第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省白山市五校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某市市場監(jiān)管局為了了解飲料的質(zhì)量，從該市區(qū)某超市在售的50種飲料中抽取了30種飲料，對其質(zhì)量進(jìn)行了檢查.在這個(gè)問題中，30是(

)A.總體 B.個(gè)體 C.樣本 D.樣本量2.已知向量a,b滿足|a|=2，且a?bA.1 B.3 C.5 D.73.設(shè)有三個(gè)命題：①直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；②棱長都相等的直四棱柱是正方體；③四棱柱所有的面都是平行四邊形；其中真命題的個(gè)數(shù)是(

)A.3 B.2 C.1 D.04.已知隨機(jī)事件A和B互斥，A和C對立，且P(C)=0.8，P(B)=0.3，則P(A∪B)=(

)A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.55.在△ABC中，AB=7,AC=2,C=120°，則sinA=A.714 B.2114 C.6.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為6，圓心角為2π3的扇形，則該圓錐的體積為(

)A.162π B.162π7.歐拉恒等式eiπ+1=0(i為虛數(shù)單位，e為自然對數(shù)的底數(shù))被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式.它是復(fù)分析中歐拉公式eix=cosx+isinx的特例：當(dāng)自變量x=π時(shí)，eix=cosπ+isinπ=?1，得eA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.如圖，為了測量河對面M，N兩建筑物之間的距離，小胡同學(xué)在A處觀測，M，N分別在A處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛32米至B處，觀測N在B處的正北方向，M在B處的北偏西60°方向，則M、N兩建筑物之間的距離為(

)A.326米 B.323米 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.一組數(shù)據(jù)：0，1，5，6，7，11，12，則(

)A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6 B.這組數(shù)據(jù)的方差為16

C.這組數(shù)據(jù)的極差為11 D.這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為710.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是(

)A.若m//α，α//β，則m//β

B.若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β

C.若α//β，β//γ，則α//γ

D.若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，則m⊥n11.下列關(guān)于平面向量的說法中，正確的是(

)A.若a=b，b=c，則a=c

B.若a//b，b//c，則a//c

C.(a?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為(2,?1)，則iz?1=______．13.已知射擊運(yùn)動員甲擊中靶心的概率為0.72，射擊運(yùn)動員乙擊中靶心的概率為0.85，且甲、乙兩人是否擊中靶心互不影響.若甲、乙各射擊一次，則至少有一人擊中靶心的概率為______．14.如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,0)，b=(m,?1)，a?2b=(?3,2)．

(1)求|a+b|；

(2)16.(本小題15分)

如圖，在正四棱錐P?ABCD中，AB=2，PA=3．

(1)求四棱錐P?ABCD的體積；

(2)求四棱錐P?ABCD的表面積．17.(本小題15分)

為了做好下一階段數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)重心，某中學(xué)研究本校高三學(xué)生在市聯(lián)考中的數(shù)學(xué)成績，隨機(jī)抽取了500位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績作為樣本(成績均在[80,150]內(nèi))，將所得成績分成7組：[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，整理得到樣本頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求a的值，并估計(jì)本次聯(lián)考該校數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值作為代表，中位數(shù)精確到0.1)

(2)從樣本內(nèi)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)在[130,140)，[140,150]的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的分享，求選出的3人中恰有一人成績在[140,150]中的概率．18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且△ABC的面積為34(b2+c2?a2).

(1)求角A的大??；

19.(本小題17分)

如圖，已知在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，且CC1=2CA=2CB=2，點(diǎn)P在線段BC1(含端點(diǎn))上運(yùn)動，設(shè)λ=BPBC1．

(1)當(dāng)AB//平面

答案解析1.【答案】D

【解析】解：由題意可知，在這個(gè)問題中，30是樣本量．

故選：D．

結(jié)合樣本量的定義，即可求解．

本題主要考查樣本量的定義，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)橄蛄縜,b滿足|a|=2，且a?b=?3，

所以(2a+b)?3.【答案】D

【解析】解：命題①，若直角三角形繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體是兩個(gè)同底面圓的圓錐的組合體，所以①不正確；

命題②，棱長都相等的直四棱柱是也可能是上下底面是菱形，四個(gè)側(cè)面是正方形的直四棱柱，所以②不正確；

命題③，四棱柱所有的側(cè)面都是平行四邊形，但上下底面可能為梯形，所以③不正確；

故真命題的個(gè)數(shù)是0個(gè)．

故選：D．

由幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐一判斷各個(gè)命題即可求解．

本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，由A和C對立，可得P(A)+P(C)=1，

又由P(C)=0.8，則P(A)=0.2，

又由隨機(jī)事件A和B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5．

故選：D．

根據(jù)題意，由對立事件的性質(zhì)求出P(A)=0.2，進(jìn)而由互斥事件的概率性質(zhì)分析可得答案．

本題考查互斥事件、對立事件的概率性質(zhì)，注意隨機(jī)事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】B

【解析】解：△ABC中，AB=7,AC=2,C=120°，

由正弦定理可得：ABsinC=ACsinB，可得sinB=ACABsinC=27?32=217，

6.【答案】B

【解析】解：由圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為6，圓心角為2π3的扇形，

得圓錐的展開圖的弧長為：6×2π3=4π，

則圓錐的底面半徑r=4π2π=2，

可得圓錐的高?=62?227.【答案】B

【解析】解：z=e3i=cos3+isin3，

π2<3<π，

則cos3<0，sin3>0，

故復(fù)數(shù)z=e3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(cos3,sin3)位于第二象限．

8.【答案】D

【解析】解：由題意可知∠MAN=15°+45°=60°，∠MAB=90°+15°=105°，

∠MBN=60°，∠MBA=∠NBA?∠NBM=90°?60°=30°，則∠AMB=45°．

則∠NAB=∠MAB?∠MAN=105°?60°=45°，即在Rt△ABN

中，AB=BN=32．

在△MAB中，由正弦定理可知ABsin∠AMB=MBsin∠MAB，

即32sin45°=MBsin105°，解得MB=163+16．

在△NBM中，由余弦定理可知M9.【答案】AD

【解析】【分析】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，方差、標(biāo)準(zhǔn)差，極差，百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

由已知的這組數(shù)據(jù)，利用公式分別計(jì)算平均數(shù)、方差、極差、第70百分位數(shù)即可．【解答】

解：對A，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：17×(0+1+5+6+7+11+12)=6，故A選項(xiàng)正確；

對B，這組數(shù)據(jù)的方差為：17×(62+52+12+02+12+52+62)=1247，故B10.【答案】BC

【解析】解：對于A，由題意m/?/α，α/?/β，可得m//β或m?β，故錯(cuò)誤；

對于B，由題意m⊥n，m⊥α，n⊥β，可得α⊥β，故正確；

對于C，由題意α/?/β，β/?/γ，可得α/?/γ，故正確；

對于D，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD∩平面A1BCD1=BC11.【答案】AD

【解析】解：對A選項(xiàng)，根據(jù)向量相等的概念，易知A選項(xiàng)正確；

對B選項(xiàng)，當(dāng)b=0時(shí)，a//b且b/?/c，但a與c不一定共線，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對C選項(xiàng)，∵(a?b)c表示與c共線的向量，a(b?c)表示與a共線的向量，

∴(a12.【答案】2i

【解析】解：由題意，z=2?i，

則iz?1=i(2?i)?1=2i．

故答案為：2i．

由復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解．

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．13.【答案】0.958

【解析】解：設(shè)甲擊中靶心為事件A，乙擊中靶心為事件B，

因?yàn)榧讚糁邪行牡母怕蕿?.72，射擊運(yùn)動員乙擊中靶心的概率為0.85，

則P(A)=0.72，P(B)=0.85，

所以兩人都沒有擊中靶心的概率為P(A??B?)P(A??B?)=(1?0.72)×(1?0.85)=0.042，14.【答案】6【解析】解：由題意圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點(diǎn)，

可作出圖形：

過點(diǎn)E作圓柱的母線交下底面于點(diǎn)F，連接AF，ED，易知F為AD的中點(diǎn)，

設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則EF=2,AF=2，所以AE=22+(2)2=6，

則ED=AE=6，

因?yàn)锽C/?/AD，所以異面直線AE與BC所成的角即為∠EAD(或其補(bǔ)角)，

在等腰△EAD中，cos∠EAD=12ADAE=16=66，

15.【答案】(1)向量a=(1,0)，b=(m,?1)，

則a?2b=(1?2m,2)，

a?2b=(?3,2)，

則1?2m=?32=2，解得m=2，

故b=(2,?1)，

a+b=(3,?1)，

所以|【解析】(1)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，以及向量模公式，即可求解；

(2)結(jié)合平面向量的夾角公式，即可求解．

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】解：(1)連接AC，BD，記AC∩BD=O，連接PO，如圖所示．

由正四棱錐的特征可得PO⊥平面ABCD，

又AO?平面ABCD，所以PO⊥AO，

因?yàn)锳B=2，PA=3，

所以AO=12AC=12×22=2，

所以PO=PA2?AO2=7，

所以四棱錐P?ABCD的體積V=13S四邊形ABCD?PO=13×2×2×7=4【解析】(1)求出四棱錐的高與底面積，利用棱錐的體積公式求解即可；

(2)求出正四棱錐的側(cè)面積與底面積即可得表面積．

本題主要考查正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的表面積與體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17.【答案】解：(1)由題意知(0.012+0.028+0.022+0.018+0.010+a+0.002)×10=1，

解得a=0.008，

數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為：

x?=85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.10+135×0.08+145×0.02=107.4，

由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在區(qū)間[80,100)、[80,110)內(nèi)的頻率分別為0.34，0.62，

所以該校數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)m∈[100,110)，

則(m?100)×0.028+0.34=0.5，解得m=7407≈105.7；

(2)抽取的5人中，分?jǐn)?shù)在[130,140)內(nèi)的有0.080.08+0.02×5=4人，

在[140,150]內(nèi)的有1人，

記在[130,140)內(nèi)的4人為a，b，c，d，在[140,150]內(nèi)的1人為A，

從5人中任取3人，有(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,A)，(a,c,d)，(a,c,A)，(a,d,A)，(b,c,d)，(b,c,A)，(b,d,A)，(c,d,A)共10種，

選出的3人中恰有一人成績在[140,150]中，有(a,b,A)，(a,c,A)，(a,d,A)，(b,c,A)，(b,d,A)，(c,d,A)【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，即可求解出a；再用每一組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)，分別乘以每個(gè)小矩形的面積，計(jì)算平均數(shù)；最后計(jì)算中位數(shù)，即將頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的部分的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)分別求出在區(qū)間[130,140)，[140,150]內(nèi)抽取的人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概型概率公式即可求解．

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用及古典概型的應(yīng)用，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)因?yàn)镾=12bcsinA=34(b2+c2?a2)，

所以12bcsinA=34×2bccosA，

解得tanA=3，又A∈(0,π)，可得A=π3．

(2)根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2?2bccosA【解析】(1)利用余弦定理和三角形的面積公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanA的值．

(2)由余弦定理可得a2，根據(jù)平行四邊形對角線的平方的和等于四條邊的平方和，可得AD的長度．

19.【答案】解：(1)連接AC1，交A1C于點(diǎn)D，連接PD，則D為AC1的中點(diǎn)，

且平面A1CP∩平面ABC1=PD，

∵AB/?/平