第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省漳州市華安一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?1<x≤3,x∈N?}，B={x|x<5}，則A∩B=A.{x|?1<x≤5} B.{x|?1<x≤3} C.{0,1,2,3} D.{1,2,3}2.命題“?x∈N，x2>1”的否定是(

)A.?x?N，x2<1 B.?x∈N，x2<1

C.?x?N，x23.已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表，若由表中數(shù)據(jù)得到回歸直線方程為y=?3.2x+a，則x=4x44.555.56y76421A.0.2 B.?0.3 C.0.4 D.?0.24.在三棱錐P?ABC中，M是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且9PM=8PA+tPBA.?1 B.1 C.2 D.35.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如右表，若隨機(jī)變量Y=|X?2|，則P(Y=2)=(

)X01234P0.20.10.10.3mA.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.56.已知隨機(jī)事件A、B，P(A)=12，P(B)=13，P(A|B)=1A.16 B.13 C.237.若函數(shù)f(x)=a3x3+x2+ax,x<1A.(?∞,0) B.(?∞,0]∪[1,4] C.[1,4] D.(?∞,0)∪(1,4]8.已知函數(shù)f(x)=3x3?2x+ex?e?xA.[?3,1] B.[?1,3]

C.(?∞,?1]∪[3,+∞) D.(?∞,?3]∪[1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.若甲、乙、丙三個(gè)人獨(dú)立破譯密碼機(jī)的概率分別為12、13、14，則密碼機(jī)被破譯的概率為124

B.若隨機(jī)變量X～N(5,σ2)且P(X<m)=P(X>n)，則m2+n2的最小值為50

C.若隨機(jī)變量X～H(7,4,5)，則10.已知函數(shù)f(x)=x3?3x+1，則A.y=f(x)關(guān)于(0,1)對(duì)稱

B.f(x)的極小值點(diǎn)為(1,?1)

C.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

D.直線y=?3x+1是曲線y=f(x)的一條切線11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1DA.直線AD1與A1C1所成的角為60°

B.直線AC1與平面AA1D1D所成角的余弦值為63

C.點(diǎn)A1到平面AC12.已知函數(shù)f(x)=ln(2x?3)?ln(ax?3)為奇函數(shù)不為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(?1,1,1)，B(?2,0,1)，P(0,1,3)，則P到直線AB的距離為_(kāi)_____．14.?x1，x2∈[1,2]，且x1≠四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=ex(x2+a)(a<0)在x=?3處取得極值．

(1)求a的值；

(2)16.(本小題15分)

目前，江蘇省城市足球聯(lián)賽簡(jiǎn)稱“蘇超”戰(zhàn)火正燃.某大型企業(yè)工會(huì)為了豐富員工的業(yè)余體育文化生活，傳播足球運(yùn)動(dòng)文化，組建了足球社團(tuán).企業(yè)為了解員工喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女員工各50喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男m20女15n合計(jì)100(1)求m，n的值，試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法判斷，能否有99.5%的把握，認(rèn)為該企業(yè)員工喜歡足球與性別有關(guān)？

(2)2025年7月5日，“蘇超”聯(lián)賽將在南京奧體中心體育場(chǎng)迎來(lái)常規(guī)賽第6輪比賽.該企業(yè)足球社團(tuán)計(jì)劃賽事當(dāng)天組織部分“球迷”現(xiàn)場(chǎng)觀賽，先從這100名參與調(diào)查且喜歡足球的員工中按性別用分層抽樣的方法抽取6人，然后再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人擔(dān)任現(xiàn)場(chǎng)觀賽“球迷”，記抽出的3人中女性的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：χ2=n(ad?bcP(0.10.050.010.0050.001α2.7063.8416.6357.87910.82817.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=1，PA=2，AB⊥BC．

(1)求二面角C?PD?A的余弦值；

(2)點(diǎn)M在線段AP上，直線CM與平面PAD所成角的正弦值為63，求點(diǎn)M到平面PCD的距離．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ax?1?lnx(a∈R)，

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)=?1有兩個(gè)解，求a的范圍；

(3)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸垂直，不等式f(x)≥bx?2對(duì)?x∈(0,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．19.(本小題17分)

教育部印發(fā)的《進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》中提出，中小學(xué)校要保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間，每天統(tǒng)一安排30分鐘的大課間體育活動(dòng).一學(xué)校某體育項(xiàng)目測(cè)試有40%的人滿分，而該校有20%的學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)兩個(gè)小時(shí)，這些人體育項(xiàng)目測(cè)試滿分率為50%．

(1)從該校隨機(jī)抽取三人，三人中體育項(xiàng)目測(cè)試相互獨(dú)立，求三人中滿分人數(shù)的分布列；

(2)現(xiàn)從每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)兩個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，求他體育項(xiàng)目測(cè)試滿分的概率；

(3)測(cè)試前甲、乙、丙三人傳球做熱身訓(xùn)練，每次傳球，傳球者等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，第1次由甲將球傳出，求第n次傳球后球在乙手中的概率．

答案解析1.【答案】D

【解析】解：B={x|x<5}，即所有小于5的實(shí)數(shù)．

A={x|?1<x≤3,x∈N?}，N?表示正整數(shù)．滿足?1<x≤3的正整數(shù)為1，2，3，則A={1,2,3}．

所以A∩B=A={1,2,3}．

故選：D．

根據(jù)定義集合A中的元素是滿足?1<x≤3的正整數(shù)，即為1，2，3，集合B中元素是所有小于5的實(shí)數(shù)，集合A、B的交集中的元素需同時(shí)屬于A、B，故A2.【答案】D

【解析】解：命題?x∈N，x2>1的否定為命題?x∈N，x2≤1．

故選：D．3.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閤?=15×(4+4.5+5+5.5+6)=5，y?=15×(7+6+4+2+1)=4，

則樣本中心點(diǎn)為(5,4)，

代入y=?3.2x+a，可得a?=4+5×3.2=20，

所以回歸直線方程為y?=?3.2x+20，

當(dāng)x=4時(shí)，y?=?3.2×4+20=7.2，

所以4.【答案】A

【解析】解：PM=89PA+t9PB+29PC，

因?yàn)镸是平面ABC內(nèi)的一點(diǎn)，即A，B，C，M四點(diǎn)共面，所以5.【答案】D

【解析】解：由題意可得0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，解得m=0.3．

因?yàn)閅=|X?2|，所以P(Y=2)=P(X=0)+P(X=4)=0.2+m=0.2+0.3=0.5．

故選：D．

根據(jù)分布列的性質(zhì)，求得m，再根據(jù)X，Y的關(guān)系可得P(Y=2)=P(X=0)+P(X=4)，結(jié)合分布列即可求得結(jié)果．

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】C

【解析】解：因?yàn)镻(A)=12，P(B)=13，P(A|B)=12，

所以P(AB)=P(B)?P(A|B)=13×12=16，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=137.【答案】C

【解析】解：函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，

則f′(x)≥0在R上恒成立，

當(dāng)x<1時(shí)，f(x)=a3x3+x2+ax，

令f′(x)=ax2+2x+a≥0恒成立，

則a≥?2xx2+1恒成立，

令g(x)=?2xx2+1，x<1，g′(x)=2x2?2(x2+1)2=2(x?1)(x+1)(x2+1)2，

當(dāng)x<?1時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)?1<x<1時(shí)，g′(x)<0，

所以g(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞增，在(?1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，

故g(x)max=g(?1)=1，

所以a≥1；

當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=4x+ax，求導(dǎo)得f′(x)=4x2?ax2，

令f′(x)=0，由于a≥1，解得x=8.【答案】A

【解析】解：令g(x)=f(x)?1=3x3?2x+ex?e?x，則g(x)為奇函數(shù)．

g′(x)=9x2?2+ex+e?x，根據(jù)均值不等式ex+e?x≥2，且9x2?2≥?2，故g′(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，g′(0)=0，

故g(x)在R上單調(diào)遞增．

不等式f(2a?3)+f(a2)≤2可化為g(2a?3)+g(a2)+2≤2?g(2a?3)+g(a2)≤0，

根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)9.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，破譯密碼機(jī)的對(duì)立事件為沒(méi)破譯成功，且沒(méi)破譯成功的概率為(1?12)×(1?13)×(1?14)=14，則破譯密碼的概率為1?14=34，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若X～N(5,σ2)且P(X<m)=P(X>n)，則m+n=10，

由基本不等式，2(m2+n2)≥(m+n)2=100，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=5時(shí)取等號(hào)，

則m2+n2≥50，即則m2+n2的最小值為50，故B正確；

對(duì)于C，隨機(jī)變量X～H(7,4,5)，則其期望10.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，f(x)=x3?3x+1，則f(x)+f(?x)=x3?3x+1?x3+3x+1=2，所以函數(shù)f(x)關(guān)于(0,1)對(duì)稱，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，f′(x)=3x2?3=3(x+1)(x?1)，

所以x<?1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；?1<x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

所以f(x)的極小值為f(1)=?1，

故f(x)的極小值點(diǎn)為x=1，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，由上分析可知，f(x)在x=?1處取得極大值f(?1)=3>0，極小值f(1)=?1<0，

所以f(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，令f′(x)=3x2?3=?3，解得x=0，

所以斜率為?3的切線過(guò)切點(diǎn)(0,1)，則切線方程為y?1=?3(x?0)，即y=?3x+1，故D選項(xiàng)正確．

11.【答案】ABC

【解析】解：由題意正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，C(0,1,0)

對(duì)于選項(xiàng)A，AD1=(?1,0,1)，A1C1=(?1,1,0)，

cos<AD1,A1C1>=AD1?A1C1|AD1||A1C1|=(?1,0,1)?(?1,1,0)|(?1,0,1)|×|(?1,1,0)|=12×2=12，

直線AD1與A1C1所成角的范圍為(0,π2]，故直線AD1與A1C1所成角為60°，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，AC1=(?1,1,1)，顯然DC=(0,1,0)是平面AA1D1D的一個(gè)法向量，設(shè)直線AC1與平面AA1D1D所成角為θ，

所以sinθ=|cos<AC1,12.【答案】?2

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=ln(2x?3)?ln(ax?3)，

則f(?x)=ln(?2x?3)?ln(?ax?3)，

若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)+f(?x)=0，

即ln(2x?3)?ln(ax?3)+ln(?2x?3)?ln(?ax?3)=ln(2x?3)(?2x?3)?ln(ax?3)(?ax?3)=0，

變形可得：ln(2x?3)(?2x?3)=ln(ax?3)(?ax?3)，

則有l(wèi)n(?4x2+9)=ln(?a2x2+9)，變形可得a2=4，即a=±2，

當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=ln(2x?3)?ln(2x?3)=0為常函數(shù)，

此時(shí)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故不符合題意，

13.【答案】3【解析】解：設(shè)直線AB的單位方向向量為u，

∵點(diǎn)A(?1,1,1)，B(?2,0,1)，P(0,1,3)，

∴AB=(?1,?1,0)，AP=(1,0,2)，∴|AB|=2，|AP|=5，

∴u=AB|AB|=(?14.【答案】m∈[e【解析】解：設(shè)x1<x2(?x1,x2∈[1,2])，x1ex2?x2ex1x2?x1<m可變形為x1ex2?x2ex1<m(x2?x1)?ex2+mx2<ex1+mx1，

令f(x)=ex+mx，那么不等式等價(jià)于f(x2)<f(x1)(當(dāng)x1<x2時(shí))，即函數(shù)f(x)=ex+mx在[1,2]上單調(diào)遞減．

因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)f′(x)=ex?x?(ex+m)15.【答案】a=?3．

最大值為e2，最小值為?2e．【解析】(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex(x2+2x+a)

根據(jù)題意可得f′(?3)=0，代入得：e?3(9?6+a)=0，解得a=?3，

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；

因此a的值為?3．

(2)當(dāng)a=?3時(shí)，函數(shù)f(x)=ex(x2?3)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex(x2+2x?3)

令導(dǎo)函數(shù)f′(x)=0，解得x=1，x=?3(舍去)，

當(dāng)x∈[1,2]，f′(x)>0；當(dāng)x∈[0,1)，f′(x)<0，

所以f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，在[0,1)上單調(diào)遞減，

所以x=1時(shí)，f(x)取到極小值也是最小值f(1)=?2e；

又f(0)=?3，f(2)=e2，從而可求最大值為e2，

故最大值為e16.【答案】m=30，n=35，有99.5%的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)；

分布列見(jiàn)解析；1．

【解析】(1)因?yàn)槟?、女員工各50名，所以容易得到m=30，n=35，

零假設(shè)H0：該企業(yè)員工喜歡足球與性別無(wú)關(guān)，

將表格數(shù)據(jù)代入公式可以得到χ2=100×(30×35?15×20)245×55×50×50=10011≈9.091>7.879，

因?yàn)镻(χ2≥7.879)≈0.005，

故可以認(rèn)定有99.5%的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)；

(2)由分層抽樣可以求得，男性人數(shù)為：6×3045=4人，女性6?4=2人，

所以X的取值為X012P131所以E(X)=0×15+1×35+2×15=1．

(1)完善列聯(lián)表，計(jì)算χ217.【答案】105；

【解析】(1)記CD的中點(diǎn)為E，連結(jié)AE，

因?yàn)锳B/?/CD，CE=12CD=1=AB，AB⊥BC，

所以四邊形ABCE是矩形，則AE=BC=1，AE⊥AB，

以A為原點(diǎn)，以AE，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(0,0,0)，D(1,?1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,2)，

則CD=(0,?2,0)，PD=(1,?1,?2)，AP=(0,0,2)，

設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為n=(a,b,c)，

所以AP?n=2c=0PD?n=a?b?2c=0，

令a=1，則n=(1,1,0)，

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為u=(r,s,t)

所以CD?u=?2s=0PD?u=r?s?2t=0，

令t=1，則u=(2,0,1)，

所以cos<n,u>=n?u|n|?|u|=22×5=105，

由圖可知，二面角C?PD?A為銳角，

所以二面角C?PD?A的余弦值為105．

(2)依題意，設(shè)M(0,0,k)(0≤k≤2)，則CM=(?1,?1,k)，

又由(1)得平面PAD的一個(gè)法向量為n=(1,1,0)，

記直線CM與平面PAD所成角為β，

所以sinβ=|cos<n,CM>|=18.【答案】當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減，在(1a,+∞)上單調(diào)遞增；

(0,【解析】(1)由題意f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

f′(x)=a?1x=ax?1x，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)<0，得0<x<1a，令f′(x)>0，得x>1a，

故f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減，在(1a,+∞)上單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減，在(1a,+∞)上單調(diào)遞增；

(2)由(1)知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

此時(shí)f(x)=?1不可能有兩個(gè)解，舍去；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,1a)單調(diào)遞減，在(1a,+∞)單調(diào)遞增，

故f(x)m