第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省秦皇島三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=?1+ii的虛部為(

)A.1 B.?1 C.i D.?i2.在一次數(shù)學(xué)測試中，有8位同學(xué)的分數(shù)分別是：115，118，125，130，130，132，136，140，則這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是(

)A.130 B.132 C.134 D.1363.已知圓錐的母線長為2，高為3，則圓錐的全面積為(

)A.5π B.4π C.3π D.2π4.如圖，在平行四邊形ABCD中，連結(jié)BD，下列運算正確的是(

)A.AB+BD=DA

B.BA+BC5.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B=45°，a=3，c=2，則b=(

)A.2 B.5 C.17 6.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球，3個黃球，從中隨機摸出1個球，則摸到紅球的概率為(

)A.25 B.35 C.6257.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列四個命題正確的是(

)A.若m⊥α，m⊥β，則α//β B.若m//α，n//α，則m//n

C.若m⊥α，m⊥n，則n//α D.若α⊥β，m⊥β，則m//α8.某校組織50名學(xué)生參加慶祝中華人民共和國成立75周年知識競賽，經(jīng)統(tǒng)計這50名學(xué)生的成績都在區(qū)間[50,100]內(nèi)，按分數(shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖(不完整)，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是(

)A.成績在[80,90)上的人數(shù)最多 B.成績不低于70分的學(xué)生所占比例為70%

C.50名學(xué)生成績的平均分小于中位數(shù) D.50名學(xué)生成績的極差為50二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=(1?i)(6+i)，則(

)A.z?=7+5i B.|z?2|=52

C.z+7為純虛數(shù)10.新高一學(xué)生會對物理、歷史2門課程進行選科，每位同學(xué)從中選擇1門課程學(xué)習.現(xiàn)對該校2000名學(xué)生的選科情況進行了統(tǒng)計，如圖①，并用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取5%的學(xué)生對所選課程進行了滿意率調(diào)查，如圖②．

則下列說法正確的是(

)A.滿意率調(diào)查中抽取的樣本容量為2000

B.該校學(xué)生中對物理課程滿意的人數(shù)約為720

C.若抽取的學(xué)生中對歷史課程滿意的人數(shù)為32，則a=80

D.抽取的學(xué)生中對物理課程滿意的人數(shù)多于對歷史課程滿意的人數(shù)11.如圖，三棱臺ABC?A′B′C′的側(cè)棱長均相等，△ABC和△A′B′C′都是等邊三角形，A′B′=2，AB=4，AA′=2，則(

)A.直線AA′與直線CC′所成的角為π3

B.直線AB與直線A′C′所成的角為π3

C.三棱臺ABC?A′B′C′的體積為22

D.三棱臺三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量AB=(2,2)，AC=(?1,k?3)，若A，B，C三點共線，則k=______．13.甲、乙兩人向同一目標各射擊1次，已知甲、乙命中目標的概率分別為34，45，則目標至少被擊中1次的概率為______．14.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B=60°，a+c=6，b=23，則△ABC的面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

從參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率直方圖如圖所示.觀察圖形，回答以下問題：

(1)[79.5,89.5]這一組的頻率和頻數(shù)分別為多少？

(2)估計該次環(huán)保知識競賽的及格率(60分以上為及格)；

(3)估計這組數(shù)據(jù)的80百分位數(shù)．16.(本小題15分)

已知向量a=(1,4)，b=(2,3)．

(Ⅰ)求a+2b的坐標；

(Ⅱ)求|a|；

(Ⅲ)若17.(本小題15分)

為了應(yīng)對日益嚴重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進行氣象觀測．如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進行彈射實驗，觀測點A，B兩地相距100米，∠BAC=60°在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚217秒．在A地測得該儀器至最高點H處的仰角為30°．

(1)求A，C兩地的距離；

(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC(已知聲音的傳播速度為340米∕18.(本小題17分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點P為棱DD1的中點．

(1)證明：BD1//平面19.(本小題17分)

DeepSeek是一款人工智能學(xué)習輔助工具，某高校為了解學(xué)生的使用情況，統(tǒng)計了該校學(xué)生在某日使用DeepSeek的時間(單位：小時)，整理數(shù)據(jù)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該校學(xué)生當日使用DeepSeek的時間的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；

(2)若使用時間不小于2小時的用戶稱為“DeepSeek資深用戶”，其中使用時間在[2,2.5)內(nèi)的用戶稱為“青銅用戶”，使用時間在[2.5,3)內(nèi)的用戶稱為“鉑金用戶”.為了進一步了解DeepSeek對學(xué)習的輔助效果，該校新聞中心采用分層抽樣的方法在“DeepSeek資深用戶”中抽取了6名學(xué)生進行問卷調(diào)查，并從這6名學(xué)生中隨機選擇2名學(xué)生進行訪談，求這2名學(xué)生中恰好有一名是“青銅用戶”的概率．

答案解析1.【答案】A

【解析】解：z=?1+ii=(?1+i)ii?i=1+i，虛部為1．

故選：A．2.【答案】C

【解析】解：數(shù)據(jù)115，118，125，130，130，132，136，140共8個數(shù)，

因為，

所以75百分位數(shù)是第6與第7個數(shù)的平均數(shù)，等于132+1362=134．

故選：C．

應(yīng)用百分位數(shù)的定義計算求解即可．

3.【答案】C

【解析】解：由題意圓錐的母線長為2，高為3，

可得圓錐的底面半徑為r=22?(3)2=1，

則圓錐的全面積為4.【答案】B

【解析】解：AB+BD=AD，A錯誤；

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則BA+BC=BD，B正確；

AB?AD=DB，C錯誤；

BD?BA=AD，D錯誤．

故選：5.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，B=45°，a=3，c=2，

由余弦定理得b2=a2+c2?2accosB=9+2?2×3×2×26.【答案】A

【解析】解：由題意，袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球，3個黃球，

所以從中隨機摸出1個球，摸到紅球的概率為25．

故選：A．

根據(jù)古典概型的運算公式即可得到答案．

7.【答案】A

【解析】解：若m⊥α，m⊥β，則α/?/β，所以A選項正確；

若m/?/α，n/?/α，則m/?/n或m與n異面，所以B選項錯誤；

若m⊥α，m⊥n，則n/?/α或n?α，所以C選項錯誤；

若α⊥β，m⊥β，則m/?/α或m?α，所以D選項錯誤．

故選：A．

由線面，面面的位置關(guān)系逐項判斷可得．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．8.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意可得[70,80)這一組的頻率為1?0.1?0.2?0.3?0.2=0.2，

∴成績在[80,90)上的人數(shù)最多，∴A選項正確；

∴成績不低于70分的學(xué)生所占比例為(0.2+0.3+0.2)×100%=70%，∴B選項正確；

∵50名學(xué)生成績的平均分估計為：

55×0.1+65×0.2+75×0.2+85×0.3+95×0.2=78分；

∵前幾組的頻率依次為0.1，0.2，0.2，

50名學(xué)生成績的中位數(shù)估計為80分，

∴估計50名學(xué)生成績的平均分小于中位數(shù)，∴C選項正確；

根據(jù)題意可估計這個50名學(xué)生成績的極差的范圍為[30,50]，∴D選項錯誤．

故選：D．

根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，平均數(shù)與中位數(shù)的概念，極差的概念，針對各個選項即可分別求解．

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，平均數(shù)與中位數(shù)的概念，極差的概念，屬中檔題．9.【答案】ABD

【解析】解：∵z=(1?i)(6+i)=6+1?6i+i=7?5i，

∴z?=7+5i，故A正確；

|z?2|=|5?5i|=52+52=52，故B正確；

z+7=7?5i+7=14?5i不是純虛數(shù)，故C錯誤；

z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(7,?5)，位于第四象限，故10.【答案】BC

【解析】解：已知高一學(xué)生會對物理、歷史2門課程進行選科，每位同學(xué)從中選擇1門課程學(xué)習

該調(diào)查的總體容量為2000，其中學(xué)習物理有2000×60%=1200人，學(xué)習歷史有2000×40%=800人；

對于A：滿意率調(diào)查中抽取的樣本容量為2000×5%=100，故A錯誤；

對于B：該校學(xué)生中對物理課程滿意的人數(shù)約為1200×60%=720，故B正確；

對于C：按比例分配進行分層隨機抽樣時，

學(xué)習物理有100×60%=60人，學(xué)習歷史的有100×40%=40人，

若抽取的學(xué)生中對歷史課程滿意的人數(shù)為32，則a=3240×100=80，故C正確；

對于D：因為a≤100，

所以抽取的學(xué)生中對歷史課程滿意的人數(shù)為40×a%≤40，

又因為抽取的學(xué)生中對物理課程滿意的人數(shù)為60×60%=36，

所以抽取的學(xué)生中對物理課程滿意的人數(shù)、對歷史課程滿意的人數(shù)無法比較，

故D錯誤．

故選：BC．

根據(jù)樣本容量的定義可判斷選項A；利用樣本估計總體可判斷選項B；先求出樣本中學(xué)習歷史的人數(shù)，再根據(jù)滿意度的求解公式即可判斷選項C；先根據(jù)a的取值范圍求出樣本中對歷史滿意的人數(shù)范圍，再求出樣本中對物理滿意的人數(shù)，進行比較即可判斷選項D11.【答案】BD

【解析】解：根據(jù)題意，將三棱臺ABC?A′B′C′還原成三棱錐P?ABC，

則△PAC中，AC//A′C′，AC=2A′C′，可得PC=PA=2AA′=22，

所以PC2+PA2=AC2=16，可得∠APC=π2，

即直線AA′與直線CC′所成的角為π2，可知A項不正確；

根據(jù)AC//A′C′，可知∠BAC(或補角)就是直線AB與直線A′C′所成的角，

等邊△ABC中，∠BAC=π3，所以直線AB與直線A′C′所成的角為π3，B項正確；

由A項的分析，可知PA=PB=PC=22，∠APB=∠BPC=∠APC=π2，

根據(jù)PA、PB、PC兩兩垂直，可得VP?ABC=VC?PAB=13S△PAB?PC=13?12?PA?PB?PC=823，

同理可得VP?A′B′C′=13?112.【答案】2

【解析】解：由題意，AB//AC，

又AB=(2,2)，AC=(?1,k?3)，

所以2×(k?3)?2×(?1)=0，解得k=2．

故答案為：2．13.【答案】1920【解析】解：甲、乙兩人向同一目標各射擊1次，

甲、乙命中目標的概率分別為34，45，

方法一：設(shè)“甲命中目標”為事件A，“乙命中目標”為事件B，

則P(A)=34，P(B)=45，

∴目標至少被擊中1次的概率為：

P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)=34+45?34×45=1920；

方法二：設(shè)“甲命中目標”為事件A，“乙命中目標”為事件B，

則P(A)=34，P(B)=45，P(A?)=14.【答案】2【解析】解：由a+c=6得，(a+c)2=36，

所以2ac+a2+c2=36，

因為B=60°，

由余弦定理得，cosB=a2+c2?b22ac=36?2ac?122ac15.【答案】頻率為0.25，頻數(shù)為15；

75%；

83.5．

【解析】(1)根據(jù)題目容易知，79.5?89.5這一組數(shù)據(jù)的頻率為0.025×(89.5?79.5)=0.25，

79.5?89.5這一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為60×0.25=15；

(2)及格率為1?0.01×10?0.015×10=75%；

(3)因為數(shù)據(jù)落在[39.5,79.5)的頻率為0.7，

數(shù)據(jù)落在[79.5,89.5)的頻率為0.25．

設(shè)這組數(shù)據(jù)的80百分位數(shù)為x，

所以x∈[79.5,89.5)，

所以x?79.589.5?x=0.10.15，故x=83.5，

即這組數(shù)據(jù)的80百分位數(shù)為83.5．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)即可求解，

(2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)即可求解頻率得解，

16.【答案】(Ⅰ)(5，10)；

(Ⅱ)17；

(Ⅲ)【解析】(Ⅰ)向量a=(1,4)，b=(2,3)．

則a+2b=(1,4)+2×(2,3)=(5,10)；

(Ⅱ)a=(1,4)，則|a|=12+42=1+16=17；

(Ⅲ)c=λa?b=λ(1,4)?(2,3)=(λ?2，4λ?3)，17.【答案】解：(1)由題意，設(shè)AC=x，則

∵在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚217秒

∴BC=x?217×340=x?40，

在△ABC內(nèi)，由余弦定理：BC2=BA2+CA2?2BA?CA?cos∠BAC，

即(x?40)2=x【解析】(1)利用在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚217秒，求出BC，利用余弦定理，即可求得結(jié)論；

(2)在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，利用正弦函數(shù)，可得結(jié)論．

18.【答案】證明見解析；

π6；

5【解析】(1)證明：設(shè)AC∩BD=O，連接PO，

在△BDD1中，點P為棱DD1的中點，O為BD的中點，所以PO//BD1，

因為BD1?平面PAC，PO?平面PAC，所以BD1//平面P