專題18直線與圓的位置關(guān)系

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)01：直線與圓的三種位置關(guān)系

直線與圓

的位置關(guān)

ClCC

系的圖象

ll

直線與圓的相交相切相離

位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)02：判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法

1、幾何法（優(yōu)先推薦）

圖象

C

ClC

d

dd

lrl

rr

位置關(guān)系相交相切相離

判定方法C:(xa)2(yb)2r2；C:(xa)2(yb)2r2；C:(xa)2(yb)2r2；

l:AxByC0。l:AxByC0。l:AxByC0。

圓心C(a,b)到直線l的距離：圓心C(a,b)到直線l的距離：圓心C(a,b)到直線l的距離：

|AaBbC||AaBbC||AaBbC|

d。d。d。

A2B2A2B2A2B2

1

dr圓與直線相交。dr圓與直線相切。dr圓與直線相離。

2、代數(shù)法

直線l：AxByC0；圓Mx2y2DxEyF0

AxByC0

聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次函數(shù)2

22“”“”axbxc0

xyDxEyF0

①0直線l與圓M相交

②0直線l與圓M相切

③0直線l與圓M相離

知識(shí)點(diǎn)03：直線與圓相交

記直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為|AB|的常用方法

1、幾何法（優(yōu)先推薦）

①弦心距（圓心到直線的距離）

②弦長(zhǎng)公式：AB2r2d2

2、代數(shù)法

直線l：AxByC0；圓Mx2y2DxEyF0

AxByC0

聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次函數(shù)2

22“”“”axbxc0

xyDxEyF0

弦長(zhǎng)公式：22

AB1k(x1x2)4x1x2

知識(shí)點(diǎn)04：直線與圓相切

1、圓的切線條數(shù)

①過圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線

②過圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線

③過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線

222

2、過一點(diǎn)P0(x0,y0)的圓的切線方程（M:(xa)(yb)r）

①點(diǎn)P0(x0,y0)在圓上

2

步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率k，記切線斜率為，則kk1k

M(a,b)P0MkP0M

步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線（步驟一中的斜率+切點(diǎn)P0(x0,y0)）

②點(diǎn)P0(x0,y0)在圓外

記切線斜率為k，利用點(diǎn)斜式寫成切線方程yy0k(xx0)；在利用圓心到切線的距離dr求出k

（注意若此時(shí)求出的k只有一個(gè)答案；那么需要另外同理切線為xx0）

3、切線長(zhǎng)公式

記圓M:(xa)2(yb)2r2；過圓外一點(diǎn)P做圓M的切線，切點(diǎn)為H,利用勾股定理求PH；

PHPM2MH2

3

一、單選題

1．（24-25高二上·四川成都·月考）直線l：yx1與圓C:(x1)2y24的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相切C．相離D．都有可能

2．（23-24高二上·廣東·期末）直線l:xcosysin20與圓O:x2y21的位置關(guān)系為（）

A．相離B．相切C．相交D．無(wú)法確定

3．（24-25高二下·湖南婁底·期中）已知直線l:kxyk10和圓C:x2y22x4y40，則直線l與圓

C的位置關(guān)系是（）

A．相切B．相交C．相離D．相交或相切

1

4．（23-24高二上·陜西西安·期中）如果a2b2c2，那么直線axbyc0與圓x2y22的位置關(guān)系

3

是（）

A．相交B．相切C．相離D．相交或相切

5．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線l:axbyr20與圓C:x2y2r2，點(diǎn)Aa,b，則下列說法錯(cuò)

誤的是（）

A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切

B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離

C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離

D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切

一、單選題

2

1．（24-25高二上·廣東深圳·期末）若直線l:mxy10與圓x2y24相切，則m（）

335

A．B．1C．D．

444

2．（24-25高二下·江蘇南京·月考）設(shè)a、bR，若直線axby1與圓x2y22相切，則點(diǎn)Pa,b與圓的位

置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)在圓上B．點(diǎn)在圓外

C．點(diǎn)在圓內(nèi)D．不能確定

3π

3．（24-25高二下·河南洛陽(yáng)·月考）已知經(jīng)過點(diǎn)P1,0且傾斜角為的直線l與圓C：x2y26xm0

4

相離，則m的取值范圍為（）

4

A．1,9B．,9C．1,9D．1,

2

4．（24-25高二下·廣西南寧·期中）直線ykx3與圓x2y11相交的充分不必要條件可以是（）

A．k23B．k23C．k2D．k1

5．（24-25高二上·天津和平·月考）若圓x2y2r2r0上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線xy20的距離為1，則

實(shí)數(shù)r的取值范圍為（）

A．21,B．21,21C．0,21D．0,21

二、填空題

6．（23-24高二上·四川南充·月考）已知圓C:x2y29，直線l:yxb，若圓C上至少有3個(gè)不同的點(diǎn)

到直線l的距離都等于1，則b的取值范圍是

一、單選題

1．（24-25高二上·遼寧沈陽(yáng)·月考）過點(diǎn)P2,1作圓C:x2y22y30的切線，則切線方程為（）

A．xy10B．x2y0C．x2y40D．x20

223

2．（24-25高二上·北京·月考）若圓xay1a0與直線yx只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的值為（）

3

A．1B．3C．2D．23

3．（24-25高二上·云南臨滄·月考）過點(diǎn)P3,1作圓O:x2y21的切線l，則l的斜率為（）

332

A．0B．C．0或D．0或

443

4．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）從圓x22xy22y10外一點(diǎn)P3,2向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切

線夾角的余弦值為（）

133

A．B．C．D．6

252

二、填空題

5．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圓C的圓心m,m，且與直線y2x相切于點(diǎn)P1,2，則圓C方

程為.

22

6．（24-25高二上·天津·期末）已知圓C:x3y11，直線l過點(diǎn)P4,3，若直線l與圓C相切，

則直線l的方程為.

7．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知圓C的圓心在直線xy10上，且與直線3x4y160和y軸

都相切，則圓C的方程為.

5

一、單選題

1．（2025·重慶·三模）過圓O：x2y21外的點(diǎn)P(3,2)作O的一條切線，切點(diǎn)為M，則MP（）

A．2B．23C．13D．4

2．（24-25高二上·浙江金華·期末）點(diǎn)P為直線y2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2y21的切線，切點(diǎn)為Q，

則PQ的最小值為（）

A．1B．2C．3D．2

二、填空題

22

3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓C:x1y29外一點(diǎn)P4,2，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，

切點(diǎn)分別為A和B，則直線AB的方程為.

4．（24-25高二上·江蘇南京·期中）已知圓M:x2(y2)21，Q是x軸上動(dòng)點(diǎn)，QA,QB分別是圓M的切

線，切點(diǎn)分別為A,B兩點(diǎn)，則直線AB恒過定點(diǎn)．

三、解答題

5．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓C:x2y26x8y210，直線l過點(diǎn)A(1,0).

(1)若直線l與圓C相切，求直線l的方程；

(2)當(dāng)直線l的斜率存在且與圓C相切于點(diǎn)B時(shí)，求AB.

6．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知VABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A2,0，B2,4，C4,2，直線l經(jīng)過

點(diǎn)D1,4.

(1)求VABC外接圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l與圓M相交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ23，求直線l的方程；

(3)若E,F是圓M上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EDF最大時(shí)，求直線EF的方程.

一、單選題

1．（24-25高二上·甘肅·期末）直線l:3x4y10被圓C:x2y24x6y40截得的弦長(zhǎng)為（）

A．22B．43C．23D．42

22

2．（23-24高二上·重慶九龍坡·期中）直線ykx1與圓x1y24相交于M、N兩點(diǎn)，若MN23，

則k等于（）

A．0B．-2C．2或0D．-2或0

3．（24-25高二下·云南·月考）若P1,2為圓O:x2y29的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（）

6

A．x2y50B．2xy40

C．x2y50D．2xy40

4．（24-25高二上·山東·月考）直線3x4y100與以點(diǎn)C(1,2)為圓心的圓相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|8，

則圓C的方程為（）

A．(x1)2(y2)225B．(x1)2(y2)225

C．(x1)2(y2)25D．(x1)2(y2)25

5．（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l:xy20與圓O:x2y24交于

2

點(diǎn)A,B，動(dòng)點(diǎn)P在圓C:x2y2r2r0上運(yùn)動(dòng)，若PAB的面積的取值范圍為2,6，則r的值為（）

2

A．B．2C．2D．22

2

二、解答題

6．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),B(0,4)，且圓心C在直線xy0上．

(1)求圓C的方程；

(2)已知直線l過點(diǎn)(8,0)且直線l截圓C所得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程．

7．（24-25高二上·四川巴中·期末）已知直線l:ykx1，圓M:x2y24x4y40（點(diǎn)M為圓心）.

(1)若直線l與圓M相切，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)當(dāng)k1時(shí)，判斷直線l與圓M是否相交于不同的兩點(diǎn)？如果相交于不同兩點(diǎn)，記這兩點(diǎn)為A,B，并求

△MAB的面積，如果不相交，請(qǐng)說明理由.

2

8．（24-25高二上·廣東肇慶·月考）已知圓C：x2y232，點(diǎn)A6,0.點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，B為線段AP

的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B的軌跡方程E，并說明其軌跡；

(2)若過點(diǎn)1,2的直線l被曲線E（點(diǎn)E為軌跡中心）截得的弦長(zhǎng)為4，求直線l的一般方程.

9．（24-25高二上·廣東茂名·期末）已知圓C:x2y2ax6y120關(guān)于直線xy10對(duì)稱.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線3xy80與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求AB；

22

(3)在（2）的前提下，若點(diǎn)Q是圓x4y310上的點(diǎn)，求QAB面積的最大值.

7

一、單選題

1．（24-25高二上·江西吉安·月考）直線yxb與曲線x1y2恰有1個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

（）

A．1b1B．2b1

C．2b1D．1b1或b2

2

2．（24-25高二上·山東濟(jì)南·期中）若直線l:kxy20與曲線C:4y1x1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

326326

A．kB．k5

33

326326326

C．kD．k1

333

2

3．（24-25高二上·福建泉州·期中）若直線l:kxy20與曲線C:1y1x1至少有一個(gè)公共點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

44

A．,2B．,4

33

444

C．2,,2D．,

333

4．（24-25高二下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知Px,y是曲線y4xx2上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足xyt2的點(diǎn)

P恰有2個(gè)，則實(shí)數(shù)t的取值可能是（）

A．3B．5C．22D．3

一、單選題

1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線l:mxny10圓x2y22x0相切，則原點(diǎn)O到直線l距離的

最大值為（）

A．3B．2C．22D．1

2

2．（24-25高二上·北京·月考）圓C:x1y22上的動(dòng)點(diǎn)M到直線xy30的距離的最小值為（）

A．2B．22C．32D．42

3．（24-25高二上·浙江金華·期末）點(diǎn)P為直線y2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2y21的切線，切點(diǎn)為Q，

則PQ的最小值為（）

A．1B．2C．3D．2

8

4．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知圓M:(x2)2y22，直線l:xy20，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，

直線PA,PB分別與圓M相切于點(diǎn)A,B，則四邊形PAMB的面積的最小值為（）

A．23B．3C．4D．2

22

5．（24-25高二上·江蘇南京·月考）已知圓C：x3y49，直線l：mxy2m30．則直線l

被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）

A．27B．10C．22D．6

6．（24-25高二下·河南周口·月考）已知直線l:xay10與圓C:x2+y2+2x-4y-4=0交于A,B兩點(diǎn)，

設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OM的取值范圍為（）

A．35,35B．31,31

C．23,23D．21,21

一、單選題

1．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線l:xy20與圓C:x2y22，點(diǎn)A1,1，則下列說法正確的

是（）

A．點(diǎn)A在圓C上，直線l與圓C相切B．點(diǎn)A在圓C內(nèi)，直線l與圓C相離

C．點(diǎn)A在圓C外，直線l與圓C相切D．點(diǎn)A在圓C上，直線l與圓C相交

2．（23-24高二上·北京·期中）以點(diǎn)A1,2為圓心，且與直線xy0相切的圓的方程為（）

9

1

A．(x1)2(y2)2

2

9

B．(x1)2(y2)2

2

1

C．(x1)2(y2)2

2

9

D．(x1)2(y2)2

2

22

3．（24-25高二上·貴州六盤水·期末）已知直線yxm被圓xy2x150截得的弦長(zhǎng)為42，則m

（）

A．1或3B．2C．3或5D．4

22

4．（24-25高二上·江蘇南通·期中）已知直線l1:xy10關(guān)于P(1,1)對(duì)稱的直線l2與圓C:xy2xm0

相離，則（）

A．m1B．m1C．1m1D．m1或m1

5．（24-25高二上·貴州貴陽(yáng)·期末）過點(diǎn)P2,4的直線與圓O:(x3)2y21相切于點(diǎn)A，則切線段PA長(zhǎng)

為（）

A．3B．4C．17D．5

6．（23-24高二上·天津·期末）過(1,0)點(diǎn)且與圓x2y24x4y70相切的直線方程為（）

A．2xy20B．3x4y30

C．2xy20或x1D．3x4y30或x1

7．（24-25高二下·安徽·月考）“點(diǎn)Ma,b在圓O:x2y24外”是“直線axby1與圓O相交”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

8．（24-25高二上·北京通州·期中）過點(diǎn)(4,23)作圓C:x2y24x0的兩條切線，則這兩條切線的夾角

為（）

πππ2π

A．B．C．D．

4233

2

9．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）若直線l:kxy2k10與C:x2y316交于A,B兩點(diǎn)，則AB的

最小值為（）

A．2B．22C．42D．62

10．（24-25高二下·安徽安慶·月考）若P是直線l:4x3y120上一動(dòng)點(diǎn)，過P作圓C:x2y24x0的

兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則四邊形PACB面積的最小值為（）

A．23B．43C．25D．45

10

二、多選題

11．（24-25高二上·廣西貴港·期末）已知圓C:x2y26x4y90與直線l:3x4y30，點(diǎn)P在圓C上，

點(diǎn)Q在直線l上，則（）

A．圓C上有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為2

B．圓C上只有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為2

．

CPQmin2

D．從點(diǎn)Q向圓C引切線，切線長(zhǎng)的最小值是25

12．（24-25高二上·安徽阜陽(yáng)·期末）已知圓的方程為x2y28x8y30，過點(diǎn)1,0的直線交該圓于A，

B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)AB的值可能為（）

A．6B．3

C．9D．11

13．（24-25高二上·廣東潮州·期末）已知點(diǎn)P2,3和圓Q:(x1)2(y2)29，下列說法正確的是（）

A．圓心Q1,2，半徑為r3

B．點(diǎn)P在圓Q外

C．過點(diǎn)P且與圓Q相切的直線有且只有一條

D．設(shè)點(diǎn)M是圓Q上住意一點(diǎn)，則PM的最小值為343

14．（24-25高二下·湖南·期中）已知點(diǎn)A，B為圓O:x2y214上兩動(dòng)點(diǎn)，且AB43，點(diǎn)P為直線

l:xy120上動(dòng)點(diǎn)，則（）

A．圓心O到直線AB的距離為2

B．以AB為直徑的圓與直線l相離

π

C．APB的最大值為

3

D．PAPB的最小值為38

2

15．（24-25高二上·河北石家莊·月考）點(diǎn)A，B為圓M:x1y21上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P2,t為直線l:x2

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A．當(dāng)t0，且AB為圓的直徑時(shí)，PAB面積的最大值為3

42

B．從點(diǎn)P向圓M引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，AB的最小值為

3

π

C．A，B為圓M上的任意兩點(diǎn)，在直線l上存在一點(diǎn)P，使得APB

3

D．當(dāng)P2,2,AB3時(shí)，PAPB的最大值為2131

11

三、填空題

22

16．（2025·北京順義·一模）已知直線l：ykx1與圓O：x1y11有兩個(gè)交點(diǎn)，則k可以是.

（寫出滿足條件的一個(gè)值即可）

17．（2025·北京豐臺(tái)·一模）已知直線xy20與圓x2y2r2r0