第六章實(shí)數(shù)6.3實(shí)數(shù)1．無理數(shù)（1）無限不循環(huán)小數(shù)叫做__________．如：，π，0.1225486…等．（2）判斷方法：①定義是判斷一個(gè)數(shù)是不是無理數(shù)的重要依據(jù)；②有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，而無理數(shù)則不能寫成分?jǐn)?shù)的形式（兩個(gè)整數(shù)的商）．（3）常見的無理數(shù)：①含有開不盡方的數(shù)的方根的一類數(shù)，如，，1+等；②含有π一類數(shù)，如5π，3+π等；③以無限不循環(huán)小數(shù)的形式出現(xiàn)的特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.2020020002…（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐漸加1）．2．實(shí)數(shù)的概念和分類（1）概念：有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為__________．（2）實(shí)數(shù)按定義分類：按正負(fù)分類：3．實(shí)數(shù)與數(shù)軸（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是__________的．即每個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)． （2）在數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)__________．4．相反數(shù)與絕對(duì)值相反數(shù)：數(shù)a的相反數(shù)是-a．學(xué)-科網(wǎng)絕對(duì)值：一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．即．5．實(shí)數(shù)的運(yùn)算實(shí)數(shù)運(yùn)算的順序是先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減．如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算．K知識(shí)參考答案：1．（1）無理數(shù)2．（1）實(shí)數(shù)3．（1）一一對(duì)應(yīng)（2）大4．K—重點(diǎn)無理數(shù)的概念；實(shí)數(shù)的概念及分類；實(shí)數(shù)的運(yùn)算K—難點(diǎn)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系K—易錯(cuò)對(duì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系理解不透一、無理數(shù)的判斷1．判斷一個(gè)數(shù)是不是無理數(shù)，必須看它是否同時(shí)滿足兩個(gè)條件：無限小數(shù)和不循環(huán)小數(shù)這兩者缺一不可．2．帶根號(hào)的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù)．【例1】在下列各數(shù)中：；0；3π；；；1.1010010001…，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】因?yàn)?；；是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，；3π；1.1010010001…是無限不循環(huán)小數(shù)，所以無理數(shù)有3個(gè)，故選C．二、實(shí)數(shù)的概念和分類1．實(shí)數(shù)的分類有不同的方法，但要按同一標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏．2．對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，應(yīng)先對(duì)某些數(shù)進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，然后根據(jù)最后結(jié)果進(jìn)行分類．【例2】在中，其中__________是整數(shù)，__________是無理數(shù)，__________是有理數(shù).【答案】0，；【例3】將這些數(shù)按要求填入下列集合中：，4，，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，．負(fù)數(shù)集合｛ …｝；分?jǐn)?shù)集合｛ …｝；非負(fù)整數(shù)集合｛ …｝；無理數(shù)集合｛ …｝．【解析】負(fù)數(shù)集合｛，-1，-|-5|，…｝；分?jǐn)?shù)集合｛，3.2…｝；非負(fù)整數(shù)集合｛4，0，-（-5）…｝；無理數(shù)集合｛，…｝．三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大?。?．?dāng)?shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大；2．正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小．【例4】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)可能是A． B．? C．–3.2 D．?【答案】B【解析】∵≈2.65，–≈–3.16，設(shè)點(diǎn)P表示的實(shí)數(shù)為x，由數(shù)軸可知，–3<x<–2，∴符合題意的數(shù)為?．故選B．【例5】和數(shù)軸上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)是A．自然數(shù) B．有理數(shù) C．無理數(shù) D．實(shí)數(shù)【答案】D【解析】數(shù)軸上的點(diǎn)不僅表示有理數(shù)，還表示所有的無理數(shù)，即實(shí)數(shù)與數(shù)軸上得點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，故選D．【例6】已知實(shí)數(shù)m、n在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列判斷錯(cuò)誤的是A．m<0 B．n＞0 C．n＞m D．n<m【答案】D【解析】由數(shù)軸上的點(diǎn)，得m<0<n，所以m<0，n＞0，n＞m都正確，即選項(xiàng)A，B，C判斷正確，選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤．故選D．【例7】已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為–3和，則A、B間的距離為__________．【答案】+3【解析】A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為–3和，則A、B間的距離為–（–3）=+3，故答案為：+3．【例8】如圖，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上，O為原點(diǎn)，且BO：OC：CA=2：1：5．（1）如果點(diǎn)C表示的數(shù)是x，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B表示的數(shù)；（2）如果點(diǎn)A表示的數(shù)比點(diǎn)C表示的數(shù)兩倍還大4，求線段AB的長(zhǎng)．【解析】（1）∵BO：OC：CA=2：1：5，點(diǎn)C表示的數(shù)是x，∴點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為：6x，–2x；（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)是y，則點(diǎn)A表示的數(shù)為6y，由題意得，6y=2y+4，解得：y=1，∴點(diǎn)C表示的數(shù)是1，點(diǎn)A表示的數(shù)是6，點(diǎn)B表示的數(shù)是–2，∴AB=8．四、相反數(shù)與絕對(duì)值求一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值與求一個(gè)實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值的意義是一樣的，實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a，一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．【例9】的相反數(shù)是A．- B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)相反數(shù)的定義可知：的相反數(shù)是，故選A．【例10】3-π的絕對(duì)值是A．3-π B．π-3 C．3 D．π【答案】B【解析】∵3?π<0，∴|3?π|=π?3，故選B．【例11】是的A．相反數(shù) B．倒數(shù) C．絕對(duì)值 D．算術(shù)平方根【答案】A【解析】與只是符號(hào)不同，所以它們是一對(duì)相反數(shù)，故選A．五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算1．在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算順序、運(yùn)算律等同樣適用．2．在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，當(dāng)遇到無理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似值時(shí)，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去代替無理數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算．【例12】計(jì)算下列各式：（1）；（2）．【解析】（1）原式．（2）原式=．【名師點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的加減混合運(yùn)算，關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)及同類二次根式的合并．1．在下列實(shí)數(shù)中，屬于無理數(shù)的是A．0 B． C．3 D．2．在每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．實(shí)數(shù)的值在A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間4．下列四個(gè)數(shù)中，最小的一個(gè)數(shù)是A． 5．的絕對(duì)值是A．3 B． 6．下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有①不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)；②無限小數(shù)都是無理數(shù)；③任何實(shí)數(shù)都可以進(jìn)行開立方運(yùn)算；④不是分?jǐn)?shù)．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)7．下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的一組是A．-|-2|與 B．-4與-C．-與|| D．-與8．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)可能是A． B． C． D．9．的相反數(shù)是__________，絕對(duì)值是__________．10．計(jì)算：__________．11．在數(shù)軸上離原點(diǎn)距離是的點(diǎn)表示的數(shù)是__________．12．化簡(jiǎn)：（1-）=__________，（1-）=__________．13．把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：，4，，，，0.15，-7.5，-，0，．①有理數(shù)集合：｛ …｝；②無理數(shù)集合：｛ …｝；③正實(shí)數(shù)集合：｛ …｝；④負(fù)實(shí)數(shù)集合：｛ …｝．14．已知：x是|-3|的相反數(shù)，y是-2的絕對(duì)值，求2x2-y2的值．15．已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，|c|=，求a-b+c的值．16．已知5+與5–的小數(shù)部分分別是a、b，則（a+b）（a–b）=__________．17．6–的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b．（1）a=__________，b=__________．（2）求3a–b的值．18．如圖，點(diǎn)A表示的數(shù)為–，一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右直爬2個(gè)單位后到達(dá)點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為n．（1）求n的值；（2）求|n+1|+（n+2–2）的值．19．（2018?鄂爾多斯）在，–2018，，π這四個(gè)數(shù)中，無理數(shù)是A． B．–2018 C． D．π20．（2018?遼陽）在實(shí)數(shù)–2，3，0，–中，最大的數(shù)是A．–2 B．3 C．0 D．–21．（2018?巴彥淖爾）的算術(shù)平方根的倒數(shù)是A． B． C． D．22．（2018?錦州）下列實(shí)數(shù)為無理數(shù)的是A．–5 B． C．0 D．π23．（2018?南通）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，O，C，D分別表示數(shù)–2，–1，0，1，2，則表示數(shù)2–的點(diǎn)P應(yīng)落在A．線段AB上 B．線段BO上 C．線段OC上 D．線段CD上24．（2018?荊州）如圖，兩個(gè)實(shí)數(shù)互為相反數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則下列說法正確的是A．原點(diǎn)在點(diǎn)A的左邊 B．原點(diǎn)在線段AB的中點(diǎn)處 C．原點(diǎn)在點(diǎn)B的右邊 D．原點(diǎn)可以在點(diǎn)A或點(diǎn)B上25．（2018?常州）已知a為整數(shù)，且，則a等于A．1 B．2 C．3 D．426．（2018?攀枝花）如圖，實(shí)數(shù)–3、x、3、y在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N、P、Q，這四個(gè)數(shù)中絕對(duì)值最小的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q27．（2018?賀州）在–1、1、、2這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是A．–1 B．1 C． D．228．（2018?寧夏）計(jì)算：|–|–的結(jié)果是A．1 B． C．0 D．–129．（2018?攀枝花）下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是A．0 B．–2 C． D．30．（2018?包頭）計(jì)算––|–3|的結(jié)果是A．–1 B．–5 C．1 D．531．（2018?福建）已知m=+，則以下對(duì)m的估算正確的A．2<m<3 B．3<m<4 C．4<m<5 D．5<m<632．（2018?湖北）點(diǎn)A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，其對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a，b，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．|b|<2<|a| B．1–2a＞1–2b C．–a<b<2 D．a(chǎn)<–2<–b33．（2018?北京）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是A．|a|＞4 B．c–b＞0 C．a(chǎn)c＞0 D．a(chǎn)+c＞034．（2018?南京）下列無理數(shù)中，與4最接近的是A． B． C． D．35．（2018?棗莊）實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列關(guān)系式不正確的是A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b<d D．c+d＞036．（2018?益陽）計(jì)算：|–5|–+（–2）2+4÷（–）．37．（2018?大慶）求值：（–1）2018+|1–|–．38．（2018?臺(tái)州）計(jì)算：|–2|+（–1）×（–3）1．【答案】B【解析】0、3、都是有理數(shù)，是無理數(shù)．故選B．2．【答案】C【解析】–，π，1.131331333133331……（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)3）是無理數(shù)，故選C．3．【答案】B【解析】∵1<<2，∴實(shí)數(shù)的值在：1和2之間．故選B．4．【答案】D【解析】∵7<8<9<π2，∴3<π，∴＞–π，∴最小的一個(gè)數(shù)是–π．故選D．5．【答案】A【解析】．–3的絕對(duì)值是3．故選A．6．【答案】C【解析】①不帶根號(hào)的數(shù)不一定是有理數(shù)，如π，錯(cuò)誤；②無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，錯(cuò)誤；③任何實(shí)數(shù)都可以進(jìn)行開立方運(yùn)算，正確；④不是分?jǐn)?shù)，正確；故選C．8．【答案】B【解析】由圖可知，點(diǎn)表示的數(shù)在到之間，故選B．9．【答案】【解析】的相反數(shù)是，絕對(duì)值是，故答案為：．10．【答案】【解析】=，故答案為．11．【答案】【解析】在數(shù)軸上離原點(diǎn)距離是QUOTE的點(diǎn)表示的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，分別是，故答案為：．12．【答案】【解析】（1-）=-3，（1-）=-1，故答案為-3；-1．13．【解析】有理數(shù)集合：｛4，，，，0.15，-7.5，0，…｝；無理數(shù)集合：｛，…｝；正實(shí)數(shù)集合：｛，4，，，，0.15，…｝；④負(fù)實(shí)數(shù)集合：｛-7.5，…｝．14．【解析】∵x是|?3|的相反數(shù)，∴x是3的相反數(shù)?3，即x=?3．∵y是?2的絕對(duì)值，∴y=2．∴．15．【解析】∵2<<3，∴a=2，b=-2，∵|c|=，∴c=±，當(dāng)c=時(shí)，a-b+c=4；當(dāng)c=-時(shí)，a-b+c=4-2．16．【答案】2–5【解析】∵5+與5–的小數(shù)部分分別是a、b，∴a=（5+）–7=–2，b=（5–）–2=3–，∴（a+b）（a–b）=（–2+3–）（–2–3+）=2–5．故答案為：2–5．17．【解析】（1）∵4<<9，∴2<<3．∴–2＞–＞–3．∴6–2＞6–＞6–3，∴4＞6–＞3．∴a=3，b=3–．（2）3a–b=3×3–（3–）=9–3+=6+．19．【答案】D【解析】在，–2018，，π這四個(gè)數(shù)中，無理數(shù)是π，故選．20．【答案】B【解析】–2<–<0<3，所以最大的數(shù)是3．故選B．21．【答案】C【解析】=4，則4的算術(shù)平方根為2，故2的倒數(shù)是：．故選C．22．【答案】D【解析】A、–5是整數(shù)，是有理數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、0是整數(shù)，是有理數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、π是無理數(shù)，選項(xiàng)正確；故選D．23．【答案】B【解析】2<<3，∴–1<2–<0，∴表示數(shù)2–的點(diǎn)P應(yīng)落在線段BO上，故選B．24．【答案】B【解析】∵點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為相反數(shù)，∴原點(diǎn)在到在線段AB上，且到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，∴原點(diǎn)在線段AB的中點(diǎn)處，故選B．25．【答案】B【解析】∵a為整數(shù)，且，∴a=2．故選B．26．【答案】B【解析】∵實(shí)數(shù)–3，x，3，y在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N、P、Q，∴原點(diǎn)在點(diǎn)M與N之間，∴這四個(gè)數(shù)中絕對(duì)值最小的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是點(diǎn)N，故選B．27．【答案】A【解析】在實(shí)數(shù)–1，1，，