第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年山東省威海市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M={?1,0,1,2,3}，N={x|lnx<1}，則M∩N=(

)A.{?1,0,1,2} B.{?1,1,2} C.{1,2} D.{1,2,3}2.設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(x)在x=x0處可導(dǎo)，則“x0是y=f(x)的極值點(diǎn)”是“f′(xA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知隨機(jī)變量X～N(2,4)，則(

)A.E(X)=4 B.E(2X+1)=5 C.D(X)=2 D.D(2X+1)=84.用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.18 B.24 C.30 D.485.已知函數(shù)f(x)=f(x?1),x>12x?1,x≤1，則A.12 B.34 C.546.已知隨機(jī)事件A，B滿足P(AB)=0.4，P(A)=0.6，P(B|A?)=0.5，則P(B)=A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.87.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)=?f(x+2)，若f(2)=2，則i=118f(i)=A.0 B.2 C.8 D.108.有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，它們的形狀、大小、材質(zhì)完全相同，現(xiàn)從這8個(gè)小球中任取4個(gè)，則取出的小球上的數(shù)字之和為10的概率為(

)A.835 B.1770 C.935二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某位同學(xué)10次考試的物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x如下表所示：數(shù)學(xué)成績(jī)x76827287937889668176物理成績(jī)y808775861007993688577已知y與x線性相關(guān)，計(jì)算可得x?=80，y?=83，回歸直線方程為A.y與x正相關(guān)

B.a?=5

C.相關(guān)系數(shù)r>0

D.若該同學(xué)第11次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0，物理成績(jī)?yōu)?3，則以這10.對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)x，設(shè)f(x)取y=|x?1|，y=|x?2|兩個(gè)函數(shù)值中的最大值，則(

)A.f(1)=0 B.當(dāng)x∈(?∞,?4)時(shí)，f(x)>4?12x

C.f(x)在(?∞,2)上單調(diào)遞減 D.11.已知函數(shù)f(x)=e|x+2|(x+2)2，f(x)的導(dǎo)函數(shù)為A.存在x0，使得f(x0)=1

B.對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，都有f(?4?x)?f(x)=0

C.函數(shù)y=f′(x?2)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

D.方程三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=lnx+2x，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為_(kāi)_____．13.(1?2x2)(1+x)514.若對(duì)任意x∈(1,+∞)，x+ex?1>alnx+xa四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在科技飛速發(fā)展的今天，人工智能(AI)領(lǐng)域迎來(lái)革命性的突破，各種AI工具擁有強(qiáng)大的解決問(wèn)題的能力.某企業(yè)為了解男女員工對(duì)AI工具的使用情況，隨機(jī)調(diào)查了200名員工，得到如下數(shù)據(jù)：經(jīng)常使用不經(jīng)常使用合計(jì)男性8020100女性6040100合計(jì)14060200(1)根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該企業(yè)員工對(duì)AI工具的使用情況是否與性別有關(guān)；

(2)為鼓勵(lì)員工使用AI工具，企業(yè)采用按性別分層抽樣的方式，在被調(diào)查的經(jīng)常使用AI工具的員工中，抽取了7名員工組成AI工具宣傳小組.現(xiàn)從這7名員工中隨機(jī)選出3名擔(dān)任宣傳組長(zhǎng)，記選出的3名宣傳組長(zhǎng)中女員工的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望．

參考公式：χ2=n(ad?bc)2P(0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2x?a?2?x，g(x)=x+1x．

(1)當(dāng)a=?2時(shí)，解關(guān)于x的方程f(x)=3；

(2)若對(duì)?17.(本小題15分)

已知甲、乙、丙三個(gè)品牌的手機(jī)從1米高的地方掉落時(shí)，屏幕第一次未碎掉的概率均為34，當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí)第二次也未碎掉的概率依次為13，23，25，假設(shè)三個(gè)品牌的手機(jī)掉落后屏幕是否碎掉互不影響．

(1)求這3個(gè)品牌的手機(jī)中至少有2個(gè)品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率；

(2)設(shè)這3個(gè)品牌的手機(jī)掉落兩次后屏幕仍未碎掉的品牌個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列；

(3)已知318.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+b．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=0，b=2時(shí)，求曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)(2,10)的切線方程；

(3)若f(x)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)x19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax?x2．

(1)若f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；

(2)若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：x參考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.B

6.C

7.B

8.C

9.ACD

10.BD

11.BCD

12.3x?y?1=0

13.?15

14.(?∞,1]

15.(1)零假設(shè)H0：該企業(yè)員工對(duì)AI工具的使用情況與性別無(wú)關(guān)，

則χ2=200×(80×40?20×60)2100×100×60×140≈9.524>7.879，

根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“該企業(yè)員工對(duì)AI工具的使用情況與性別無(wú)關(guān)”，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005，

故分析認(rèn)為企業(yè)員工對(duì)AI工具的使用情況與性別有關(guān)；

(2)由題意知，抽取的7名員工中男員工有4名，女員工有3名，

則X的所有可能取值為：0，1，2，3，

則P(X=0)=C43C16.(1)當(dāng)a=?2時(shí)，2x+22x=3，

即(2x)2?3?2x+2=0，

解得2x=1或2x=2，

所以x=0或x=1；

(2)設(shè)f(x)在[0,1]上的值域?yàn)锳，g(x)在(0,+∞)上的值域?yàn)锽，則A?B，

因?yàn)閤∈(0,+∞)，所以g(x)=x+1x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1x即x=1時(shí)等號(hào)成立，

所以B=[2,+∞)，

因?yàn)锳?B，所以17.(1)甲、乙、丙三個(gè)品牌的手機(jī)從1米高的地方掉落時(shí)，屏幕第一次未碎掉的概率均為34，

當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí)第二次也未碎掉的概率依次為13，23，25，

假設(shè)三個(gè)品牌的手機(jī)掉落后屏幕是否碎掉互不影響，

設(shè)事件D表示“3個(gè)品牌的手機(jī)中至少有2個(gè)品牌第一次掉落屏幕未碎掉”，

則這3個(gè)品牌的手機(jī)中至少有2個(gè)品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率為：

P(D)=C32(34)2?14+C33(34)3=2732．

(2)依題意，隨機(jī)變量X的取值集合為{0,1,2,3}，

設(shè)事件A表示“甲品牌的手機(jī)掉落兩次后屏幕仍未碎掉”，

事件X0123P2137193(3)設(shè)事件E表示“3個(gè)品牌的手機(jī)掉落兩次后恰有1個(gè)品牌的手機(jī)屏幕仍未碎掉”，

事件F表示“3個(gè)品牌的手機(jī)掉落兩次后恰有甲品牌的手機(jī)屏幕仍未碎掉”，

由(2)知，P(E)=P(X=1)=3780，P(EF)=14×12×710=18.(1)f′(x)=3x2+6ax=3x(x+2a)，

①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=3x2≥0，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

②當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0，解得x<?2a或x>0，令f′(x)<0，解得?2a<x<0；

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?2a)，(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?2a,0)；

③當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)>0，解得x<0或x>?2a，令f′(x)<0，解得0<x<?2a；

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,0)，(?2a,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,?2a)．

綜上，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?2a)，(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?2a,0)；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,0)，(?2a,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,?2a)．

(2)當(dāng)a=0，b=2時(shí)，f(x)=x3+2，則f′(x)=3x2，

設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03+2)，

則切線的斜率k=f′(x0)=3x02，

所以切線方程為y?x03?2=3x02(x?x0)，

又因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)(2,10)，

所以10?x03?2=3x02(2?x0)，

即x03?3x02+4=0，整理得(x0?2)2(x0+1)=0，

解得x0=2或x0=?1，

所以過(guò)點(diǎn)(2,10)的切線方程為y=12x?14或y=3x+4．

(3)證明：法一：若f(x)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)x1<x2<x3，

因?yàn)閤1+x3=2x2，可設(shè)x1=x2?d，x3=x2+d，d>0，

則(x2?d)3+3a(x2?d)2+b=0，19.(1)若f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，

則f′(x)=1x+a?2x≤0對(duì)任意x∈[1,+∞)恒成立，

即a≤2x?1x對(duì)任意x∈[1,+∞)恒成立，

令g(x)=2x?1x，

因?yàn)間(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以g(x)的最小值為g(1)=1，

所以a的取值范圍為(?∞,1]．

(2)(i)法一：f′(x)=1x+a?2x=?2x2+ax+1x，

令f′(x)=0，則?2x2+ax+1=0，

判別式Δ=a2+8>0，且兩根之積為?12，

故該方程有唯一正根，設(shè)為x0，

當(dāng)0<x<x0時(shí)，f′(x)>0，

所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>x0時(shí)，f′(x)<0，

所以f(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞減，

又當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→?∞，

當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→?∞，

若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則f(x0)>0，

所以lnx0+ax0?x02>0，

又因?yàn)閍x0=2x02?1，

所以lnx0+x02?1>0，

令?(x)=lnx+x2?1，則?′(x)=1x+2x>0，

所以?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(1)=0，

所以x0>1，

由于函數(shù)y=2x,y=?1x均為x>1上的單調(diào)遞增函數(shù)，

所以y=2x?1x在x>1上單調(diào)遞增，

所以a=2x0?1x0>1，

所以a的取值范圍為(1,+∞)．

(ii)證明：不妨設(shè)x1<x2，

因?yàn)閒(1)=a?1>0，可得x1<1<x2，

因?yàn)閘nx1+ax1?x12=0，lnx2+ax2?x22=0，

所以a=x1?lnx1x1=x2?lnx2x2，

令p(x)=x?lnxx，則p(x1)=p(x2)=a，

令q(x)=p(1x)?p(x)=1x?x+(x+1x)lnx，

則q′(x)=?