2025年廣東石門中學自主招生試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的。）1.若集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\midax=1\}\)，且\(A\capB=\{2\}\)，則實數(shù)\(a\)的值為A.1B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)2.函數(shù)\(f(x)=\lg(x^2-2x+3)\)的定義域是A.\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)B.\([1,3]\)C.\((-\infty,1]\cup[3,+\infty)\)D.\((-\infty,3]\cup[1,+\infty)\)3.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，已知\(a_1=2\)，\(a_4=6\)，則該數(shù)列的通項公式為A.\(a_n=2n\)B.\(a_n=4n-2\)C.\(a_n=n+1\)D.\(a_n=2n-4\)4.若\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，且\(\theta\)為第二象限角，則\(\cos\theta\)的值為A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為偶數(shù)的概率是A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{1}{6}\)6.若\(z=1+i\)，則\(|z|^2\)的值為A.1B.2C.3D.47.在直角三角形\(ABC\)中，若\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，則\(\sinA\)的值為A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{3}\)8.若\(f(x)=x^3-ax^2+bx\)在\(x=1\)處取得極值，且極值為0，則\(a\)和\(b\)的值分別為A.\(a=3\)，\(b=-2\)B.\(a=2\)，\(b=-1\)C.\(a=3\)，\(b=-1\)D.\(a=2\)，\(b=2\)9.已知\(\triangleABC\)的三邊長分別為\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，則\(\triangleABC\)的面積是A.6B.6\(\sqrt{2}\)C.8D.1010.在等比數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)中，已知\(b_1=1\)，\(b_3=8\)，則該數(shù)列的前4項和為A.15B.16C.17D.18二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.若\(\tan\alpha=2\)，則\(\sin\alpha\cos\alpha\)的值為_______。2.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)，則\(f(2)+f(3)\)的值為_______。3.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(a_5=7\)，則該數(shù)列的公差\(d\)為_______。4.若\(\log_2x=3\)，則\(x\)的值為_______。5.在直角三角形\(ABC\)中，若\(\angleC=90^\circ\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，則\(\tanB\)的值為_______。三、解答題（本大題共5小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.(10分)已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間。2.(10分)在等比數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)中，已知\(b_1=2\)，\(b_4=32\)，求該數(shù)列的通項公式及前6項和。3.(10分)在\(\triangleABC\)中，已知\(a=5\)，\(b=7\)，\(\angleC=60^\circ\)，求\(c\)的值及\(\triangleABC\)的面積。4.(10分)若\(z_1=1+i\)，\(z_2=2-i\)，求\(z_1+z_2\)的模長，并寫出\(z_1-z_2\)的共軛復數(shù)。5.(10分)在直角坐標系中，點\(A(1,2)\)，點\(B(3,0)\)，求過點\(A\)且與直線\(AB\)垂直的直線方程。答案及解析一、單項選擇題1.C解析：集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}=\{1,2\}\)，因為\(A\capB=\{2\}\)，所以\(2\inB\)，即\(2a=1\)，解得\(a=\frac{1}{2}\)。2.D解析：函數(shù)\(f(x)=\lg(x^2-2x+3)\)的定義域為\(x^2-2x+3>0\)，解得\(x\in(-\infty,1]\cup[3,+\infty)\)。3.A解析：等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_4=a_1+3d\)，即\(6=2+3d\)，解得\(d=\frac{4}{3}\)，所以通項公式為\(a_n=2+(n-1)\cdot\frac{4}{3}=2n\)。4.B解析：在第二象限，\(\cos\theta=-\sqrt{1-\sin^2\theta}=-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=-\frac{4}{5}\)。5.B解析：拋擲兩次骰子，點數(shù)之和為偶數(shù)的情況有\(zhòng)((1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\)，共18種情況，總情況數(shù)為36，概率為\(\frac{18}{36}=\frac{1}{2}\)。6.C解析：\(|z|^2=|1+i|^2=1^2+1^2=2\)。7.A解析：在直角三角形中，\(\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}\)。8.A解析：\(f'(x)=3x^2-2ax+b\)，在\(x=1\)處取得極值，即\(f'(1)=0\)，解得\(3-2a+b=0\)，又\(f(1)=0\)，即\(1-2a+b=0\)，解得\(a=3\)，\(b=-2\)。9.A解析：使用海倫公式，\(s=\frac{3+4+5}{2}=6\)，面積\(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=6\)。10.A解析：等比數(shù)列中，\(b_3=b_1q^2\)，即\(8=1\cdotq^2\)，解得\(q=2\)，前4項和\(S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{1\cdot(16-1)}{2-1}=15\)。二、填空題1.\(\frac{2}{5}\)解析：\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin2\alpha}{2}=\frac{\tan\alpha}{2}=\frac{2}{5}\)。2.14解析：\(f(2)=2^2-2\cdot2+3=3\)，\(f(3)=3^2-2\cdot3+3=6\)，所以\(f(2)+f(3)=9\)。3.2解析：等差數(shù)列中，\(a_5=a_1+4d\)，即\(7=1+4d\)，解得\(d=2\)。4.8解析：\(\log_2x=3\)，即\(x=2^3=8\)。5.\(\frac{4}{3}\)解析：在直角三角形中，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，則\(\cosA=\frac{4}{5}\)，所以\(\tanB=\cotA=\frac{1}{\tanA}=\frac{4}{3}\)。三、解答題1.解析：\(f'(x)=3x^2-6x\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)，當\(x\in(-\infty,0)\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當\(x\in(0,2)\)時，\(f'(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當\(x\in(2,+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以\(f(x)\)的單調(diào)增區(qū)間為\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)，單調(diào)減區(qū)間為\((0,2)\)。2.解析：等比數(shù)列中，\(b_4=b_1q^3\)，即\(32=2\cdotq^3\)，解得\(q=4\)，通項公式為\(b_n=2\cdot4^{n-1}\)，前6項和\(S_6=\frac{2(4^6-1)}{4-1}=\frac{2\cdot4095}{3}=2730\)。3.解析：使用余弦定理，\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\frac{1}{2}=25+49-35=39\)，所以\(c=\sqrt{39}\)。面積\(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\cdot5\cdot7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\fr