8?x)2+42.解得：x=5.∴AB=AP=2OP=10.∴邊AB的長為10.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及翻轉(zhuǎn)變換，解題的關鍵是熟練的掌握相似三角形與翻轉(zhuǎn)變換的相關知識.22．（1）；（2）121【分析】利用平行求相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應求解.【詳解】①∵DE∥BC，EF∥AB；∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACF；∴ΔADE∽ΔABC；∠ABC=∠EFC,∠EFC=∠ADE；∴ΔADE∽ΔEFC；∴S△ADE：S△EFC=(BC：EF)2=16:49,BC：EF=4：7；∵DE∥BC，EF∥AB；∴四邊形DEFB為平行四邊形，DE=BF；∴=.②∵ΔADE∽ΔABC，=；

∴S△ADE：S△ABC=（4:11）2=16：121；∵S△ADE=16cm2；∴S△ABCE=121cm2．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)和利用平行求相似三角形，熟練掌握