7．3空間直線、平面的平行1．理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明．2．掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．1．直線與平面平行項目文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行?a∥b2.平面與平面平行項目文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行教材拓展1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.4．若α∥β，a?α，則a∥β.1．判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線平行于這個平面．(×)(2)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(3)如果兩個平面平行，且一條直線平行于其中一個平面，則該直線平行于另一平面．(×)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線也互相平行．(×)2．（人教A版必修第二冊P139T3改編）α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，下列四個命題中正確的是(C)A．若m∥n，n∥α，則m∥αB．若m∥α，n?α，則m∥nC．若α∥β，m?α，則m∥βD．若m∥n，m?α，n?β，則α∥β解析：若m∥n，n∥α，則m∥α或m?α，故A不正確；若m∥α，n?α，則m∥n或m與n異面，故B不正確；若α∥β，則α與β沒有公共點，又因為m?α，所以m與β沒有公共點，所以m∥β，故C正確；若m∥n，m?α，n?β，則α∥β或α與β相交，故D不正確．故選C.3．（人教A版必修第二冊P134例1改編）如圖，四邊形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中點，BD與平面α交于點N，AC與平面α交于點M，AB＝4，CD＝6，則MN＝(B)A．4.5 B．5C．5.4 D．5.5解析：因為AB∥平面α，AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又M是AC的中點，所以MN是梯形ABDC的中位線，故MN＝eq\f(1,2)(AB＋CD)＝5.故選B.4．（人教A版必修第二冊P142T2改編）設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是(B)A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．以上答案都不對解析：若α內(nèi)的無數(shù)條直線均平行，此時無法推出α∥β，A錯誤；由面面平行的判定定理知B正確；如圖，α，β平行于同一條直線m，但α，β不平行，C錯誤；D錯誤．故選B.考點1直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題角度1直線與平面平行的判定【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點．求證：BE∥平面PAD.【證明】證法一如圖，取PD的中點F，連接EF，F(xiàn)A.由題意知EF為△PDC的中位線，∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2.又∵AB∥CD，AB＝2，∴AB綉EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.證法二如圖，延長DA，CB相交于H，連接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,2)，即B為HC的中點，又E為PC的中點，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD.證法三如圖，取CD的中點H，連接BH，HE，∵E為PC的中點，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知AB綉DH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.命題角度2直線與平面平行的性質(zhì)【例2】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面B1BD與棱A1C1交于點E.求證：BB1∥DE.【證明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1∥CC1，且BB1?平面AA1C1C，CC1?平面AA1C1C，∴BB1∥平面AA1C1C，又∵BB1?平面B1BD，平面B1BD∩平面AA1C1C＝DE，∴BB1∥DE.1．判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義（無公共點）.(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).2．應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．【對點訓(xùn)練1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，△PAD是以PA為斜邊的等腰直角三角形，F(xiàn)，G分別是PB，CD的中點．(1)求證：GF∥平面PAD；(2)設(shè)E為AB的中點，過E，F(xiàn)，G三點的截面與棱PC交于點Q，指出點Q的位置并證明．解：(1)證明：如圖，取PA的中點H，連接FH，HD，因為F為PB的中點，所以HF∥AB，且HF＝eq\f(1,2)AB，又因為四邊形ABCD為菱形，且G為CD中點，所以DG∥AB，且DG＝eq\f(1,2)AB，所以HF∥DG，且HF＝DG，所以四邊形HDGF為平行四邊形，所以GF∥HD，因為GF?平面PAD，HD?平面PAD，所以GF∥平面PAD.(2)如圖，Q為PC的中點．證明如下：因為CG∥BE且CG＝BE，所以四邊形BCGE為平行四邊形，故EG∥BC，因為EG?平面PBC，BC?平面PBC，所以EG∥平面PBC，又EG?平面EFQG，平面EFQG∩平面PBC＝FQ，所以EG∥FQ，又EG∥BC，所以FQ∥BC，因為F為PB的中點，所以Q為PC的中點．考點2平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例3】如圖，在六面體ABCDEF中，DE∥CF，四邊形ABCD是平行四邊形，DE＝2CF.(1)求證：平面ADE∥平面BCF；(2)若G是棱BC的中點，求證：AE∥FG.【證明】(1)由四邊形ABCD是平行四邊形，得BC∥AD，而AD?平面AED，BC?平面AED，則BC∥平面AED，由DE∥CF，CF?平面AED，DE?平面AED，得CF∥平面AED，又BC∩CF＝C，BC，CF?平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF.(2)延長EF，AG，與DC的延長線分別交于點O1，O2，由DE∥CF，DE＝2CF，得CO1＝CD，由BC∥AD，G是棱BC的中點，得CO2＝CD，因此點O1，O2重合，記為O，如圖所示，顯然平面AOE∩平面AED＝AE，平面AOE∩平面BCF＝FG，由(1)知，平面ADE∥平面BCF，所以AE∥FG.1．證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β).(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ).2．當(dāng)已知兩平面平行時，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，這兩條直線必須是兩平行平面與第三個平面的交線．【對點訓(xùn)練2】如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別是DD1，AB的中點．(1)若平面PQC與直線AA1交于點R，求eq\f(AR,A1R)的值；(2)若M為棱CC1上一點且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值．解：(1)如圖，因為平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且平面ABB1A1∩平面PQC＝RQ，平面CDD1C1∩平面PQC＝PC，所以RQ∥PC，易得△ARQ∽△DPC，則eq\f(AR,DP)＝eq\f(AQ,DC)，又DC＝a，DP＝eq\f(1,2)a，AQ＝eq\f(1,2)a，則eq\f(AR,\f(1,2)a)＝eq\f(\f(1,2)a,a)，即AR＝eq\f(1,4)a，A1R＝eq\f(3,4)a，所以eq\f(AR,A1R)＝eq\f(1,3).(2)如圖，取AA1的中點E，則R為AE的中點，連接BE，則BE∥RQ，又RQ?平面PCQ，BE?平面PCQ，則BE∥平面PCQ.又BM∥平面PCQ，BM，BE?平面BME，且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PCQ，設(shè)DD1∩平面BME＝F，連接EF，F(xiàn)M，因為平面BME∥平面PCQ，平面BME∩平面CDD1C1＝FM，平面PCQ∩平面CDD1C1＝PC，所以FM∥PC，又CM∥PF，則四邊形CPFM為平行四邊形，同理四邊形PREF也是平行四邊形，所以CM＝PF＝ER＝eq\f(1,4)a，所以λ＝eq\f(CM,CC1)＝eq\f(\f(1,4)a,a)＝eq\f(1,4).課時作業(yè)471．（5分）（2024·浙江杭州一模）已知兩條不同的直線a，b和平面α，a?α，b∥α，則“a∥b”是“a∥α”的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：因為b∥α，所以存在c?α使得b∥c，若a∥b，則a∥c，又a?α且c?α，所以a∥α，充分性成立；設(shè)β∥α，b?β，a?β，a∩b＝P，則有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立．故選A.2．（5分）已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是(C)A．若α⊥β，β⊥γ，則α∥γB．若m?α，n?β，m∥n，則α∥βC．若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥βD．平面α內(nèi)有不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β解析：若α⊥β，β⊥γ，則α與γ可能相交，故A錯誤；若m?α，n?β，m∥n，則α與β可能相交，故B錯誤；因為m?α，m∥β，所以由線面平行的性質(zhì)定理可知在β內(nèi)存在l?α，且l∥m，進而可得l∥α，因為m，n是異面直線，n?β，所以l與n相交，又n∥α，所以由面面平行的判定定理得α∥β，故C正確；平面α內(nèi)有不共線的三點到平面β的距離相等，則α與β可能相交，故D錯誤．故選C.3．（5分）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，M是A1D1的中點，點N在棱CC1上，CN＝2NC1，則平面AMN與側(cè)面BB1C1C的交線長為(C)A．eq\r(3) B．eq\f(\r(13),2)C．eq\f(2\r(10),3) D．eq\f(2\r(13),3)解析：如圖，分別取BC，B1C1的中點H，Q，連接BQ，C1H，則AM∥BQ∥C1H，且AM＝BQ＝C1H，在平面BB1C1C中，過點N作NP∥C1H交BC于P，連接AP，則NP為平面AMN與側(cè)面BB1C1C的交線，且NP∶C1H＝2∶3，由于C1H＝eq\r(CH2＋CCeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，∴NP＝eq\f(2\r(10),3).故選C.4．（5分）過四棱錐P-ABCD任意兩條棱的中點作直線，其中與平面PBD平行的直線有(C)A．4條 B．5條C．6條 D．7條解析：如圖，設(shè)E，F(xiàn)，G，H，I，J，M，N為所在棱的中點，則NE∥PB，且NE?平面PBD，PB?平面PBD，所以NE∥平面PBD，同理可得HE，NH，GF，MF，MG與平面PBD平行，由圖可知，其他的任意兩條棱的中點的連線與平面PBD相交或在平面PBD內(nèi)，所以與平面PBD平行的直線有6條．故選C.5．（5分）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別為棱AB，BC，DD1，D1C1的中點，下列判斷正確的是(D)A．直線AD∥平面MNEB．直線FC1∥平面MNEC．平面A1BC∥平面MNED．平面AB1D1∥平面MNE解析：過點M，N，E的截面如圖所示（H，I，J均為所在棱的中點），所以直線AD與其相交于點H，故A錯誤；直線FC1與直線IJ在平面BCC1B1上必定相交，故B錯誤；直線A1B與直線EI相交，故平面A1BC與平面MNE不平行，故C錯誤；易得直線AB1∥直線EI，直線AD1∥直線MH，又因為AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面MNE，故D正確．故選D.6．（5分）（2024·山東淄博二模）已知α，β，γ為三個不同的平面，a，b，l為三條不同的直線．若α∩β＝l，α∩γ＝a，β∩γ＝b，l∥γ，則下列說法正確的是(C)A．a(chǎn)與l相交 B．b與l相交C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)與β相交解析：l∥γ，l?平面α，α∩γ＝a，則l∥a，同理可得l∥b，故A，B錯誤；由l∥a，l∥b可得a∥b，故C正確；由l∥a，a?平面β，l?平面β，得a∥β，故D錯誤．故選C.7．（6分）（多選）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，D，E，F(xiàn)為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面DEF平行的是(AC)解析：對于A，∵AB∥DE，AB?平面DEF，DE?平面DEF，∴直線AB與平面DEF平行，故A正確；對于B，如圖1，作平面DEF交正方體的棱于點G，連接FG并延長，交AB的延長線于點H，則直線AB與平面DEF相交于點H，故B錯誤；對于C，∵AB∥DF，AB?平面DEF，DF?平面DEF，∴直線AB與平面DEF平行，故C正確；對于D，如圖2，連接AC，取AC的中點O，連接OD，又D為BC的中點，∴AB∥OD，∵OD與平面DEF相交，∴直線AB與平面DEF相交，故D錯誤．故選AC.8．（6分）（多選）如圖，向透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于水平地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個結(jié)論，其中正確的是(ACD)A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．棱A1D1始終與水面所在的平面平行D．當(dāng)容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值解析：由題圖，顯然A正確，B錯誤；因為A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG，又FG?平面EFGH，A1D1?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH（水面），故C正確；因為水是定量的（定體積V），所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)（定值），故D正確．故選ACD.9．（5分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為AA1的中點，點P在側(cè)面BCC1B1上運動，當(dāng)點P滿足條件P是CC1的中點（答案不唯一）時，A1P∥平面BCD.（填一個滿足題意的條件即可）解析：如圖，取CC1的中點P，連接A1P，∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為AA1中點，點P在側(cè)面BCC1B1上運動，∴當(dāng)點P滿足條件P是CC1中點時，A1P∥CD，∵A1P?平面BCD，CD?平面BCD，∴當(dāng)點P滿足條件P是CC1中點時，A1P∥平面BCD.（答案不唯一）10．（5分）已知平面α∥β∥γ（β在α，γ之間），直線l，m分別與α，β，γ相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn).若eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,3)，DF＝20，則EF＝15Ｗ．解析：分兩種情況：(1)直線l和m在同一平面內(nèi)，如圖1，連接AD，BE，CF，因為平面α∥β∥γ，所以AD∥BE∥CF，由平行線分線段成比例得eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)＝eq\f(1,3)，又DF＝20，所以EF＝15.(2)直線l和m不在同一平面內(nèi)，即l和m異面，如圖2，過D作DH∥AC，因為平面α∥β∥γ，所以AB＝DG，BC＝GH，GE∥HF，由平行線分線段成比例得eq\f(AB,BC)＝eq\f(DG,GH)＝eq\f(DE,EF)＝eq\f(1,3)，又DF＝20，所以EF＝15.綜上，EF＝15.11．（16分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C與AC1交于點O，D為棱BC上一點，D1為B1C1的中點，且A1B∥平面ADC1.求證：(1)A1B∥OD；(2)平面A1BD1∥平面ADC1.證明：(1)由題意，因為A1B∥平面ADC1，A1B?平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD.(2)由(1)可知A1B∥OD，又因為O為A1C的中點，所以D為BC的中點，即BD＝eq\f(1,2)BC，因為D1為B1C1的中點，所以D1C1＝eq\f(1,2)B1C1，又因為BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以BD＝D1C1，BD∥D1C1，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以BD1∥DC1，又因為DC1?平面ADC1，BD1?平面ADC1，所以BD1∥平面ADC1，又A1B∥平面ADC1，A1B∩BD1＝B，A1B?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以平面A1BD1∥平面ADC1.12．（17分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為PD，BC的中點，平面PAB∩平面PCD＝l.(1)求證：l∥AB.(2)求證：EF∥平面PAB.(3)在線段PD上是否存在一點G，使FG∥平面ABE？若存在，求出eq\f(PG,GD)的值；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB∥CD，又因為AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD，又因為平面PAB∩平面PCD＝l，AB?平面PAB，所以l∥AB.(2)證明：如圖，取PA的中點M，連接BM，EM，則EM∥AD，EM＝eq\f(1,2)AD，又BF∥AD，BF＝eq\f(1,2)AD，可知EM∥BF，EM＝BF，則四邊形BFEM為平行四邊形，可得EF∥BM，又EF?平面PAB，BM?平面PAB，所以EF∥平面PAB.(3)存在．如圖，取AD的中點N，連接FN，NG，則FN∥AB，因為FN?平面ABE，AB?平面ABE，所以FN∥平面ABE，又因為FG∥平面ABE，且FN∩FG＝F，F(xiàn)N，F(xiàn)G?平面FNG，所以平面FNG∥平面ABE，因為平面PAD∩平面ABE＝AE，平面PAD∩平面FNG＝NG，所以AE∥NG，因為N為AD的中點，所以G為ED的中點，即EG＝GD，又因為PE＝ED，所以eq\f(PG,GD)＝3.13．（5分）（2024·四川樂山三模）在三棱柱ABC-A1B1C1中，點D在棱BB1上，滿足VA-BCC1D＝eq\f(4,9)VABC-A1B1C1，點M在棱A1C1上，且eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(MC1,\s\up6(→))，點N在直線BB1上，若MN∥平面ADC1，則eq\f(NB,NB1)＝(D)A．2 B．3C．4 D．5解析：如圖所示．因為VA-A1B1C1＝eq\f(1,3)VABC-A1B1C1，所以VA-BCC1B1＝eq\f(2,3)VABC-A1B1C1，所以VA-BCC1D＝eq\f(4,9)VABC-A1B1C1＝eq\f(4,9)×eq\f(3,2)VA-BCC1B1＝eq\f(2,3)VA-BCC1B1，所以S梯形BCC1D＝eq\f(2,3)S四邊形BCC1B1，所以S△C1B1D＝eq\f(1,3)S四邊形BCC1B1，則eq\f(DB1,BB1)＝eq\f(2,3)，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為6，則DB1＝