第14講等腰三角形

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

【知識點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)】

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）．

如圖，在ABC中，AB=AC，作底邊BC的中線AD，則BD=CD.

在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD?！唷鰽BD≌△ACD（SSS），

∴∠B=∠C。這樣就證明了“等邊對等角”.

由△ABD≌△ACD，還可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，從而AD⊥BC.這也就證明了等腰三角形ABC

底邊上的中線AD平分頂角∠A并垂直于底邊BC.用類似的方法，還可以證明等腰三角形頂角的平分線平分

底邊并且垂直于底邊，底邊上的高平分頂角并且平分底邊，這也就證明了等腰三角形“三線合一”.

【知識點(diǎn)2等腰三角形的判定】

1.定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．

數(shù)學(xué)語言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．

【知識點(diǎn)3作一個(gè)等腰三角形】

尺規(guī)作圖：已知等腰三角形的底邊長為a，底邊上高的長為h（如圖），求作這個(gè)等腰三角形.

作法：如圖（2）

①作線段AB=a；②作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點(diǎn)D；③在MN上取一點(diǎn)C，使DC=h；

④連接AC，BC，則△ABC就是所求作的等腰三角形.

【題型1利用等邊對等角直接求角度】

【例1】如圖，在等腰中，，是的角平分線．若，則的度數(shù)為（）

△?????=????△???∠???=40°∠???

A．B．C．D．

【答案】7B0°75°105°125°

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識點(diǎn)．熟練掌握等腰三

角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到，再根據(jù)是的角平分線得到

180°?40°

，然后利用三角形∠?外?角?=性∠質(zhì)?計(jì)=算即2可．=70°??△???∠???=

1

【2詳∠?解??】=解3：5∵°等腰中，，，

∴△???，??=??∠???=40°

180°?40°

∵∠?是??=∠?的=角平2分線=，70°

∴??△???，

1

∴∠???=2∠???=35°．

故選∠?：??B．=∠???+∠?=35°+45°=75°

【變式1-1】如圖，中，，，將折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕交

于D，交于E，△若???∠，?則??>的∠度?數(shù)∠為?=70°．△???????

????=??∠?

【答案】/度

【分析】本35題°3考5查了翻折變換（折疊問題），等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角

和定理、等腰三角形的性質(zhì)先求出AEC的度數(shù)，再利用折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出．

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知：∠，，∠?

1

，，∠???=∠???=2∠???∠???=∠???=90°

∵??=??∠?=7，0°

∴∠???=∠?=70°，

1

∴∠???=2180°?∠??，?=55°

∴故∠答?案=為90：°?55．°=35°

【變式1-2】3如5圖°，在中，為上一點(diǎn)，且，，求的度數(shù)．

△????????=??=????=??∠?

【答案】

【分析】本36題°考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，掌握等邊對等角的性質(zhì)是

解題關(guān)鍵．由等邊對等角的性質(zhì)可得，，，再利用三角形內(nèi)角和

定理求解即可．∠?=∠???∠?=∠?∠???=∠???=2∠?

【詳解】解：，

∵，??=??

∴∠?=∠???，

∴∠???=∠?+∠，???=2∠?

∵??=??，=??，

∴∠?=∠?∠???=∠???=2∠，?

∴∠???=∠???+∠???=，3∠?

∵∠?+∠?+∠，???=180°

∴5∠?=180°

【∴變∠式?=1-336】°如圖，在中，，是角平分線，是高，，，求和

的度數(shù)．△?????>????????=??∠???=10°∠???∠?

【答案】，

【分析】本∠?題??考=查4了5°三角∠?形=的2高5與°角平分線、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角

形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)角

平分線的定義可得，然后根據(jù)∠三?角=形∠?的?內(nèi)?角=和45定°理求解即可∠得??．?=55°

【詳解】解：∵在∠???中=，2∠??是?高=，110°，

∴△?，??????=??

∵∠?=∠???=，45°

∴∠???=10°，

∵∠在???=∠中?，??+是∠?角?平?分=線55，°

∴△?????，

∴∠???=2∠???=110°．

【題∠型?=218方0程°?思∠想??求?角?度∠】?=25°

【例2】如圖，在中，，P為內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交，于點(diǎn)M，N，

若M在的垂直△平?分??線上，∠N??在?=的54垂°直平分△線?上??，則的度數(shù)為（）??????

????∠???

A．B．C．D．

【答案】1C04°106°117°136°

【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，熟練掌握

等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得

，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊對等角求得，∠???，+再利用

∠三?角?形?的=外12角6°性質(zhì)和平角定義求解即可．∠???=∠???∠???=∠???

【詳解】解：∵在中，，

∴△???∠???=5，4°

∵∠M?在??+的∠垂?直??平=分1線8上0°，?N∠?在=1的26垂°直平分線上，

∴??，，??

∴??=????，=??，

∠???=∠???∠???=∠???

∴，

∴∠???+∠???=2∠，???+2∠???=126°

∴∠???+∠???=63°，

故選∠?C??．=180°?∠???+∠???=117°

【變式2-1】如圖，在中，、分別垂直平分和，垂足為M，N．且分別交于點(diǎn)D，E．若

，則△的??度?數(shù)為?（?）????????

∠???=40°∠???

A．B．C．D．

【答案】1C00°105°110°120°

【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、等邊對等角、三角形內(nèi)角和等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用等邊對

等角成為解題的關(guān)鍵．

由線段垂直平分線的性質(zhì)得，，則，，再由三角形內(nèi)角和定理得

，進(jìn)而?完?成=解?答?．??=??∠?=∠???∠?=∠???

【∠詳??解?】+解∠：??∵?=8、0°分別垂直平分和，

∴，????，????

∴??=???，?=??，

∵∠?=∠???，∠?=∠???，

∵∠???=40°∠?+∠?+∠???=180°，

∴∠?+∠???+∠?+∠???，=180°?40°=140°

∴2∠???+2∠???=1，40°

∴∠???+∠???=70°．

故選∠?：??C．=∠???+∠???+∠???=70°+40°=110°

【變式2-2】如圖，中，，垂直平分，垂直平分，則的度數(shù)為．

△???∠???=67°????????∠???

【答案】/度

【分析】本23題°考23查線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平

分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得到

，，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算求解即可．

∠???=∠???∠???=∠???∠???=∠???

【詳解】解：垂直平分，垂直平分，

，∵??，??????

∴??=????，=??

∴??=??=??，，，

∴∠???=∠???∠???=∠???∠???=∠???

∵∠???+∠???+???=180°，即，

∴2∠???+2∠???+2∠???=，180°2∠???+∠???+2∠???=180°

∵∠???+∠???=∠???=67°，

∴2∠???=180°?2×67°=46°

1

∴故∠答?案??為=：×4．6°=23°

2

【變式2-3】如23圖°，在中，、分別為、邊上的點(diǎn)，，．若，

則的度數(shù)為△．???????????=????=??=??∠???=130°

∠?

【答案】

【分析】本30題°考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，設(shè)，由可得

，即得，得到，進(jìn)而可∠?得=???=??，∠???=

∠?=?∠???，=再∠?得+到∠???=2?∠，?最??后=根∠據(jù)???=2?列出方∠程?即??可=求1解80，°?掌4握?以∠上??知?識=

3

∠點(diǎn)?是??解+題∠的?關(guān)??鍵=．3?∠???=∠?=2?∠???=130°

【詳解】解：設(shè)，

∵，∠?=?

∴??=??，

∴∠???=∠?=?，

∵∠???=，∠?+∠???=2?

∴??=??，

∴∠???=∠???=2?，，

∵∠???=，180°?2??2?=180°?4?∠???=∠???+∠???=?+2?=3?

∴??=??，

∵∠???=∠?，

∴∠???+∠?=∠?，??

3

∴∠???=∠?=2?,

35

∠???=∠???+∠???=180°?4?+2?=180°?2?

∵，

∴∠???=130°，

5

∴180°?2，?=130°

∴?=20°，

3

故答∠?案=為2：×20°．=30°

【題型3分3類0°討論思想求角度】

【例3】等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（）

A．B．或C．50°或D．

【答案】4C0°40°130°40°140°140°

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問題要全面，必要的時(shí)候可以做

出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解決本題的關(guān)鍵．分別從此等腰三角形為銳角三角形與鈍角三角形

去分析求解即可求得答案．

【詳解】解：①當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖1，

∵，，

∴∠???=50°??⊥?，?

∴∠三?角=形9的0°頂?角50為°=40；°

②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)40，°如圖2，

∵，，

∴∠???=50°??⊥??，

∵∠???=90°?50°=4，0°

∴∠???+∠???=180°

∠???=140°

∴三角形的頂角為，

故選C．140°

【變式3-1】已知是的高，，，則的度數(shù)為．

【答案】或??△?????=??∠???=50°∠?

【分析】本20題°考7查0°了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況討論是解題的關(guān)

鍵．當(dāng)高在等腰三角形外部時(shí)；當(dāng)高在等腰三角形內(nèi)部時(shí)；然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．

【詳解】解?：?當(dāng)高在等腰三角形外部時(shí)?，?如圖：

??

，

，∵??⊥??

∴∠???=90°，

∵∠???=50°，

∴∠???是=90°?是∠?的?外?=角4，0°

∵∠???△???，

∴∠???=，∠???+∠?=40°

∵??=??；

∴當(dāng)∠高???在=等∠腰?=三2角0形°內(nèi)部時(shí)，如圖：

??

，

，∵??⊥??

∴∠???=90°，

∵∠???=50°，

∴∠???=，90°?∠???=40°

∵??=??，

180°?∠?

∴綜∠上?所??述=：∠?=的度數(shù)2為=70或°，

故答案為：∠?或20°70°

【變式3-2】20°中70，°，邊的垂直平分線交直線于點(diǎn)M，交于點(diǎn)D，若，則

△?????=????????????=??∠???

的度數(shù)為．

【答案】或

【分析】本36題°考7查2°了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，

根據(jù)題意畫出示意圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，分2種情況①點(diǎn)M在邊上，②點(diǎn)M在延長線上，連

接，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再由等腰三角形的性?質(zhì)?分別得到??，

??，，設(shè)??=??，結(jié)合圖形利用三角∠?形?內(nèi)?角=和∠?定?理?列出方

∠程?，??解=出∠?的?值?即∠可?得??出=答∠案?．??∠???=∠???=∠???=?

【詳解】解?：①若點(diǎn)M在邊上，如圖，連接，

????

，

，∵??=??

∴∠??是?=邊∠?的??垂直平分線，

∵????，

∴??=??，

∴∠???=∠???，

∴∠???=，∠???+∠???=2∠???

∵??=??，

∴設(shè)∠???=∠???，則，

在∠???=中∠，???=∠???=?，∠???=∠???=2?

解得△：????，+2?+2?=180°

?=36°；

∴②∠若?點(diǎn)??M=在36°延長線上，如圖，連接，

????

，

，∵??=??

∴∠??是?=邊∠?的??垂直平分線，

∵????，

∴??=??，

∴∠???=∠，???

∵??=??，

∴∠???=∠???

，

∴設(shè)∠???=∠???+∠???=2∠，?則??，

?

在∠???=中∠，???=∠???=?，∠???=2

?

解得△：????，+?+2=180°

?=72°；

∴綜∠?上?所?述=，72°的度數(shù)為或．

∴故答案為：∠?或??．36°72°

【變式3-3】3如6圖°，72°，點(diǎn)A在上，垂直平分分別交、于點(diǎn)B、C．點(diǎn)D在射線

上，不與點(diǎn)O、B重∠?合?，?當(dāng)=32°是等腰?三?角形時(shí)??，求?的?度數(shù)．??????

△???∠???

【答案】或或

【分析】由96線°段9垂0°直平8分4°線的性質(zhì)推出,由等腰三角形的性質(zhì)得,由三角形的外

角性質(zhì)得到，當(dāng)?時(shí)?，=得?到?,求∠出???=∠???，=當(dāng)32°時(shí)，得

到∠???=64°,求出??=??，當(dāng)∠???=時(shí)∠，??得?到=64°∠???=96°,由三角??形=內(nèi)?角?和定理

求出∠???=∠???,即=可58得°解．∠???=90°??=??∠???=∠???=64°

【詳解∠】??解?：=84°垂直平分,

,∵????

∴??=??,

∴∠???=∠???=32°,

∴由∠題?意??知=在∠???的+延∠長?線??上=，64°

當(dāng)?時(shí)?，?

??=??,

∴∠???=∠???=64°，

∴當(dāng)∠???=∠時(shí)?，??+∠???=32°+64°=96°

??=??,

1

∴∠???=∠???=2180°?64°=58°

∴當(dāng)∠???=∠時(shí)?，??+∠???=32°+58°=90°

??=??,

∴∠???=∠???=64°,

∴∠???的=度18數(shù)0°是?∠?或???或∠???.=180°?32°?64°=84°

∴∠???96°90°84°

【題型4“三線合一”的應(yīng)用】

【例4】如圖，在中，點(diǎn)、在邊上，，．求證：．

△?????????=????=????=??

【答案】見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，作于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再求

出，即可得證，熟練掌握等腰三角形的判?定?與⊥性??質(zhì)是解?此題的關(guān)鍵．??=??

【詳?解?】=證??明：作于點(diǎn)，

??⊥???

，

，∵??=??

∴??=??，

∵??=??，即，

∴??+??，=??+????=??

∵??⊥??．

【∴變??式=4-?1?】如圖，已知：，，．求度數(shù)．

1

∠1=∠2??=????=2??∠???

【答案】

【分析】本∠?題??考=查9了0全°等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．延長到點(diǎn)E，使得，

證明，得到，推出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)?求?解即可．??=??

【詳解△】?解??：≌延△長???到點(diǎn)E，?使?得=??，??=??

????=??

在和中，

△???△???

，

??=??

∠1=∠2

，

??=??

∴△???≌△，???SAS

∴??=??，

1

∵??=2??，

1

∴??=2??，

∴即?點(diǎn)?C=為??的中點(diǎn)，

??，

∵??=??，

∴??=?是?等腰三角形，

∴△?是??底邊上的中線，

∵??△?，??

∴??⊥??．

【∴變∠式???4-2=】9如0°圖，在中，，D、E、F分別在三邊上，且，，G為的中

點(diǎn)．△?????=????=????=????

(1)若，求的度數(shù)；

(2)求證∠?：=40垂°直平∠分???．

【答案】(1?)???

(2)見解析70°

【分析】該題主要考查了等腰三角形的判定及其性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定及其性質(zhì)等

知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．

（1）根據(jù)等邊對等角證明，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題．

（2）連接、；證明∠???=∠???，得到，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)證明，即可

解決問題?．???△???≌△???SAS??=????⊥??

【詳解】（1）解：∵，

∴，??=??

∵∠???=∠，???

∴∠?=40°．

180°?40°

（2∠）?證??明=：如圖2，連=接70°、；

????

在與中，

△???△???

，

??=??

∠?=∠?

∴，

??=??

∴△???≌，△???SAS

∵?G?為=?的?中點(diǎn)，

∴??，

∴??垂⊥直??平分．

【變?式?4-3】如圖??，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為底邊向上作等腰，使

得，交Rt△于?點(diǎn)??．∠???=90°?????△???

∠???=∠??????

(1)若，求的度數(shù)；

(2)若∠?=20°，求證∠?：．

【答案?】?(1=)????=2??

(2)見解析40°

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握等腰三角

形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

（1）由等腰，可得，由題意知，，則

，△根?據(jù)??∠???=∠???，計(jì)算∠求?解=即18可0；°?∠????∠?=70°∠???=∠???=

（∠2?）=如7圖0，°作∠?=于18，0則°?∠???+∠???，證明，則，進(jìn)而可得．

1

【詳解】（1）??解⊥：?∵?以?為?底?邊=向?上?作=等2?腰?△，???≌△???AAS??=????=2??

∴，??△???

由題∠?意?知?=，∠???，

∴∠?=180°?∠???，?∠?=70°

∴∠???=∠???=∠?=70°，

∴∠?的=度18數(shù)0°為?∠?；??+∠???=40°

（2∠）?證明：如圖4，0°作于，

??⊥???

∴，

1

∵??=??=2??，，，

∴∠???=90°=∠???，∠???=∠???=??

∴△???≌，△???AAS

∴??=??．

【題?型?=52?確?定等腰三角形的個(gè)數(shù)】

【例5】在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使得是等腰三角形，這

樣的點(diǎn)C可以找到的個(gè)數(shù)是（）?2,0?0,1△???

A．3B．5C．6D．8

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形的判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更形象直觀．根

據(jù)等腰三角形兩腰相等，分別以A、B為圓心以的長度為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C，

的垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也可以滿足?是?等腰三角形．??

【詳解】解：如圖，使得是等腰三角△形?，??這樣的點(diǎn)C可以找到8個(gè)．

△???

故選：D．

【變式5-1】如圖的正方形網(wǎng)格中，像點(diǎn)、點(diǎn)這樣網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以為邊的等腰三角形

的三個(gè)頂點(diǎn)都屬于格點(diǎn)，這樣的等腰三角?形的?個(gè)數(shù)（）?????

A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)

【答案】1A0864

【分析】本題考查了等腰三角形的定義，分為底和腰兩種情況解答即可求解，掌握等腰三角形的定義是解

題的關(guān)鍵．??

【詳解】解：如圖所示，分以下情況討論：

①當(dāng)為等腰底邊時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè)：、、、、、；

②當(dāng)??為等腰△???其中的一條腰時(shí)，符合?條件6的點(diǎn)有?1個(gè)?2：?3、?4、?5、?6；

∴點(diǎn)?的?個(gè)數(shù)是△???個(gè)，?4?7?8?9?10

故選：?A．6+4=10

【變式5-2】如圖，直線相交形成的夾角中，銳角為，交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，直線上存在點(diǎn)，

使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三?,角?形是等腰三角形，這樣的點(diǎn)52有°（）?????

?,?,??

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】D

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，根據(jù)為等腰三角形，分三種情況討

論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別求得符△合?的?點(diǎn)?B，即可得解．

【詳解】解?：?要=使??為等?腰?=三角??形分三種情??況=討?論?：

①當(dāng)時(shí)，△作?線??段的垂直平分線，與直線b的交點(diǎn)為B，此時(shí)有1個(gè)；

??=????

②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓，與直線b的交點(diǎn)，此時(shí)有1個(gè)；

??=????

③當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，與直線b的交點(diǎn)，此時(shí)有2個(gè)，

??=????

，

故選：D．1+1+2=4

【變式5-3】如圖，已知中，，，，若過的頂點(diǎn)的一條直線將分

割成兩個(gè)三角形，使其中△有??一?個(gè)邊長??為=66的等??腰=三1角0形?，?則=這14樣的直線△最?多??可畫（）△???

A．2條B．3條C．4條D．5條

【答案】C

【分析】此題主要考查了等腰三角形的定義，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用為底以及為腰得出符合

題意的圖形即可．????

【詳解】解：如圖所示，當(dāng)，時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形．

??=??=??=????=??

綜上，這樣的直線最多可畫4條．

故選：C．

【題型6尺規(guī)作等腰三角形】

【例6】如圖，已知，線段．用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖．（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）

∠??

(1)作出一個(gè)等腰三角形，使其底角，底邊長；

(2)作出一個(gè)等腰三角形???，使其底角=∠?，底邊上=的高?．

【答案】(1)圖見解析???=∠?=?

(2)圖見解析

【分析】本題主要考查等腰三角形的尺規(guī)作圖，需要利用直尺和圓規(guī)，深刻理解等腰三角形的性質(zhì)，即兩底

角相等；等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，即在等腰三角形中，頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高

線三條特殊線段重合為一條線段，根據(jù)給定的底角和底邊或高進(jìn)行作圖．解題的關(guān)鍵是利用已知條件，通

過得到頂角，或利用兩直線平行，同位角相等，來轉(zhuǎn)化相等的角．

（1）1先80作°?射2線?，再以點(diǎn)B為圓心，線段a的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)C，分別作，

交于點(diǎn)?，?則即為所求；??∠???=∠???=∠?

（?2?）先??作出?的補(bǔ)角△，??即?為等腰三角形的頂角，再作頂角的角平分線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”

的性質(zhì)，在角2?平分線上截取，過點(diǎn)作，∠分?別??交、于?點(diǎn)?、點(diǎn)，即得所求．

【詳解】（1）解：作法：先作??射=線?，再以?點(diǎn)?B?為⊥圓??心，線段a?的?長?為?半徑畫?弧，交?射線于點(diǎn)C，分別

????

作，交于點(diǎn)，則即為所求；

∠???=∠???=∠??????△???

（2）解：①原圖中，在角的一邊上作一個(gè)與相等的角，

②原圖中，延長已知角的?另一條邊，得到，?即，

°

③作，???=180?2?

④作∠???的=角?平分線，

⑤在∠??上?取點(diǎn)，使??，

⑥過點(diǎn)??作?，?分?別=交?、于點(diǎn)、點(diǎn)，

???⊥????????

【變式6-1】如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．請用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)求作一點(diǎn)，使

．（保留作圖痕跡△，??不?寫作∠法?）=40°??△????∠???=

70°

【答案】見解析

【分析】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)作圖可得

，進(jìn)而根據(jù)等邊對等角以及三角形的內(nèi)角和定義，即可求解．

【∠詳??解?】=解∠：?=如4圖0，°,??=??

根據(jù)作圖可得

∴∠???=∠?=40°,??=??

1

【變∠式??6?-2=】∠如?圖??，=為21直8線0°?外∠一?點(diǎn)??，點(diǎn)=7，0°在直線上，已知為銳角．請用尺規(guī)作圖法，在直線上求

作一點(diǎn)，使得??，（保留?作?圖痕跡，?不寫作法∠）????

?∠???=2∠???

【答案】見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．作線段的垂直平分

線交直線于點(diǎn)，再連接，得到，進(jìn)而得到，推出??，

最后以為?圓心?、的長?為?半徑畫?弧?，=交??直線于點(diǎn)∠，?得??到=∠???∠???=∠?，??點(diǎn)+即∠?為??所=求2．∠???

【詳解】?解：如圖，??點(diǎn)即為所求．??∠???=∠???=2∠????

?

【變式6-3】線段和C、D兩點(diǎn)的位置如圖所示，請用尺規(guī)作圖法在線段上作一點(diǎn)B，連接、、，

使得是以??為底邊的等腰三角形．（保留作圖痕跡，不寫作法）????????

△?????

【答案】見解析

【分析】作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，連接、即可．

本題考查作圖-復(fù)??雜作圖，等腰三角?形?的定?義，垂直?平?分?線?的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握尺規(guī)作垂

線的方法是解決問題．

【詳解】解：連接，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接、，則就是所求的以為底邊的等

腰三角形，如圖：???????????△?????

【題型7等腰三角形的判定與性質(zhì)】

【例7】如圖，已知點(diǎn)，分別是的邊和延長線上的點(diǎn)，作的平分線，若．

??△???????∠???????∥??

(1)求證：是等腰三角形；

(2)作△的?平??分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．

【答案∠】??(1?)見解析???∠?=50°∠???

(2)

【分6析5°】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識：

（1）根據(jù)角平分線的定義得，由平行線的性質(zhì)得，，可得，

可得出是等腰三角形∠；???=∠???∠???=∠?∠???=∠???∠?=∠???

（2）由（△1?）??知，得出，由角平分線定義得出，最后根據(jù)平行線

的性質(zhì)可得結(jié)論∠．???=∠?=50°∠???=130°∠???=65°

【詳解】（1）證明：∵平分

∴．??∠???

∵∠???=∠???

∴??∥??，．

∠???=∠?∠???=∠???

∴．

∴∠?=∠???是等腰三角形．

（2?）?解=：?∵?,△???，，

∴∠?=∠??．?∠?=50°

∴∠???=∠?=50°．

∵∠??平?分=180°，?∠???=130°

∴??∠???．

11

∵∠???=，2∠???=2×130°=65°

∴??∥??．

【變∠式??7?-1=】∠如?圖??，=在65°中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接，的垂直平分線EF交于點(diǎn)E，

交于點(diǎn)O，交于△點(diǎn)?F?，?連接??=，??．????????

????????

(1)求證：為等腰三角形；

(2)若△???，求的度數(shù)．

【答案∠】??(1?)見=解20析°∠???

(2)

【分∠析??】?本=題3主0°要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈

活運(yùn)用中垂線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而說明是的中垂線

可得，進(jìn)而得到??=?即?可證明結(jié)論；??⊥??????

（2）先??根=據(jù)?等?腰三角形的?性?質(zhì)=及?角?的和差可得，再根據(jù)中垂線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和可得

；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠???=40°，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答．

【∠詳??解?】=（501°）證明：∵是的中垂線，∠???=∠???=20°

∴，????

∵??=??，D為中點(diǎn)，

∴??=??（三線合??一），

∴??是⊥??的中垂線，

∴????，

∴??=??，

??=??

∴是等腰三角形．

（2△）解??：?∵，D為中點(diǎn)，

∴??=??（三?線?合一），

∴∠???=∠??，?=20°

∵∠?是??=的40中°垂線，

∴????，

∴??⊥??，

∵∠???=5，0°

∴??=??，

∵∠???=∠???=20°，

∴∠???=∠???+∠，???

∴50°=20°+．∠???

【變∠式??7?-2=】3已0°知如圖中，，平分，平分，過作直線平行于，

交，于，．△?????=6cm??=8cm??∠?????∠??????

??????

(1)求證：是等腰三角形；

(2)求△的??周?長．

【答案△】?(1?)?見解析

(2)

【分1析4c】m本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等．

（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，可得

，據(jù)此即可證得；∠???=∠???∠???=∠???∠???=

（∠2?）??同理（1）可得，根據(jù)的周長，求解即可．

【詳解】（1）證明：?∵?=??，△???=??+??+??+??=??+??

，??∥??

∴∠??平?分=∠???，

∵??∠???，

∴∠???=∠???，

∴∠???=，∠???

∴??=?是?等腰三角形；

（2△）解??：?∵，

??∥??

，

∴∠??平?分=∠??，?

∵??∠???，

∴∠???=∠???，

∴∠???=，∠???

∴∵??=??，，

∴??=6的cm周長?為?：=8cm

△?????+??+??

=??+??+??+??

=??+??+??+??

=??+??

=8+6．

【=變1式4cm7-3】如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，邊的垂直平分線交，，于點(diǎn)，，

，連接、．△?????=???????????????

?????

(1)求證：為等腰三角形；

(2)若△???，求的度數(shù)．

【答案∠】??(1?)見=解25析°∠???

(2)15°

【分析】本題主要考查等腰三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)．

（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，先求得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可求得．

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可求??得=??，根據(jù)三角形內(nèi)角?和?定=理??可求

1

得的度數(shù)，結(jié)合即∠?可??求=得∠答?案??．=2∠???=25°

【詳∠解??】?（1）證明：∠??為?線=段∠??的??垂∠直?平??分線，

．∵????

∴??=??，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∵??為=線??段的?垂?直?平分線．

∴??．??

∴??=??．

∴??=?為?等腰三角形．

△???

（2）解：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

為∵??的=平?分?線．???

∴??∠???．

1

∴∠???=∠??．?=2∠???=25°

∴∠???=50°．

∴∵∠???=為1等80腰°?三∠角?形??，?∠???=180°?90°?50°=40°

△???．

∴∠???=∠???=25°．

【∴題∠型??8?=等∠腰??三?角?形∠?與?全?等=三40角°?形2的5°綜=合1】5°

【例8】如圖，和是等腰直角三角形，，，垂足為F．

△???△???∠???=∠???=90°??⊥??

(1)求證：；

(2)判斷∠和???的=位∠置??關(guān)?系，并說明理由；

(3)求證：????．

【答案】(1?)見?解=析2??+??

(2)，見解析

(3)?見?解∥析??

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、線

段的和差等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形求解線段問題是解答的

關(guān)鍵．

（1）先根據(jù)等角的余角相等證得，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可得出，根

據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，即可得證；∠???=∠???∠???=∠???

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互

余求得即可得出，進(jìn)而證明∠??，?=即∠可?得=出4結(jié)5°論；

（3）延長∠???到=4，5使°得∠??，?根=據(jù)13全5等°三角形的判?定?∥與?性?質(zhì)證明，

?得?到??即?可=證??得結(jié)論．△???≌△???SAS△???≌△

【?詳??解A】A（S1）證?明?=：∵??，

∴∠，???=∠???=90°，

∴∠???+∠???，=90°∠???+∠???=90°

∠???=∠???

在和中，

△???△???

∵，

??=??

∠???=∠???

∴；

??=??

∴△???≌△???，SAS

∴∠???=∠???；

（2∠）?解??：=∠???，理由如下，

∵??∥?，?，

∴∠???=9，0°??=??

由（∠?1）=知45°，

∴△???≌△，???

∵∠???=，∠?=45°

∴??⊥??，

∴∠???=90°，

∴∠???=45°；

又∠∵???=∠?，??+∠???=45°+90°=135°

∴∠?=45°，

∴∠???+，∠?=180°

（3?）?證∥明??：延長到，使得，

?????=??

∵，

∴??⊥??，

在∠???=和∠???=中9，0°

△???△???

∴，

??=??

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌，△???SAS，

∵??=??∠???，=∠?

∴△???≌△，???，，

∴??=??，∠???=∠???，??=??

??=??∠???=∠???

∴，

∵∠???=∠???，

∴∠在???=∠和???=4中5°，

△???△???

，

∠???=∠???

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌，△???AAS

∵??=??，

∴??=??+??+．??=??+2??=??+2??

【變?式?=8-21】??如+圖??1，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A、D、E在同一直線

上，連接．△???△???∠???=∠???=90°

??

(1)①求證：；

②求的?度?數(shù)=；??

(2)如∠圖??2?，若為中邊上的高，，，請直接寫