第六章實(shí)數(shù)6.1平方根1．算術(shù)平方根（1）定義一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的__________．（2）表示方法a的算術(shù)平方根記為_(kāi)_________，讀作“根號(hào)a”，a叫被開(kāi)方數(shù)．（3）算術(shù)平方根的性質(zhì)①正數(shù)a的算術(shù)平方根為；②0的算術(shù)平方根是0，即=__________；③負(fù)數(shù)__________算術(shù)平方根．④算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：被開(kāi)方數(shù)a是非負(fù)數(shù)，即a≥0；算術(shù)平方根本身是非負(fù)數(shù)，即≥0．2．平方根（1）平方根的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的__________或二次方根．【注意】在這里，a是x的平方數(shù)，它的值是正數(shù)或零，因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都不可能是負(fù)數(shù)，即a≥0．（2）平方根的性質(zhì)①一個(gè)正數(shù)a有__________個(gè)平方根，其中一個(gè)是“”，另一個(gè)為“-”，它們互為相反數(shù)；②0的平方根是0；③負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．（3）開(kāi)平方的概念求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做__________．（4）利用平方根的定義解方程將各式轉(zhuǎn)化為等號(hào)的左邊是含x的一個(gè)式子的平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定義得到x=±或ax+b=±，進(jìn)而得到原方程的解．3．平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別（1）定義不同；（2）個(gè)數(shù)不同，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，而一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)；（3）表示方法不同，正數(shù)a的平方根表示為，正數(shù)a的算術(shù)平方根表示；（4）取值范圍不同，正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)，正數(shù)的平方根為一正一負(fù)．K知識(shí)參考答案：1．（1）算術(shù)平方根（2）（3）0，沒(méi)有2．（1）平方根（2）兩（3）開(kāi)平方K—重點(diǎn)算術(shù)平方根的概念及表示方法K—難點(diǎn)平方根的概念及其性質(zhì)K—易錯(cuò)混淆平方根和算術(shù)平方根一、求平方根和算術(shù)平方根若求一個(gè)算式的算術(shù)平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算術(shù)平方根，有時(shí)也可通過(guò)簡(jiǎn)單的變形化成一個(gè)正數(shù)的平方的形式，從而提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確率．【例1】9的算術(shù)平方根是A． B．-3 C．±3 D．3【答案】D【解析】∵32=9，∴9的算數(shù)平方根是3，故選D．【例2】（-2）2的算術(shù)平方根是A．2 B．±2 C．-2 D．【答案】A【解析】∵（-2）2=4，4的算術(shù)平方根是2，∴（-2）2的算術(shù)平方根是2，故選A．【名師點(diǎn)睛】求一個(gè)式子的算術(shù)平方根時(shí)，先把這個(gè)式子化簡(jiǎn)，再按算術(shù)平方根的定義求化簡(jiǎn)所得數(shù)的算術(shù)平方根即可．【例3】25的平方根是A．5 B．-5 C．± D．±5【答案】D【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根為±5，故選D．【例4】設(shè)a-3是一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，那么A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)>0 C．a(chǎn)>3 D．a(chǎn)≥3【答案】D【解析】∵是一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，∴，解得，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根的“非負(fù)性”，即非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根．【例5】下列說(shuō)法正確的是①–是2的一個(gè)平方根②–4的算術(shù)平方根是2③的平方根是±2④0沒(méi)有平方根A．①②③ B．①④ C．①③ D．②③④【答案】C【解析】①–是2的一個(gè)平方根，正確；②–4沒(méi)有算術(shù)平方根，錯(cuò)誤；③的平方根是±2，正確；④0有平方根，是0，錯(cuò)誤；故選C．【例6】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）=12．（2）=-0.9．（3）=．（4）=56．二、算術(shù)平方根非負(fù)性的應(yīng)用常用的三類非負(fù)性的表示形式：絕對(duì)值、偶次冪、算術(shù)平方根，當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為0，這一結(jié)論在解答許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中起著關(guān)鍵的作用．【例7】當(dāng)式子的值取最小值時(shí)，a的取值為A．0 B．? C．–1 D．1【答案】B【解析】∵2a+1≥0，∴當(dāng)式子的值取最小值時(shí)，2a+1=0，∴a的取值為–．故選B．【例8】若實(shí)數(shù)QUOTEx，y滿足，則xy的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】根據(jù)題意得：，解得，則xy=，故答案為：．【例9】x、y是實(shí)數(shù)，+＝0，則xy=__________．【答案】–6【解析】由題意可知：x+2=0，y–3=0，∴x=–2，y=3，∴xy=–6，故答案為：–6．三、利用平方根的知識(shí)解方程先將方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)式子的平方等于一個(gè)非負(fù)數(shù)的形式，再利用開(kāi)平方發(fā)求解．【例10】求下列各式中的x．（1）x2=17；（2）=0．【解析】（1）因?yàn)?，所以x=．（2），，x=．【例11】求下列各式中x的值：（1）4（x-1）2-16=0；（2）8（2x+1）3-1=0.【解析】（1）4（x-1）2-16=0，4（x-1）2=16，（x-1）2=4，x-1=±2，x=-1或x=3．（2）8（2x+1）2-1=0，8（2x+1）2=1，（2x+1）2=，2x+1=±，2x=-1±，x=-或x=-+．四、平方根和算術(shù)平方根定義和性質(zhì)的綜合運(yùn)用若一個(gè)數(shù)的平方根是它本身，則這個(gè)數(shù)是0；若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是它本身，則這個(gè)數(shù)是0或1．【例12】若一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是a，則比這個(gè)數(shù)大3的正數(shù)的平方根是A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是a，則這個(gè)正數(shù)為，則比這個(gè)數(shù)大3的正數(shù)的平方根是，故選C．【例13】已知2a-1的平方根是±3，的算術(shù)平方根是b，求．【解析】∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，∴a=5，∵的算術(shù)平方根是b，且=16，即16的算術(shù)平方根是b，∴b=4，∴==3．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查的是算術(shù)平方根和平方根的定義，由平方根和算術(shù)平方根的定義得到2a-1=9，b=4是解題的關(guān)鍵．【例14】已知9的算術(shù)平方根是a，b的平方是25，求ab的值．【名師點(diǎn)睛】本題目是一道考查平方根和算術(shù)平方根的問(wèn)題，注意一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)．1．1的平方根是A． B． C．1 D．±12．若=3，則a的值為A．3 B．±3 C． D．–33．的平方根是A． B． C． D．4．若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，那么這個(gè)正數(shù)是．A．3 B．9 C．25 D．495．如果x是4的算術(shù)平方根，那么x的平方根是A．4 B．2 C．± D．±46．估算＋的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在A．3到4之間 B．4到5之間 C．5到6之間 D．6到7之間7．已知a為實(shí)數(shù)，那么等于A．a(chǎn) B．-a C．-1 D．08．若2m-4與3m-1是同一個(gè)數(shù)的平方根，則m為A．-3 B．1 C．-3或1 D．-19．x的算術(shù)平方根是2，y是36的算術(shù)平方根，則x+2y的平方根是__________．10．若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是，則這個(gè)數(shù)是__________．11．如果某數(shù)的一個(gè)平方根是-6，那么這個(gè)數(shù)的另一個(gè)平方根是__________，這個(gè)數(shù)是__________．12．已知：若≈1.910，≈6.042，則≈__________．13．一個(gè)正方形的面積是6平方厘米，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于__________厘米．14．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．15．求下列各式中x的值：（1）9x2–25=0；（2）2（x+1）2–32=0．16．已知，求的平方根．17．已知x，y是實(shí)數(shù)，且（y-2）2與互為相反數(shù)，求x2+y3的平方根．18．一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，則它后面一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是A．x+1 B．x2+1 C．+1 D．19．估計(jì)+2的值A(chǔ)．在2和3之間 B．在3和4之間C．在4和5之間 D．在5和6之間20．如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，則=__________．21．求下列代數(shù)式的值（1）如果a2=4，b的算術(shù)平方根為3，求a+b的值．（2）已知x是25的平方根，y是16的算術(shù)平方根，且x<y，求x–y的值．22.（2018?銅仁市）9的平方根是A．3 B．–3 C．3和–3 D．8123.（2018?南京）的值等于A． B．– C．± D．24.（2018?杭州）下列計(jì)算正確的是A．=2 B．=±2 C．=2 D．=±225.（2018?賀州）4的平方根是A．2 B．–2 C．±2 D．1626.（2018?安順）的算術(shù)平方根是A．± B． C．±2 D．227.（2018?株洲）9的算術(shù)平方根是A．3 B．9 C．±3 D．±928.（2018?濟(jì)南）4的算術(shù)平方根是A．2 B．–2 C．±2 D．1．【答案】D【解析】1的平方根是±1．故選D．2．【答案】B【解析】因?yàn)?3，所以a2=9，所以a=±3．故選B．5．【答案】C【解析】因?yàn)閤是4的算術(shù)平方根，所以x=2，所以x的平方根=±，故選C．6．【答案】C【解析】9<15<16,3<<4，5<<6，故選C．7．【答案】D【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)a2≥0，根據(jù)二次根式的意義，-a2≥0，故只有a=0時(shí)，有意義，所以，=0，故選D．8．【答案】B【解析】因?yàn)榕c是同一個(gè)數(shù)的平方根，所以，解得，故選B．9．【答案】±4【解析】∵=2，∴x=4．∵=6，∴y=6，∴±，故答案為：±4．10．【答案】11【解析】∵一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是，∴這個(gè)數(shù)是11，故答案為：11．11．【答案】6；36【解析】∵某數(shù)的一個(gè)平方根是-6，∴這個(gè)數(shù)的另一個(gè)平方根為：6，這個(gè)數(shù)=，故答案為：6；36．12．【答案】604.2解析】若≈1.910，≈6.042，則≈604.2，故答案為：604.2．13．【答案】4【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x平方厘米，則x2=16，∵x>0，∴x=4，故答案為：4．14．【解析】（1）．（2）．（3）．（4）．15．【解析】（1）9x2–25=0，x2=，故x=±；（2）2（x+1）2–32=0則（x+1）2=16，故x+1=±4，解得：x=3或–5．16．【解析】根據(jù)平方根的意義可得，解得，然后代入原式可得，把代入，所以的平方根是．17．【解析】由題意得（y-2）2+=0，∴y-2=0，2x+2=0，∴x=-1，y=2，∴x2+y3=9，∴x2+y3的平方根為±3．18．【答案】D【解析】一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，則這個(gè)自然數(shù)是，則它后面一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是，故選D．19．【答案】C【解析】∵<<，即2<<3，∴4<+2<5，故選C．22.【答案】C【解析】9的平方根是±3