第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖北省恩施州高一（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若α=3rad，則α的終邊位于平面直角坐標(biāo)系第幾象限(

)A.一 B.二 C.三 D.四2.設(shè)a,b為非零向量，若(a+A.a=?b B.a=b C.3.已知函數(shù)f(x)=cos(x+θ)，θ∈(?π,π)，若函數(shù)f(x)在x=π4處取得最小值，則A.?34π B.?π4 4.學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者服務(wù)協(xié)會(huì)共有“檢錄組”“計(jì)分組”“宣傳組”三個(gè)組別，其中“檢錄組”比“宣傳組”多8人，現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從中選出部分志愿者參加田徑比賽的志愿服務(wù)，如果選出的人中有3人來自“檢錄組”，4人來自“計(jì)分組”，1人來自“宣傳組”，那么學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者服務(wù)協(xié)會(huì)“計(jì)分組”的人數(shù)為(

)A.16 B.12 C.8 D.45.△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則BE=(

)A.?34AB+14AC B.6.△ABC中，cosA=13,O為△ABC的外心，則sinA.223 B.23 C.7.正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E是ABA.66 B.64 C.8.銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sinC?sinB=2sinBcosA，則sinBsinC的取值范圍為(

)A.(0,12) B.(13,1)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若復(fù)數(shù)z滿足(z?+1)i=zz??1A.?2 B.?1 C.0 D.110.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)A.f(x)=cos(2x?π3)

B.點(diǎn)(?11π12,0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.函數(shù)g(x)=sin(x+π6)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12，得到函數(shù)f(x)的圖象

D.函數(shù)f(x)的圖象向右平移A.f(x+π2)是偶函數(shù) B.f(x+π)=?f(x)

C.函數(shù)f(f(x))在(0,π)內(nèi)有零點(diǎn) D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知1+sin2α2cos2α+sin2α=1，則13.已知非零向量a=(m,0)，b=(1,1)，若b?a與b的夾角為π4，則14.記一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，a>b且a，b∈N?.若a+b=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=sin(x+π4)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)≤cos16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=1，AC=2，過點(diǎn)A作PB、PC的垂線，垂足分別為E、F．

(1)求證：AE⊥平面PBC；

(2)求PA與平面AEF所成角的正切值．17.(本小題15分)

某校高一年級(jí)學(xué)生參加了一學(xué)期內(nèi)平均每周球類運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))的調(diào)研，現(xiàn)隨機(jī)抽取40名學(xué)生的平均每周球類運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行數(shù)據(jù)整理，按[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]進(jìn)行分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)若將平均每周球類運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于或等于10小時(shí)的學(xué)生視為“球類運(yùn)動(dòng)愛好者”，已知該校高一年級(jí)有1200名學(xué)生，試估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生中“球類運(yùn)動(dòng)愛好者”人數(shù)；

(2)若小明的平均每周球類運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)為10.5小時(shí)，試估計(jì)其是否超過該年級(jí)80%的學(xué)生；

(3)若甲，乙，丙三位同學(xué)的平均每周球類運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)分別為8?m，m+3，3m+1，當(dāng)其方差s2最小時(shí)，求m的值．18.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C,m=(2sinA+B2,cosA?B2),|m|=62．

(1)求tanAtanB的值；

(2)求C的取值范圍；19.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=BC=AD=2．

(1)若∠BAD=π3,AB=CD，記三棱錐P?ABC外接球的球心為O．

(i)求證：OD//平面PAB；

(ii)求三棱錐P?ABC外接球的表面積．

(2)記∠BAD=θ,θ∈(0,π2)

參考答案1.B

2.D

3.D

4.A

5.A

6.C

7.C

8.D

9.CD

10.ACD

11.ABD

12.1

13.1

14.34

15.(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(x+π4)，

由π2+2kπ≤x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z，

解得π4+2kπ≤x≤5π4+2kπ,k∈Z；

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[π4+2kπ,5π4+2kπ],k∈Z；

由?π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，

解得?3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ,k∈Z．

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[?3π16.(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥PA．

又因?yàn)锽C⊥AB，PA，AB?平面PAB，且PA∩AB=A，

所以BC⊥平面PAB，

又因?yàn)锳E?平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，PB，BC?平面PBC，且PB∩BC=B，

所以AE⊥平面PBC．

(2)由(1)得，AE⊥平面PBC，又PC?平面PBC，

所以AE⊥PC

又因?yàn)锳F⊥PC，AE，AF?平面AEF，且AE∩AF=A，

所以PC⊥平面AEF，

所以PA在平面AEF內(nèi)的射影為AF，

所以PA在平面AEF成角為∠PAF，

又AF⊥PF，根據(jù)△PAC面積可得，PA×AC×12=AF×PC×12，

即1×2×12=5×AF×12，

解得AF=255，

所以在17.(1)由頻率分布直方圖，可得(0.025+0.0625+0.1125+0.15+a+0.05)×2=1，解得a=0.1．?

平均每周球類運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于或等于10小時(shí)的人數(shù)為(0.1+0.05)×2×40=12．

估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生中“球類運(yùn)動(dòng)愛好者”人數(shù)為1200×1240=360．

(2)由題意，需要確定平均每周球類運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的80%分位數(shù)，

因?yàn)?0.025+0.0625+0.1+0.1125+0.15)×2=0.7<0.8，

0.7+0.1×2=0.9>0.8，故80%分位數(shù)位于[10,12)內(nèi)．?

所以10+2×0.8?0.70.9?0.7=11，所以80%分位數(shù)為11．?

因?yàn)?0.5<11，所以沒有超過該年級(jí)80%的學(xué)生．

(3)由題意，甲，乙，丙三位同學(xué)球類運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)平均數(shù)為x?=8?m+m+3+3m+13=4+m．

s218.解(1)因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)角A,B,C,m=(2sinA+B2,cosA?B2),|m|=62，

所以m2=|m|2=32，即(2sinA+B2)2+(cosA?B2)2=32，

即2sin2A+B2+cos2A?B2=1?cos(A+B)+1+cos(A?B)2=32，

整理可得2cos(A+B)=cos(A?B)，

則2(cosAcosB?sinAsinB)=cosAcosB+sinAsinB，即cosAcosB=3sinAsinB．

化簡(jiǎn)整理可得“tanAtanB=sinAsinBcosAcosB=13；

(2)在△ABC中，tanC=?tan(A+B)=?tanA+tanB1?tanAtanB=?32(tanA+tanB)，

由(1)知tanAtanB=13>0，且A，B是△ABC的內(nèi)角，

可得tanA>0，tanB>0，

所以tanA+tanB≥2tanAtanB=213=19.(1)(i)證明：因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA=PB，

作PE⊥AB，則E為AB的中點(diǎn)，且PE⊥平面ABCD．

因?yàn)锳B=CD，AB=BC=AD=2.所以底面四邊形ABCD為菱形，

因?yàn)椤螧AD=π3，所以△ABD為等邊三角形，AC=2×1×3=23，

設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，由正弦定理得ACsin∠ABC=23sin2π3=2r，

解得r=2，設(shè)△ABC外接圓圓心為O1，則O1A=O1B=O1C=r=2．

又DA=DB=DC=2，從而O1與D重合，即D為△ABC外接圓圓心．

由三棱錐P?ABC的外接球的性質(zhì)，即OD⊥平面ABCD，又PE⊥平面A