第6章二維列聯(lián)表

6.1列聯(lián)分析的基本問題在醫(yī)學(xué)統(tǒng)計中，對變量較多而病例較少的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時，可以先使用列聯(lián)表尋找與被關(guān)注變量顯著相關(guān)的變量。首先看一個例子，對患者按病程分組，521例患者按病程長短分組得到表6-1的結(jié)果。病程小于1年1至5年5至10年10至15年15年以上合計人數(shù)（人）9087134104106521百分比（%）17.2716.725.7219.9620.35100表6-1從表6-1可以看出，521例患者病程分布相對比較均勻，5至10年的人數(shù)略多。研究還希望了解這些患者病情的嚴(yán)重程度，可以按病情嚴(yán)重程度分組，得到表6-2。病情人數(shù)（人）百分比（%）較輕529.98一般較重合計16330652131.2958.73100表6-2從表6-2可以看出，521例患者中病情嚴(yán)重的人數(shù)最多，占近60%。但是，病情嚴(yán)重是否就是病程長的？它們之間有什么關(guān)系？分布規(guī)律如何？將上面兩張表的數(shù)據(jù)進(jìn)行列聯(lián)分析，可以得到表6-3的結(jié)果。從表6-3可以得到比表6-1和表6-2更多的信息。病程10年以上的患者總的來說，病情較重。210名病程10年以上患者中病情較重的有165人，占78.57%；在病情較重的306名患者中，病程在10年以上的有165人，占53.93%。表6-3中有兩個變量，分別以X和Y表示病程和病情。病程病情小于1年1至5年5至10年10至15年15年以上合計較輕1618135052一般3733532911163較重3736687095306合計9087134104106521列聯(lián)表中的X和Y是否獨立，是二維列聯(lián)表獨立性檢驗要解決的問題。如果兩者獨立就沒有必要做過多的分析；如果不獨立，那么兩者相依程度有多大？X影響Y和Y影響X的程度是否相同？這是二維列聯(lián)表相關(guān)性度量要解決的問題。如果兩個變量沒有因果關(guān)系，或研究中不考察是X影響Y，還是Y影響X，稱為對稱關(guān)系。這種情況下哪個變量為X，哪個為Y均可，兩者地位平等。但若兩個變量之間存在因果關(guān)系，并且要研究這種關(guān)系，則需將考察或預(yù)測的變量記作Y，稱為因變量，常列入表的橫行，如表6-3中的病情；另一變量稱為自變量，記作X，列入表的縱列，如表6-3中的病程。這種情況是考察病程對病情的影響，稱為不對稱關(guān)系。列聯(lián)表可以清楚地反映在X變量條件下，Y的次數(shù)分布情況。因此，列聯(lián)表又稱作條件次數(shù)表。表的最下端是每列的總次數(shù)，稱為行邊緣次數(shù)，表的最右列是每行的總次數(shù)，稱為列邊緣次數(shù)。表中的次數(shù)，稱為條件次數(shù)。表示在自變量每個條件下，因變量各個值的數(shù)目。例如，在表6-1中，病程小于1年的有90人，這是邊緣次數(shù)，從表6-3可知，其中病情較輕的有16人，這是條件次數(shù)。由表6-3中可以看出，病程確實對病情有影響。不同病程的患者,其病情有所不同。病程長的患者，更多的病情較重，而病程較短的患者，相對來說，則更多的傾向于病情較輕。表6-3是一個二維聯(lián)列表，只有兩個變量，變量病情有三個類別，是三行，變量病程有五個類別，是五列，構(gòu)成二維的3×5列聯(lián)表，最簡單的列聯(lián)表是2行和2列,稱為2×2列聯(lián)表，也稱為四格表。

合計合計表6-4：從條件次數(shù)表雖然可以知道在X條件下，Y變量值的次數(shù)，但難于比較不同條件下的次數(shù)分布，因為作為基數(shù)的邊緣次數(shù)不相同。如表6-3中，病程小于1年的患者有16人的病情較輕，而病程在1至5年的患者有18人，這是否表明，病程較長的患者病情傾向于較輕？觀察邊緣次數(shù)發(fā)現(xiàn)，病程1年和1至5年總?cè)藬?shù)不同，比較的基數(shù)不同，因而不宜作出結(jié)論。為了能在相同的基礎(chǔ)上比較，使列聯(lián)表的數(shù)據(jù)提供更多的信息，可以將絕對次數(shù)轉(zhuǎn)化成以百分?jǐn)?shù)表示的相對次數(shù)，即將條件次數(shù)變?yōu)榘俜謹(jǐn)?shù)。這樣的表稱為條件百分表，如表6-5。病程病情小于1年1至5年5至10年10至15年15年以上合計較輕30.77%34.62%25%9.61%0100%一般22.7%20.25%32.51%17.79%6.75%100%較重12.09%11.76%22.22%22.88%31.05%100%合計17.27%16.7%25.72%19.96%20.35%100%表6-5在很多時候，研究的是不對稱關(guān)系，目的是了解自變量X對因變量Y的影響。因此，條件百分?jǐn)?shù)多按自變量X的方向計算，如表6-3。研究病程對病情的影響，沿自變量X的方向計算百分?jǐn)?shù)，如表6-5。這一結(jié)果表明在不同病程水平下病情的變化情況。從表6-5可以看出，病程不同，病情的百分?jǐn)?shù)分布也不同，這就是病程長短對病情的影響。有時由于某種原因可能使因變量在樣本內(nèi)的分布不能代表其在總體內(nèi)的分布，例如為滿足資料分析的需要，抽樣時擴大了因變量的某個值的數(shù)目，使其樣本內(nèi)的分布不同于總體中的分布。這時，以自變量的方向計算百分?jǐn)?shù)會歪曲數(shù)據(jù)的結(jié)果，需要按因變量的方向計算。條件百分表比條件次數(shù)表能夠提供更多的信息，因此較為有用。但當(dāng)r×c很大時，百分?jǐn)?shù)的個數(shù)會很多，不容易分析兩個變量之間的關(guān)系。因此，在列聯(lián)表的相關(guān)測量中有許多更實用的方法可供選擇研究。

6.2.1獨立性檢驗和齊性檢驗1.獨立性檢驗（1）基本方法二維列聯(lián)表的獨立性檢驗是檢驗行變量（Y）與列變量（X）是否獨立。表6-6為兩個隨機變量的聯(lián)合分布表，其中每個格子是聯(lián)合概率，橫行合計是X的邊緣分布，縱列合計是Y的邊緣分布。建立假設(shè)組

該假設(shè)組用概率的語言描述為

合計合計表6-6

（2）應(yīng)用【例6.1】檢驗表6-3數(shù)據(jù)行變量與列變量之間的獨立性。

2.齊性檢驗（1）基本方法二維列聯(lián)表的齊性檢驗要檢驗的目標(biāo)是：給定列，條件行分布是否相同；或者給定行，條件列分布是否相同。

如果滿足齊性，則應(yīng)該有對于給定列，條件行分布都相同，即表6-7的每行分別相等。

合計11表6-7建立二維列聯(lián)表的假設(shè)組：

在原假設(shè)成立的條件下，對于表6-7的第i行都相等，記第i行的值為

這說明，二維列聯(lián)表的齊性檢驗本質(zhì)上是獨立性檢驗。因此采用的檢驗統(tǒng)計量和計算p值的方法都用獨立性檢驗相同。（2）應(yīng)用【例6.2】對表6-3數(shù)據(jù)進(jìn)行齊性檢驗。對表6-3數(shù)據(jù)進(jìn)行齊性檢驗，即檢驗在不同的病程條件下，病情的條件分布是否相同。建立假設(shè)組：

3.獨立性檢驗和齊性檢驗獨立性檢驗和齊性檢驗的檢驗統(tǒng)計量完全相同，但兩者的統(tǒng)計意義不同。獨立性檢驗要檢驗行變量與列變量是否獨立，兩個變量地位平等，沒有考慮因果關(guān)系。齊性檢驗要檢驗的是條件分布的齊一性，待檢驗的兩個變量地位是不平等的，包含著因果關(guān)系，一般作為條件的變量是自變量，例如病程；另一個變量是因變量，例如病情。在應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)實際問題選擇獨立性檢驗還是選擇齊性檢驗。

YX

2.皮爾遜（Pearson）列聯(lián)相關(guān)系數(shù)

當(dāng)列聯(lián)表的行和列獨立時，C系數(shù)的值為0；當(dāng)列聯(lián)表的行和列不獨立時，C系數(shù)不會隨著r或c的增大而增大，它的值永遠(yuǎn)小于1。對列聯(lián)相關(guān)C系數(shù)可以進(jìn)行顯著性檢驗。但檢驗不是利用C系數(shù)的抽樣分布，而是利用檢驗統(tǒng)計量Q。因為在計算C系數(shù)值的過程中先計算了Q的值，Q值可以作為C系數(shù)顯著性的一個簡單而合適的指標(biāo)。即只要檢驗了Q的顯著性，就等于檢驗了由Q計算的C的顯著性。檢驗方法就是前面介紹的獨立性檢驗，這里不再贅述。列聯(lián)相關(guān)C系數(shù)的局限性一般而言，一個令人滿意的相關(guān)系數(shù)至少應(yīng)該滿足兩個特點：變量完全相關(guān)時，系數(shù)為1；變量完全不相關(guān)時，系數(shù)為0。但C不是理想的相關(guān)系數(shù)。一是變量完全相關(guān)時，C值并不等于1。二是兩個列聯(lián)相關(guān)C系數(shù)不能比較，除非是從同樣大小的列聯(lián)表獲得的數(shù)據(jù)。

三是C系數(shù)不能與其它相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，例如斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)和肯德爾秩相關(guān)系數(shù)等。3.克拉默V相關(guān)系數(shù)（Cramer’sVCoefficientofAssociation）

當(dāng)行和列完全不相關(guān)時，V=0；當(dāng)行和列完全相關(guān)時，V=1。4.應(yīng)用【例6.3】分析青少年犯罪行為與家庭狀況的相關(guān)性。數(shù)據(jù)如下表.青少年行為家庭狀況合計離異家庭和睦家庭犯罪178272450未犯罪38502540合計216774990

6.3PRE準(zhǔn)則下的二維列聯(lián)表相關(guān)性度量當(dāng)研究X和Y之間的關(guān)系，目的是為了用X去預(yù)測Y時，往往希望這一預(yù)測的效果是很好的，但事實上難免會出現(xiàn)誤差。一般來說，兩個變量之間的關(guān)系越強，以一個變量預(yù)測另一個變量的誤差就越小，也就是減少的預(yù)測誤差越多。換言之，消減的誤差有多少，也可以反映變量之間的相關(guān)程度強弱。因此，在度量兩個變量的相關(guān)程度時，可以引進(jìn)消減誤差比例的概念。相關(guān)性的測量方法有很多種，凡是其統(tǒng)計值具有消減誤差比例（ProportionateReductioninError）的意義，均稱為PRE測量法。

其公式定義為

PRE的值可以作為度量相關(guān)性大小的值。

6.3.1Lambda相關(guān)測量法

1.非對稱形式的Lambda相關(guān)測量當(dāng)研究的兩個變量間存在某種因果關(guān)系，自變量X影響因變量Y的變化，而Y不會影響X，這種情況稱為非對稱關(guān)系。例如，研究出生時間和身體發(fā)育的關(guān)系，一般認(rèn)為出生時間對身體發(fā)育會有影響，而身體發(fā)育不會影響出生時間。

根據(jù)PRE的定義可得下式

【例6.4】出生季節(jié)與身體發(fā)育相關(guān)程度的分析出生時間對身體發(fā)育不夠正常有多大的影響，為此進(jìn)行了調(diào)査。對兩組身體發(fā)育不夠正常的人的調(diào)査結(jié)果如表6-10。身體發(fā)育（Y）出生季節(jié)（X）合計春季夏季秋季冬季較低1829181277很低2013162069合計38423432146表6-10

2.對稱形式的Lambda測量

【例6.5】某市隨機抽取100位居民調(diào)查得到表6-11的數(shù)據(jù)，考察性別和是否愿意看中醫(yī)的態(tài)度之間相關(guān)情況。態(tài)度（Y）性別（X）總數(shù)男女很愿意103040不大愿意401050不愿意10010總數(shù)6040100表6-11

如果僅研究性別影響態(tài)度的程度，可以算得

這個計算結(jié)果表明，以性別X預(yù)測態(tài)度Y，可以消減40%的誤差。從表6-11可以看出，性別對看中醫(yī)的態(tài)度是有影響的，男性的態(tài)度基本傾向不大愿意，而女性則較多的認(rèn)為很愿意。3.Lambda相關(guān)測量法的特點

第三，由于Lambda相關(guān)測量法是以眾數(shù)作為預(yù)測的準(zhǔn)則，沒有考慮其它的條件次數(shù)，因此，當(dāng)眾數(shù)集中在條件次數(shù)表的某行或某列時，Lambda系數(shù)會等于0。但這并不一定真是

X與Y完全無關(guān)。

故Lambda相關(guān)測量法的敏感性有問題。4.顯著性檢驗

6.3.2Goodman-KruskalTau相關(guān)測量法Goodman-KruskalTau相關(guān)測量法是由古德曼和克魯斯卡爾提出的，采用Tau系數(shù)測定兩個定類變量間的相關(guān)程度。Tau系數(shù)是對Lambda系數(shù)的改進(jìn)。它不再用眾數(shù)對Y進(jìn)行預(yù)測，而是利用邊緣次數(shù)提供的比例進(jìn)行預(yù)測。1.非對稱形式的Tau相關(guān)測量

根據(jù)PRE準(zhǔn)則，可得Tau相關(guān)測量系數(shù)為（6.14）式。

【例6.6】隨機從城鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村兩個地區(qū)抽取10800戶家庭調(diào)査，結(jié)果如表6-12。討論城鄉(xiāng)地區(qū)與健康知識傳播渠道的相關(guān)。傳播渠道（Y）地區(qū)（X）城鎮(zhèn)鄉(xiāng)村衛(wèi)生機構(gòu)宣傳319111204311網(wǎng)絡(luò)宣傳237011833553商品推介12865281814其他媒介93518711227782301810800表6-12分析：表中提供的數(shù)據(jù)是兩個定類變量的值，測定城鄉(xiāng)地區(qū)與健康知識傳播渠道的相關(guān)程度，是為考察城鄉(xiāng)不同地區(qū)信息傳播渠道是否不同，對兩個不同地區(qū)是否應(yīng)采用不同的傳播形式。自變量是不同地區(qū)，因變量是不同的信息渠道。這是非對稱的關(guān)系，可以采用Tau相關(guān)測量法。

2.Tau相關(guān)測量法的特點

3.顯著性檢驗

【例6.7】從某地區(qū)隨機抽取620位居民進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表6-13所示，欲進(jìn)行是否定期體檢與小病處理方式的相關(guān)分析。是否定期體檢（Y）小病處理方式（X）去醫(yī)院

自己買藥

忍耐

合計檢驗結(jié)果定期體檢非定期體檢71182513042624743316合計9742994620表6-13分析：先進(jìn)行獨立性檢驗，建立假設(shè)組：

由R語言可以算得p值很小，所以拒絕源假設(shè)，認(rèn)為定期體檢與小病處理方式有關(guān)。具體的關(guān)系如何？接下來利用Tau相關(guān)測量法進(jìn)一步分析。

6.3.3Gamma相關(guān)測量法

1.同序?qū)彤愋驅(qū)ν驅(qū)κ荴變量中的數(shù)值與Y變量中的數(shù)值變化方向一致的序?qū)?。?-14是三個職工受教育程度與經(jīng)濟收入的列聯(lián)表，由表6-14可以看出，甲、乙、丙三人在受教育程度和經(jīng)濟收入方面的位次有如下的關(guān)系：受教育程度：乙>甲；乙>丙；甲>丙，經(jīng)濟收入：甲>乙；乙>丙；甲>丙。經(jīng)濟收入受教育程度高中低高

甲

中乙

低

丙表6-14

2.對稱關(guān)系的Gamma相關(guān)測量Gamma相關(guān)測量法具有消減誤差比例的意義，它利用同序?qū)彤愋驅(qū)Χx系數(shù)G。

由PRE準(zhǔn)則，可以定義G系數(shù)為下式：

G系數(shù)沒有考慮Y對X的影響，還是X對Y的影響，因而是對稱關(guān)系的相關(guān)測量。

YX高中低高中低表6-15

異序?qū)梢圆捎妙愃频姆椒ǖ玫?，即將同行同列的同分對舍去，再舍去某一頻數(shù)右下方的同序?qū)Γ谀骋活l數(shù)左下方的都可以構(gòu)成異序?qū)?。?-15中的異序?qū)倲?shù)為

【例6.8】從醫(yī)院某病患者隨機抽取55名通過評分測得頭暈和頭重的不同等級狀況如表6-16。是否能夠測量頭暈和頭重的相關(guān)性。頭重頭暈輕中重輕17140中6151重002表6-16

表明兩個變量間存在正相關(guān)，相關(guān)程度不算太高。由于G系數(shù)具有消減誤差比例的性質(zhì)，因此G=0.6456意味著，以頭暈的相對等級解釋頭重的相對等級可以消減64.56%的誤差。由于G系數(shù)是對稱關(guān)系的相關(guān)測量，因而也可以說，以頭重的相對等級解釋頭暈的相對等級可以消減64.56%的誤差。頭暈與頭重呈正相關(guān)，表明一個變量等級愈高，另一變量等級也愈高。4.Gamma相關(guān)測量法的特點

G系數(shù)測量對稱關(guān)系的相關(guān)程度。從定義可以看出，G系數(shù)只考慮同序和異序的關(guān)系，因此，無論用X預(yù)測Y，還是Y預(yù)測X，計算的G值都是一樣的。

YX表6-16

【例6.9】新藥是否能預(yù)防肝炎？采用配對樣本進(jìn)行研究，抽取60對，每對中隨機指定一人服用新藥，另一人服用原有藥，經(jīng)過一段時間的觀察，結(jié)果如表6-17.YX服用新藥服用原有藥未患肝炎6048患肝炎012表6-17

5.Gamma系數(shù)的檢驗利用隨機樣本數(shù)據(jù)計算的G系數(shù)，是否能用以推斷總體，必須進(jìn)行統(tǒng)計檢驗。建立的假設(shè)組為

為判定假設(shè)，需要采用隨機抽樣獲得數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)至少是定序尺度測量。定義的檢驗統(tǒng)計量為

【