第05講三角形的外角

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識：7大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

【知識點三角形的外角】

1.定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角.如圖，∠ACD是△ABC的一個外角.

2.性質(zhì)：①三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

求證：∠ACD=∠A+∠B；

證明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD.

②三角形的一個外角大于任意一個和它不相鄰的內(nèi)角；

如圖：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B.

③三角形的外角和等于360°．

求證：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°；

證明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2；

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.

【題型1三角形的外角的定義】

【例1】如圖，點在線段的延長線上，過點作射線交于點，則下列是的外角的是（）

?????????△???

A．B．C．D．

【答案】∠C???∠???∠???∠???

【分析】本題考查了三角形外角的定義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角，據(jù)此即

可求解．

【詳解】解：根據(jù)三角形外角的定義可知：

是的外角，

∠故?選??：C△．???

【變式1-1】下圖中∠1是三角形一個外角的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的外角是三角形的一邊與另一邊的反向延長線組成的角，進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：由三角形外角的定義，可知，D選項中的∠1是三角形一個外角，其他的都不符合題意；

故選D．

【變式1-2】如圖，點在的邊上，點在延長線上，下列是的外角的是（）

?△????????△???

A．B．C．D．

【答案】∠C???∠???∠???∠???

【分析】根據(jù)三角形的外角的定義得出即可．

【詳解】解：的一個外角是，

故選：C．△???∠???

【變式1-3】如圖所示，下列說法錯誤的是（）

A．∠ACD是△ABC的一個內(nèi)角；B．∠BAD是△ABD的一個內(nèi)角；

C．∠BEC是△ACE的一個外角；D．∠AOC是△ABD的一個外角；

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角、外角的定義逐項判斷即可．

【詳解】解：A、∠ACD是△ABC的一個內(nèi)角，說法正確；

B、∠BAD是△ABD的一個內(nèi)角，說法正確；

C、∠BEC是△ACE的一個外角，說法正確；

D、∠AOC是△AEO的一個外角，原說法錯誤；

故選：D．

【題型2三角形的外角性質(zhì)簡單應(yīng)用】

【例2】如圖，在中，點E在的延長線上，過點E作，交于點D，交于點F，，

，則△的??度?數(shù)為（）????⊥??????∠???=60°

∠?=35°∠?

A．B．C．D．

【答案】3B5°25°20°15°

【分析】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)，結(jié)合，，即可

求解．∠???=∠?+∠?∠???=60°∠?=35°

【詳解】解：∵為的外角，

∴∠???，△???

∵∠???=∠?，+∠?，

∴∠???=60°∠?=35°．

故選∠?：=B∠．????∠?=60°?35°=25°

【變式2-1】如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么等于（）

∠1

A．B．C．D．

【答案】4C5°60°105°120°

【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)

鍵．首先求出，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．

【詳解】解：將∠一??副?三=角∠板??按?如?圖∠?方?式?疊=放45，°如圖，、、、標(biāo)記如下：

????

由題意知：，，

∠???=90°∠???，=45°

∴∠???=∠，????∠???=45°

∵∠?=60°

∴故∠選1：=C∠?+∠???=60°+45°=105°

【變式2-2】將一副三角板按如圖方式放置，使，則（）

??∥??∠?=

A．B．C．D．

【答案】9D0°95°100°105°

【分析】本題考查了三角板的認(rèn)識，三角形的外角，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．由

題意可知，，，由，得到，再結(jié)合，得到答

案．∠?=60°∠?=45°??∥??∠???=∠?=60°∠?=∠?+∠???

【詳解】解：設(shè)與，分別交于點，，如圖所示：

????????

由題意可知，，，

，∠?=60°∠?=45°

∵??∥??，

∴∠?是??=∠?的=外60角°，

∵∠?△???．

∴故∠選?：=D∠．?+∠???=45°+60°=105°

【變式2-3】如圖，，，，則．

∠?=20°∠?=31°∠???=123°∠?=°

【答案】

【分析】本72題°考查三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)

鍵．連接并延長至點，利用，，得

???∠，??即?=∠???+∠?∠???=，∠代??入?+∠?，∠???=∠?，?即?+可∠求?解??．=

【∠詳??解?】+解∠?：+如∠圖?，??連+接∠?=并1延23長°至點∠?，??+∠?+∠?=123°∠?=20°∠?=31°

???

∵，，

∴∠???=∠???+∠?∠???=∠???+∠?，

∴∠???=∠???+∠???=，∠???+∠?+∠???+∠?=123°

∵∠???+∠，?+∠?=1，23°

∴∠?=20°∠?=31°，

故答∠?案??為=：123．°?∠??∠?=72°

【題型3利7用2°三角形的外角性質(zhì)比較角的大小】

【例3】如圖，、和的大小關(guān)系是().

∠?∠???∠???

A．B．

C．∠?>∠???>∠???D．∠???>∠?>∠???

【答案】∠D???>∠???>∠?∠???>∠???>∠?

【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解即可．

【詳解】解：在中，，

∴，△???∠???=∠?+∠?

在∠???>中∠，?，

∴△???∠??，?=∠???+∠?

∴∠???>∠???，

故選∠?D?．?>∠???>∠?

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．

【變式3-1】如圖，有下列結(jié)論：①；②；③；

④．其中，正確的是∠?>∠???（填序∠號?）+．∠???=180°?∠?∠?+∠???<180°

∠???>∠?

【答案】②③④

【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系；

根據(jù)三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角，三角形的內(nèi)角和定理即可求解；

【詳解】解：①，故①錯誤；

②∠?<∠???，故②正確；

③∠?+∠???=180°，?故∠?③正確；

④∠?+∠???<180°，則；故④正確；

故答∠?案?為?=：∠②?③??④>∠???>∠?∠???>∠?

【變式3-2】如圖所示，P是內(nèi)一點，延長交于點D，連接．

△?????????

(1)、、的大小關(guān)系是：＞＞；

(2)∠若1∠2∠，?，，嘉嘉想求的度數(shù)，請你從下面兩種思路中任選一種幫助嘉嘉完成

求解．∠3=25°∠?=67°∠4=40°∠1

思路二

思路一

先利用三角形外角求出的度

先利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，

數(shù)．再利用三角形外角求∠2出的度

再利用三角形內(nèi)角和求出∠??的?度+數(shù)∠?．??

數(shù)．∠1

∠1

【答案】(1)；；

(2)∠1∠2∠?

【分∠析1】=本13題2°考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；

（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，，然后可得答案；

（2）思路一：先在中利用三∠2角=形∠內(nèi)3角+∠和?定理∠1求=出∠2+∠4的度數(shù)，再在中利用三角形內(nèi)

角和定理求出的△度?數(shù)??；∠???+∠???△???

思路二：先利用∠1三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)．

【詳解】（1）解：∵是的外角∠，2是的外角，∠1

∴，∠2△???，∠1△???

∴∠2=∠3，+∠?∠1=∠2+∠4

∴∠2>∠?∠1>，∠2

故答∠1案>為∠：2>∠；?；；

（2）思路一：∠1在∠2∠中?，，

∴△???∠?+∠3+∠???+∠???+∠4=180°，

在∠???+中∠，???=180°?∠??∠3?∠4，=180°?67°?25°?40°=48°

∴△???∠1+∠???+∠???=180°；

思路∠1二=：1∵80°?是∠???+的∠外??角?，=180°?48°=132°

∴∠2△???，

∵∠2是=∠3+∠的?外=角25，°+67°=92°

∴∠1△???．

∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°

【題型4三角形的外角性質(zhì)與折疊問題】

【例4】如圖，在中，，點，分別是，延長線上的一點，連接，，將

沿折疊得到△??，?若∠???=，9則0°?的?度數(shù)是（???）?????△???

??△???∠?=50°∠???

A．B．C．D．

【答案】3C0°25°20°35°

【分析】本題考查的知識點是折疊性質(zhì)、外角性質(zhì)，幾何圖形中角度計算問題，解題關(guān)鍵是熟練掌握折疊性

質(zhì)．

由折疊性質(zhì)可得，，，再由外角性質(zhì)推得即可得

解．∠?=∠?=50°∠???=∠???∠???=∠???+∠???+∠?

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得，，，

點，分別是，延長線上∠?的=一∠點?，=50°∠???=∠???

∵??????，

∴∠???、=∠???分=別9是0°、的外角，

∵∠???∠???△?，??△???，

∴∠???=∠???+∠???∠???=∠???+∠?，

∴即∠???=∠???+∠??，?=∠???+∠???+∠?

2∠???+50．°=90°

∴故∠選?：??．=20°

【變式4C-1】如圖，在中，，將沿著直線折疊，點在落點的位置，則的大

°

小是度．△???∠?=40△??????∠1?∠2

【答案】80

【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)折疊得到，

，利用得到，，根據(jù)三角形內(nèi)∠?角=和∠定?理=得40到°∠5=

11

∠4+∠2∠5+∠4=180°∠4=90°?2∠2∠5=90°+2∠2∠3=

，再利用外角性質(zhì)得到，由此求出的度數(shù)．

1

【5詳0°解?】2∠解2：如圖，∠1+∠3=∠5+∠?∠1?∠2

由折疊得，，

∵∠?=∠?，=40°∠5=∠4+∠2

∴∠5+∠4=180°，

∴∠5=180°?∠4，得，

1

∴180°?∠4=∠4，+∠2∠4=90°?2∠2

1

∵∠5=90°+2∠2，即，

1

∴∠4+∠2+∠3+，∠?=180°90°?2∠2+∠2+∠3+40°=180°

1

∵∠3=50°?2∠2,

∴∠1+∠3=∠5+∠?

11

∴∠1+50°?2∠2=90°+2∠2+40°

故答∠1案?為∠280=．80°

【變式4-2】如圖，在中，，D，E分別為，上一點，將，分別沿，

折疊，點A、B恰好△重??合?于點∠?處?．?=若90°，則????．△???△?????

′′

???∠???=16°∠???=

【答案】/127度

【分析】由12折7°疊性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)分析計算．

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得，，，

'′

∴∠???=∠???∠???=∠???∠???=∠???

′′

∵∠???=∠?，??+???=90°

′

∴∠???=90°∠???=16°

′

∠???=106°

∴

′

∴∠???=53°，

′′

∴∠???=∠????∠???=37°，

故答∠?案??為=：∠???．+∠???=127°

【變式4-3】將127°的頂角A沿直線DE折疊（如圖），點A的對應(yīng)點為點，記為，為．

′′′

△????∠???∠1∠???∠2

(1)如圖1，當(dāng)點A的對應(yīng)點落在內(nèi)部時，試探求，與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

′

(2)如圖2，當(dāng)點A的對應(yīng)點?落在△???外部時，，∠與1∠又2有∠怎?樣的數(shù)量關(guān)系呢？請寫出猜想，并給

′

予證明．?△???∠1∠2∠?

【答案】(1)，理由見解析

(2)∠1+∠2=，2∠證?明??見解析

【分∠析1】?此∠2題=主2要∠?考?查?折疊的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握折疊前后圖形對應(yīng)角度相等和三角形的外角等

于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．

（1）利用三角形兩次外角定理得出結(jié)論；

（2）由三角形外角定理，再由折疊可得即可得出結(jié)論．

′

【詳解】（1）解：，∠理?由??見=解∠析?：??

如圖1，連接，∠1+∠2=2∠???

′

??

是的外角，

′

∵∠1△???．

′′

∴同∠理1，=∠???+∠???．

∠2=∠???′+∠??′?．

′′′′

∴由∠折1疊+性∠2質(zhì)=得∠???+∠???．+∠???+∠???

′

∠???=．∠???

∴∠1+∠2=2∠???

（2），證明如下：

如圖∠21，?連∠接2=2，∠???

′

??

是的外角，

′

∵∠1△???．

′′

∴同∠理1，=∠???+∠???．

∠2=∠???′+∠??′?．

′′′

∴由∠折1疊=性∠質(zhì)??得?+∠???+∠??．?+∠???

′

∠???=，∠???

∴∠1=2∠???+∠2．

【∴題∠型1?5∠2三=角2形∠?的?外?角性質(zhì)與單角平分線】

【例5】如圖，在中，是邊上的高，是的平分線，，交于點．若

，則的△度?數(shù)??是（??）????∠????????∠???=80°,∠???=

52°∠???

A．B．C．D．

【答案】2C8°38°42°62°

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，角平分線的有關(guān)計算，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握各知識點并靈

活運用是解題的關(guān)鍵．

由直角三角形銳角互余以及角平分線得到，再由三角形的外角性質(zhì)得到

，即可求解．∠???=∠???=38°∠???=

【∠詳??解?】?解∠?：?∵?是邊上的高，

∴，????

∴∠???=90°，

∵∠?是??=90的°?平∠分?線??，=90°?52°=38°

∴??∠???，

∠???=∠???=38°

∴，

故選∠?：??C．=∠????∠???=80°?38°=42°

【變式5-1】如圖，的外角的平分線交的延長線于點，若，則的值是

（）△???∠????????∠???=88°∠?+∠?

A．B．C．D．

【答案】4B4°46°45°43°

【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵在于能夠巧妙的運用三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義求解．

先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求得的度數(shù)，再利用角平分線的定義求得的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)：

三角形的一個外角等于與它∠?不??相鄰的兩個內(nèi)角之和．可知的度∠數(shù)?即??為的值．

【詳解】解：．∠???∠?+∠?

∵∠???=88°．

∴∠??平?分=180°．?∠???=180°?88°=92°

∵??∠???．

11

∴∠???是=2∠???的=外2角×．92°=46°

∵∠???△???．

∴故∠選?：+B∠．?=∠???=46°

【變式5-2】如圖，是的角平分線，B、C、E共線，則、、之間的數(shù)量關(guān)系是（）

??△??????

A．B．C．D．

【答案】?C+?=?2???=?2???=?2???=?

【分析】本題考查的是三角形的角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，先設(shè)，利用外

角可得，，再進(jìn)一步可得結(jié)論．∠???=∠???=?°

【詳解】?解=：?∵+?是?=?+的2?角平分線，

∴設(shè)??△??，?

∴∠???=，∠???=?°，

∴?=?+?，?=?+2?

?=???

∴，

故選?=C?+2???=2???

【變式5-3】如圖，在中，點和分別是，上一點，，的平分線交于點，

是的外角，若△???，??，????，則，??∥，??三者∠?間?的?數(shù)量關(guān)系是?（?）?∠???

△???∠???=?∠???=?∠???=????

A．B．C．D．

【答案】?D=?+??=2??2??=?+2??=2???

【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知

，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠???=，

?利?用?三角形外角的性質(zhì)可知∠???=2∠?，?整?理=可2得?：??．∠???=∠???=?

【詳解】解：是的?平=分?線+，2????=2???

∵??，∠???

∴∠???是=2∠???的外角，

∵∠???△???，

∴∠???=∠???+∠???，

∴∠???=∠????，∠???=???

∴∠???=，2???

∵??∥??，

∴又∠???=是∠???=?的外角，

∵∠???△???，

∴∠???=∠???+，∠???

∴整?理=得?：+2???．

故選：D?．=2???

【題型6三角形的外角性質(zhì)與雙角平分線】

【例6】在中，，的平分線交于點O，的外角平分線所在直線與的平分線交于

點D，與△??的?外角∠平??分?線交∠?于?點?，下列結(jié)論：①∠???；②∠；?③??；

112

④∠???．?∠???=90°+2∠?∠?=2∠?∠?=3∠?

其中∠?所+有∠正??確?結(jié)=論90的°序+號∠?是??（）

A．①②B．③④C．①②④D．①②③④

【答案】C

【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定

義和三角形的外角性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵；

由角平分線的定義可得，再由三角形的內(nèi)角和定理可求解

11

∠???+∠???=2∠??，?即+可∠?判?定?①=；9由0°角?平2∠分?線的定義可得，結(jié)

11

∠合?三??角=形1外8角0°的?性(∠質(zhì)??可?判+定∠?②?；?)由=三9角0°形+外2∠角?的性質(zhì)可得∠，?再??利=用2角∠?平?分?線的

定義及三角形的內(nèi)角和定理可判定③；利用三角形外角的性∠?質(zhì)?可?+得∠???=180°+∠?，結(jié)合

可判定④；∠?+∠???=90°+∠???

【∠詳??解?】=解∠：???，的平分線交于點，

∵∠???∠???，?，

11

∴∠???=∠???=2∠???∠???=∠???=2∠???，

111

∴∠???+∠???=2∠???+∠???=2180°?∠?=90°?2∠?，

11

∴故∠①?正??確=，1符80合°?題意∠；???+∠???=180°?90°?2∠?=90°+2∠?

平分，

∵??∠???，

1

∴∠???=2∠???，，

∵∠???=∠???+∠?∠???，=∠???+∠?

∴2∠???+2，∠?=∠???+∠?

1

∴故∠②?正=確2，∠?符合題意；

如圖，

，，，

∵∠???=∠?+∠???∠???=∠?+∠???∠???+∠?，+∠???=180°

∴∠?平??分+∠???，=∠平?分+∠???，+∠???+∠?=180°+∠?

∵??∠?????∠???

，，

∴∠???=2∠???∠???=2，∠???

1

∴∠???+∠???=90°+2∠?，

1

∴∠?=180°?∠??，?+∠????90°?2∠?

∴故∠③?錯=誤18，0不°?符2合∠?題意；

，

∵∠???=∠???+∠?，

11

∴∠?+∠???=9，0°?2∠?+∠???+2∠?=90°+∠???

∵∠???=∠???，

∴故∠④?正+確∠?，?符?合=題90意°+；∠???

綜上正確的有：①②④；

故選：C

【變式6-1】如圖，，點，是射線，上的動點，的平分線和的平分線所在

°

直線相交于點，則∠???=的1大00小為（?）?????∠???∠???

?∠???

A．B．C．D．隨點，的移動而變化

°°°

【答案】5A06080??

【分析】本題考查了三角形外角性質(zhì)和角平分線定義的應(yīng)用．根據(jù)角平分線定義得出，

，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，求出∠???，=即2可∠?求??出答案．

【∠詳?解??】=解2：∠?∵??平分，平分，2∠?+∠???=∠?+∠???∠?=2∠?

∴??，∠?????，∠???

∵∠???=2∠???∠???=2∠?，??，

∴∠???=2∠???=∠?，+∠???∠???=∠?+∠???

∴2∠???=∠?+∠???，

∴∠???=2∠?+∠???，

∴2∠?+∠??，?=∠?+∠???

∠?=2∠?

∵，

∴∠?=100．°

故選∠?：=A5．0°

【變式6-2】如圖，AB∥CD，的平分線和的平分線的反向延長交于點E，且，

則度．∠?????∠?????3∠??5∠?=172°

∠?=

【答案】28

【分析】延長DC，交BG于M，設(shè)BG、EC交于點N，設(shè)，利用平行線的性質(zhì)及外

角的性質(zhì)可得①，利用角平分線的定∠義??和?三=角2形?,∠的?內(nèi)??角=和2定?理可得

②，再由2?①=②1整80理°?得2出?+∠?③，結(jié)合已知條件即可求解．?+∠?=180°?

【?詳+解∠?】3∠??∠?=180°

延長DC，交BG于M，設(shè)BG、EC交于點N，

設(shè)，

∠???=2?,∠???=，2?

∴A∠B??C?D=，180°?2?

∵∥，

∴∠???=∠???=2?，即①，

∴∠???的=平∠分?線??+和∠?的2?平=分1線80°?的2反?+向∠延?長交于點E，

∵∠?????∠，?????

∴∠???=?,∠???=?，

∴在∠???=和180°?∠中?，??=180°??，

△???△???∠???，=即∠???②，

∴聯(lián)∠立?①??②+，∠可?整=理∠?得??+∠??+∠?③=，180°??+∠?

④3∠，??∠?=180°

∵聯(lián)3立∠③??④5，∠可?整=理17得2°，

，7∠?=196°

∴∠?=28°

故答案為：28．

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握

知識點并準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

【變式6-3】【數(shù)學(xué)模型】

“8字型”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成．如圖1，

交于點，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是”，不難得出兩個三角形中的角存在以下關(guān)系：①??（,?對?

頂角相?等）；②180．°∠???=∠???

∠?+∠?=∠?+∠?

【提出問題】分別作出和的平分線，兩條角平分線交于點，如圖2，與，之間是否存

在某種數(shù)量關(guān)系呢？∠???∠????∠?∠?∠?

【解決問題】為了解決上面的問題，我們從特例開始探究．已知的平分線與的平分線交于點．

(1)如圖2，，，則的度數(shù)是多少呢？∠???∠????

易證∠?=30°∠?，=50°∠?

請你完∠?成+后∠續(xù)1的=推∠?理+過∠程3：∠?+∠4=∠?+∠2

______

∴∠?，+∠1分+別∠是?+∠4=，的平分線

∵????，∠???∠???

∴∠1=∠_2___∠__3=∠4

又，

∴2∠?=

∵∠?_=__3_0_°_度∠．?=50°

∴(2∠)在?總=結(jié)前面問題的基礎(chǔ)上，借助圖2，直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系是：______．

【類比應(yīng)用】∠?∠?∠?

(3)如圖3，的平分線與的平分線交于點．

已知：∠??，?，??∠?則??_____?_?．（用?、表示）

【答案】∠(?1)=?∠?=?，?<?∠，?=??

(2)2∠?+∠3+∠2∠?+∠?40°

1

(3)∠?=2∠?+∠?

1

【分∠析?】=本2題?主?要?考°查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，掌握角平分線

的性質(zhì)和等量代換是解題的關(guān)鍵．

（1）由題意易得，，然后再兩式相加后，再根據(jù)角平分線的定義進(jìn)

行化簡，最后將∠?+∠1=、∠?+∠3代∠入?計+算∠4即=可∠；?+∠2

（2）利用（1）的∠相?關(guān)=結(jié)30論°即∠可?解=答50；°

（3）如圖3，延長交于點F，由三角形外角的性質(zhì)，可得，又由角平分線的

性質(zhì)可得????，，∠?再??代=入∠?+∠???+∠?進(jìn)行化簡

11

可得∠???=∠???,最=后2將∠???∠、???=∠?代?入?即=可2∠解??答?．∠?=∠?+∠????∠???

1

【詳解∠】?（=12）∠解?：?如∠?圖2，∵∠?=?∠?=?，，

∴∠?+∠1=，∠?+∠3∠?+∠2=∠?+∠4

∵∠?平+分∠1+∠?，+∠平4=分2∠?+，∠3+∠2

∴??∠，?????，∠???

∴∠1=∠2∠3=，∠4

2∠?=∠?，+∠?

∵∴∠?=30°∠?=50°

11

故答∠?案=為2：∠?+∠?=23，0°+50°=，40°；

（2）解：由（2∠1?）+可∠得3+∠2∠?+∠?，4即0°

1

故答案為2∠?；=∠?+∠?∠?=2∠?+∠?

1

（3）解：如∠?圖=32，∠延?長+∠?交于F，

????

∵，

∴∠???=∠?+∠???，

∵∠?平??分=∠??，?+∠平?分=∠?+,∠???+∠?

∴??∠?????∠?，??，

11

∵∠???=∠???=2∠???，∠???=∠???=2∠???

∴∠?+∠???=∠?+∠???

1

∠?=∠?+∠????∠???=∠?+∠????2∠???，

11

=∵∠?+∠?，???2∠，?+∠???+∠?=2∠??∠?

∴∠?=?∠?=．?

1

∠?=2???

故答案為．

1

∠?=2???

【題型7求多個角度度數(shù)的和】

【例7】如圖，．

∠?+∠?+∠?+∠?+∠?=

【答案】

【分析】本18題0°主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得

，則由三角形內(nèi)角和定理可得答案．∠?+∠???=

【∠詳??解?】,∠解?+；∠∵?=∠???，

∴∠?+∠???=∠???,∠?+∠?=∠???．

故答∠?案+為∠：?+∠?．+∠?+∠?=∠???+∠?+∠???=180°

【變式7-1】1如80圖°，已知，則為．

∠???=120°∠?+∠?+∠?+∠?+∠?+∠?°

【答案】

【分析】本24題0考查了三角形的外角性質(zhì)，由三角形外角性質(zhì)得，，

，即得∠1=∠?+，∠進(jìn)?而∠即2可=求∠解?+，∠正?確識∠?圖+是∠解?題=

∠的1關(guān)+鍵∠．2=∠???=120°∠?+∠?+∠?+∠?=∠1+∠2=120°

【詳解】解：由三角形外角性質(zhì)可得，，，，

∴∠1=，∠?+∠?∠2=∠?+∠?∠?+∠?=∠1+∠2=∠???=120°

∴∠?+∠?+∠?+∠?=∠1+∠2=120°，

故答∠?案+為∠：?+∠?．+∠?+∠?+∠?=120°+120°=240°

240

【變式7-2】用三種不同的方法求圖中五角星形的度數(shù)．

∠?+∠?+∠?+∠?+∠?

【答案】見解析

【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)；

解法一：如圖①，證明，．結(jié)合，即可得到

答案；∠???=∠?+∠?∠???=∠?+∠?∠???+∠???+∠?=180°

解法二：如圖②，作射線，同理可得：，結(jié)合，可得

，再結(jié)合三角??形的內(nèi)角和定∠理?可??得=答∠案?；+∠?+∠???∠???=∠???∠???=∠?+

∠解?法+三∠：??如?圖③，連接，證明，結(jié)合，進(jìn)一步可得

答案．??∠???+∠???=∠?+∠?∠?+∠???+∠???=180°

【詳解】解法一：如圖①，

，分別是，的外角，

，∵∠???∠???．△???△???

∴在∠???=中∠，?+∠?∠???=∠?+∠?，

△???∠???+∠???+∠?=．180°

∴即∠?+∠?+∠?+∠?+∠?=180°．

解法∠?二+：∠如?圖+∠②?，+作∠射?線+∠?，=180°

??

同理可得：，

∵∠???，=∠?+∠?+∠???

∴∠???=∠???，

又∠???=∠?+∠?+∠???，

∵∠?+∠???+∠?=180°．

∴解∠法?三??：+如∠圖?③+，∠?連+接∠?+，∠?=180°

??

在中，，

在△???中，∠???+∠???+∠???=，180°

△???∠?，+∠?+∠???=180°

∵∠???=∠???．

∴在∠???+中∠，???=∠?+∠?，

△???∠?+∠???+∠???=180°，

∴∠?+∠???+∠???+∠???+∠???=，180°

∴即∠?+∠???+∠???+∠?+∠?=180°．

【變∠式?+7-∠3】?+計∠算?不??規(guī)+程∠圖??形?中+多∠個?=角1的8度0°數(shù)和：

(1)如圖①所示是一個五角星，你能計算出的大小嗎？

?????∠?+∠?+∠?+∠?+∠?

(2)在圖②③④⑤中，上面的結(jié)論還成立嗎？不必說明理由．

（注：在圖②中，相當(dāng)于圖①中的）

【答案】(1)∠???∠?

(2)成立180°

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角和定理．

（1）根據(jù)三角形外角和定理將五個角轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi)，可得答案；

（2）仿照（1），解答②，再連接，標(biāo)注和的交點為F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答③，再仿照③

解答④⑤即可．??????

【詳解】（1）解：如圖11-3-12①所示，

∵，，

∴∠?+∠?=∠1∠?+∠?=∠2．

（2∠）?解+：∠圖?②+∠成?立+，∠?+∠?=∠1+∠2+∠?=180°

∵是的外角，

∴∠???△???，

∵∠???=∠?+∠?，

∴∠?+∠???+∠???+∠?=180°，

圖∠②?成+立∠；?+∠?+∠???+∠?=180°

如圖③，連接，標(biāo)注和的交點為F，

??????

∵，，且，

∴∠?+∠?+∠???=180°．∠???+∠???+∠???=180°∠???=∠???

∵∠?+∠?=∠???+∠???，

∴∠?+∠???+∠???+∠???+∠???=．180°

圖∠③?成+立∠；???+∠???+∠?+∠?=180°

如圖④，連接，標(biāo)注和的交點為F，

??????

∵，，且，

∴∠?+∠?+∠???=180°．∠???+∠???+∠???=180°∠???=∠???

∵∠?+∠?=∠???+∠???，

∴∠?+∠???+∠???+∠???+∠???=，180°

圖∠④?成+立∠；?+∠???+∠???+∠?=180°

如圖⑤，連接，標(biāo)注和的交點為F，

??????

∵，，且，

∴∠?+∠?+∠???=180°．∠???+∠???+∠???=180°∠???=∠???

∵∠?+∠?=∠???+∠???，

∴∠?+∠???+∠???+∠???+∠???=．180°

圖∠⑤?成+立∠．?+∠???+∠???+∠?=180°

1．如圖，點B，C分別在∠EAF的邊AE，AF上，點D在線段AC上，則下列是△ABD的外角的是（）

A．∠BCFB．∠CBEC．∠DBCD．∠BDF

【答案】D

【分析】三角形的一邊與另一邊的反向延長線組成的角，叫做三角形的外角．

【詳解】解：△ABD的一個外角是∠BDF，

故選：D．

2．如圖，D，E兩點分別在的兩邊，上，連接，已知，則（）

△?????????∠1+∠2=?∠?=

A．B．C．D．

【答案】?C?90°180°????180°360°??

【分析】本題考查鄰補(bǔ)角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．

先根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．

【詳解】解：∵∠???+∠?，??=360°