天津大學(xué)材料力學(xué)主講：專業(yè)：

章節(jié)課時：8課時章節(jié)課程（四）彎曲應(yīng)力4.1彎曲正應(yīng)力NormalStressduetoBending矩形截面彎曲切應(yīng)力ShearStressinStraightMember4.2

薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力ShearStressinThin-WalledMember4.3梁的合理強度設(shè)計DesignofBeams

4.5第四章彎曲應(yīng)力彎曲中心ShearCenter4.4習(xí)題討論Problems

4.7StressesduetoBending彎曲應(yīng)力專題SpecialProjects4.62梁彎曲時通常存在切應(yīng)力光滑接觸的疊梁粘接在一起的疊梁FF矩形截面梁變形前后RussellC.Hibbeler-MechanicsofMaterials10thEdition-Pearson切應(yīng)變？4.2.1矩形截面彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)h/2h/2b4.2.1矩形截面彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)矩形截面彎曲上切應(yīng)力推導(dǎo)h/2h/2b4.2.1矩形截面彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)矩形截面彎曲上切應(yīng)力推導(dǎo)

FS假設(shè)1.切應(yīng)力沿寬度等值分布。2.切應(yīng)力方向平行于剪力。

dF

dF

dF

dF

MM+dMdxFSFSh/2h/2bdx

分析橫截面上的應(yīng)力及微段的平衡4.2.1矩形截面彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)矩形截面彎曲上切應(yīng)力推導(dǎo)dxMM+dM

y

平衡：

面積矩：FFSFSFlFry

切應(yīng)力互等

4.2.1矩形截面彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)矩形截面彎曲上切應(yīng)力推導(dǎo)

4.2.1矩形截面彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)矩形截面彎曲上切應(yīng)力

yyFS4.2.1矩形截面彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)

矩形截面彎曲上切應(yīng)力yyFS思考題4.2.1矩形截面彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)

最大彎曲切應(yīng)力通常發(fā)生在中性軸上各點，而該處的正應(yīng)力為零，即純剪切狀態(tài)。強度條件為：yFS

4.2.2彎曲切應(yīng)力強度條件天津大學(xué)材料力學(xué)

矩形截面彎曲切應(yīng)力yFS

通常要進行彎曲切應(yīng)力強度校核的情況：1.對于薄壁截面梁，比如工字型截面的腹板部分2.彎矩較小而剪力較大的梁，比如短粗梁和支座附近的部位3.對于鉚接、焊接和粘合而成的梁，比如結(jié)合面處4.2.2彎曲切應(yīng)力強度條件天津大學(xué)材料力學(xué)矩形截面最大彎曲上切應(yīng)力RussellC.Hibbeler-MechanicsofMaterials10thEdition-Pearson【例題】T形截面梁受力如圖所示，求最大的切應(yīng)力及粘接縫處的切應(yīng)力。解：1.確定支座反力和剪力分布6.5kN19.5kN4l/2

586.5FS

-19.5(kN)x(m)4.2.2彎曲切應(yīng)力強度條件天津大學(xué)材料力學(xué)解：2.確定形心（中性軸位置）及截面對中性軸的慣性矩4l/2

586.5FS

-19.5(kN)x(m)

4.2.2彎曲切應(yīng)力強度條件天津大學(xué)材料力學(xué)【例題】T形截面梁受力如圖所示，求最大的切應(yīng)力及粘接縫處的切應(yīng)力。4l/2

586.5FS

-19.5(kN)x(m)解：3.截面上最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上

4.粘接縫處的切應(yīng)力

4.2.2彎曲切應(yīng)力強度條件天津大學(xué)材料力學(xué)【例題】T形截面梁受力如圖所示，求最大的切應(yīng)力及粘接縫處的切應(yīng)力。

FS

123弦1、2、3上任一點的切應(yīng)力方向？

max

發(fā)生在哪兒？表達(dá)式？4.2.2彎曲切應(yīng)力強度條件天津大學(xué)材料力學(xué)圓形截面上的切應(yīng)力分布：

非矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力FS

RussellC.Hibbeler-MechanicsofMaterials10thEdition-Pearson，p3904.2.2彎曲切應(yīng)力強度條件天津大學(xué)材料力學(xué)思考題工字型梁腹板上的切應(yīng)力ydyb切應(yīng)力表達(dá)式：

面積矩表達(dá)式：

4.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)ydyb

Wheny=0,

腹板上：4.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)工字型梁腹板上的切應(yīng)力ydyb

Wheny=0,

A

比值：

4.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)工字型梁腹板上的切應(yīng)力ydybA比值：

4.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)工字型梁腹板上的切應(yīng)力RussellC.Hibbeler-MechanicsofMaterials10thEdition-PearsonFS

=80kN

4.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)【例題】由3個50100mm木塊粘接而成的工字型截面懸臂梁如圖。長度為3m。粘縫處的許可切應(yīng)力為100kPa。確定能允許的最大載荷F5010050mm10050FT.J.Lardner,MechanicsofSolidsrials,1994,

p2974.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)

5010050mm10050F

4.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)【例題】3個50100mm,長度為3m。粘縫處許可切應(yīng)力為100kPa

505050mm100F5010050mm10050

4.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)【例題】3個50100mm,長度為3m。粘縫處許可切應(yīng)力為100kPa

F5050mm100

4.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)【例題】2個50100mm,長度為3m。梁之間光滑無摩擦，許可切應(yīng)力為100kPa思考題b

4.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)

bA4.3.1腹板彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)思考題RussellC.Hibbeler-MechanicsofMaterials10thEdition-PearsondxFSFS

FSFS

yzN

d/2d/2工字形截面梁壁厚tB

MM+dM

B

B4.3.2翼緣彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)工字型截面翼緣上彎曲切應(yīng)力B

B

FSFS

yzN

d/2工字形截面梁壁厚tB

Bd/2

4.3.2翼緣彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)工字型截面翼緣上彎曲切應(yīng)力

FSFS

yzN

d/2工字形截面梁壁厚tB

Bd/2工字形截面梁翼緣上的水平切應(yīng)力與

成正比例。由對稱性可知：翼緣左右側(cè)關(guān)于y

軸對稱。上下翼緣水平切應(yīng)力呈反對稱分布。

4.3.2翼緣彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)工字型截面翼緣上彎曲切應(yīng)力

max/w

max/f

max/fFSFS

yzN

d/2工字形截面梁壁厚tB

Bd/2

4.3.2翼緣彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)工字型截面翼緣上彎曲切應(yīng)力

FS

max/w

max/f

max/f4.3.2翼緣彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)工字型截面翼緣上彎曲切應(yīng)力

1.工字型薄壁截面梁，切應(yīng)力分布如圖。分析截面上受力與平衡。

max/w

max/f

max/f

4.3.2翼緣彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)思考題

2.【拓展思考】閉口薄壁截面梁，平均半徑為R，剪力通過形心，方向向下，

如圖。如何分析橫截面上彎曲切應(yīng)力的分布。如何定性判斷最大切應(yīng)力的位置及方向。tRFSzy4.3.2翼緣彎曲切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)思考題切應(yīng)力流（剪流）

定義：截面中心線單位長度上的剪力。FS4.3.3切應(yīng)力流天津大學(xué)材料力學(xué)

y軸和

z軸為梁截面主形心軸。在垂直于z軸的平面內(nèi)平面彎曲

將截面分成腹板和上下翼緣三部分慣性矩：

zyo

d腹板上的切應(yīng)力

ydy翼緣上的切應(yīng)力4.3.3切應(yīng)力流天津大學(xué)材料力學(xué)槽型截面切應(yīng)力流（剪流）zyo

d腹板上的切應(yīng)力流

翼緣上的切應(yīng)力流4.3.3切應(yīng)力流天津大學(xué)材料力學(xué)槽型截面切應(yīng)力流（剪流）zyo

d腹板上的切應(yīng)力流

翼緣上的切應(yīng)力流4.3.3切應(yīng)力流天津大學(xué)材料力學(xué)槽型截面切應(yīng)力流（剪流）

慣性矩：

zyo

d腹板上的切應(yīng)力

ydy翼緣上的切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)開口薄壁截面彎曲中心4.4.1彎曲中心y軸和

z軸為梁截面主形心軸。在垂直于z軸的平面內(nèi)平面彎曲RussellC.Hibbeler-MechanicsofMaterials10thEdition-Pearson

zyo

d翼緣上的切向力

腹板上的切應(yīng)力流

翼緣上的切應(yīng)力流腹板上的切向力FwFfFf開口薄壁截面彎曲中心

天津大學(xué)材料力學(xué)4.4.1彎曲中心

翼緣上的切向力

腹板上的切向力FwFfFf作用在上下翼緣的一對切向力構(gòu)成力矩：

天津大學(xué)材料力學(xué)4.4.1彎曲中心開口薄壁截面彎曲中心

以角點為矩心，由合力矩定理：

zEFS

E點為彎曲中心（彎心，剪心）作用在上下翼緣的一對切向力構(gòu)成力矩：zFSFSEE如果力沿z軸（對稱軸）作用天津大學(xué)材料力學(xué)4.4.1彎曲中心開口薄壁截面彎曲中心zEFSzFSFSEE梁在兩個形心主慣性平面內(nèi)分別發(fā)生彎曲時，橫截面上相應(yīng)的兩個剪力作用線的交點（彎曲中心）。如外力作用在與軸線垂直的平面內(nèi)，并通過彎曲中心，梁只發(fā)生彎曲，不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。天津大學(xué)材料力學(xué)4.4.1彎曲中心開口薄壁截面彎曲中心RussellC.Hibbeler-MechanicsofMaterials10thEdition-Pearson天津大學(xué)材料力學(xué)4.4.1彎曲中心開口薄壁截面彎曲中心實驗截面對中心軸的慣性矩

半圓形的中線半徑為RtRo

z扇形DB對中心軸的面積矩

切應(yīng)力

4.3.3切應(yīng)力流天津大學(xué)材料力學(xué)開口薄壁圓環(huán)截面切應(yīng)力流（剪流）半圓形的中線半徑為R截面對中心軸的慣性矩

扇形DB的面積矩

切應(yīng)力

tRoz

半圓環(huán)上的切向力對

O點的矩

dA4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)半圓環(huán)形截面彎曲中心位置

tRoz

半圓環(huán)上的切向力對

O點的矩

e

dA4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)半圓形的中線半徑為R半圓環(huán)形截面彎曲中心位置

1.圖示三個截面上A點處的切應(yīng)力分布？該處的切應(yīng)力互等定理如何理解和分析。FSFSFS

AAA4.3.3切應(yīng)力流天津大學(xué)材料力學(xué)思考題

2.圖示薄壁截面上的剪力向下作用，畫出切應(yīng)力流。4.3.3切應(yīng)力流天津大學(xué)材料力學(xué)思考題FSAB

3.如何分析圖示薄壁截面上的切應(yīng)力流。A

點和B

點的切應(yīng)力如何分析和確定？4.3.3切應(yīng)力流天津大學(xué)材料力學(xué)思考題4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)確定圖示截面彎曲中心E

的位置壁厚相同t=5

mm,h1=80mm,,h2=60mm,b=100mmEIIIIII分析I

上的切應(yīng)力

ydy截面由三部分組成，如圖剪力由三部分承擔(dān)E

IIIIII

I

上承擔(dān)的剪力F1

III

上承擔(dān)的剪力F3ydyF1F3剪力由三部分承擔(dān)，其中，II上F2=04.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)確定圖示截面彎曲中心E

的位置EIIIIIIy

dyF1F3

4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)剪力由三部分承擔(dān)，其中，II上F2=0確定圖示截面彎曲中心E

的位置上述截面退化成T型截面

F1F34.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)剪力由三部分承擔(dān)，其中，II上F2=0確定圖示截面彎曲中心E

的位置F1F34.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)T型截面彎曲中心位置4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)T型截面彎曲中心位置

分析圖示截面彎曲中心E的大致位置2aaa2a2aaa天津大學(xué)材料力學(xué)4.4.1彎曲中心思考題4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)Determinethevariationoftheshearflowthroughoutthecrosssection.確定C處的切應(yīng)力4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)Determinethevariationoftheshearflowthroughoutthecrosssection.確定D處的切應(yīng)力4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)Determinethevariationoftheshearflowthroughoutthecrosssection.切應(yīng)力流分布4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)思考題1.如何分析圖示截面的切應(yīng)力或剪流、剪心位置？剪力向下yz4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)2.如圖所示，剪力通過剪心，但與y軸成

角，截面的切應(yīng)力如何分析？EFs

zy4.4.2彎曲中心計算天津大學(xué)材料力學(xué)思考題由兩種不同方式組裝的梁如圖所示，圖中每個釘子承受的剪切力是40lb。釘子的間距是9in。確定每個梁可以承受的剪力是多少。RussellC.Hibbeler-MechanicsofMaterials10thEdition-Pearson，p390CaseI27.1lbCaseI81.3lb

4.2.2彎曲切應(yīng)力強度條件天津大學(xué)材料力學(xué)【例題】思考題1.梁長為l的矩形截面懸臂梁受集中力作用。試比較梁截面上的最大彎曲正應(yīng)力和最大彎曲切應(yīng)力數(shù)值。BhbF4.2.2彎曲切應(yīng)力強度條件天津大學(xué)材料力學(xué)

4.7習(xí)題討論天津大學(xué)材料力學(xué)剪力向下，通過圖示角點Fs

--拓展習(xí)題分析等邊角鋼截面的切應(yīng)力分布及截面剪心E位置。邊長為a,壁厚t。仔細(xì)閱讀F.P.Beer,E.R.Johnston，MechanicsofMaterials,1981，p281【習(xí)題5】天津大學(xué)材料力學(xué)【開口薄壁切應(yīng)力】4.6專題討論天津大學(xué)材料力學(xué)【開口薄壁切應(yīng)力】4.6專題討論天津大學(xué)材料力學(xué)【開口薄壁切應(yīng)力】4.6專題討論天津大學(xué)材料力學(xué)【開口薄壁切應(yīng)力】4.6專題討論天津大學(xué)材料力學(xué)【開口薄壁切應(yīng)力】4.6專題討論天津大學(xué)材料力學(xué)思考題3非規(guī)則截面4.1.4彎曲應(yīng)力專題76天津大學(xué)材料力學(xué)思考題3非規(guī)則截面4.1.4彎曲應(yīng)力專題774.4薄壁截面切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)4.4薄壁截面切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)

4.4薄壁截面切應(yīng)力天津大學(xué)材料力學(xué)4.5.1合理截面形狀和合理受力天津大學(xué)材料力學(xué)

bhhb合理截面形狀

老亮，《中國古代材料力學(xué)史》，國防科技大學(xué)出版社，19914.5.1合理截面形狀和合理受力天津大學(xué)材料力學(xué)合理截面形狀

對抗拉壓強度不等的材料，如鑄鐵等？zz

腹板應(yīng)具備一定的厚度？4.5.1合理截面形狀和合理受力天津大學(xué)材料力學(xué)合理截面形狀A(yù)CBl/2l/2ABl/53l/5

l/5

ACBl/2l/2FACBl/2l/2F/2F/24.5.1合理截面形狀和合理受力天津大學(xué)材料力學(xué)合理受力4.5.2梁等強度梁天津大學(xué)材料力學(xué)

bhACBl/2l/2Fx設(shè)高度h

不變

為什么兩端不能是尖角？b(x)合理截面+合理受力

bhACBl/2l/2Fx設(shè)寬度b

不變

h(x)4.5.2梁等強度梁天津大學(xué)材料力學(xué)合理截面+合理受力

選擇等強度梁CantileverSubstrateProbesCantilever--AFMProbeTip4.5.2梁等強度梁天津大學(xué)材料力學(xué)合理截面+合理受力4.5.2梁等強度梁天津大學(xué)材料力學(xué)合理截面+合理受力Beer-MechanicsofMaterials-McGraw-HillEducation-7th(2014)汽車鋼板彈簧植物葉子的葉脈4.5.2梁等強度梁天津大學(xué)材料力學(xué)合理截面+合理受力4.5.2梁等強度梁天津大學(xué)材料力學(xué)合理截面+合理受力4.5梁的合理強度設(shè)計天津大學(xué)材料力學(xué)型鋼的抗彎截面模量型鋼的慣性矩和高度：4.5梁的合理強度設(shè)計天津大學(xué)材料力學(xué)型鋼的抗彎截面模量S1000

KN

m

4.5梁的合理強度設(shè)計天津大學(xué)材料力學(xué)最大彎矩4.5梁的合理強度設(shè)計天津大學(xué)材料力學(xué)思考題

4.以工字型截面為例，如何設(shè)計腹板和翼緣尺寸才能體現(xiàn)梁的合理強度設(shè)計思想？b5.觀察身邊的受力結(jié)構(gòu)或以某一工程構(gòu)件為例，說明梁的合理強度設(shè)計。天津大學(xué)材料力學(xué)BhbqdxFSFS+dFS

qxdx分析圖示梁中縱向纖維之間的擠壓應(yīng)力

y

，梁長為l【內(nèi)力和應(yīng)力】4.6專題討論天津大學(xué)材料力學(xué)dxFSFS+dFSqdFy

l

r

dxFSFS+dFS

q

y

此處分析中忽略了正負(fù)號，只計入了絕對值。分析圖示梁中縱向纖維之間的擠壓應(yīng)力

y

，梁長為l【內(nèi)力和應(yīng)力】4.6專題討論天津大學(xué)材料力學(xué)dxFSFS+dFSqdFy

l

rdxFSFS+dFS

q

y

此處分析中忽略了正負(fù)號，只計入了絕對值。分析圖示梁中縱向纖維之間的擠壓應(yīng)力

y

，梁長為l【內(nèi)力和應(yīng)力】4.6專題討論天津大學(xué)材料力學(xué)dxFSFS+dFSqdFy

l

rdxFSFS+dFS

qy

h/2=0

yy

分析圖示梁中縱向纖維之間的擠壓應(yīng)力

y

，梁長為l【內(nèi)力和應(yīng)力】4.6專題討論1.內(nèi)力Fs

和M

2.三個面上應(yīng)力分布(另三個面？）

3.長方體如何平衡？

分析圖中陰影部分長方體的平衡問題aaBaACmhbEFG天津大學(xué)材料力學(xué)Fs

+m/(2a)+Mmm/(2