2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)變量試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.某班級(jí)有30名學(xué)生，其中男生20名，女生10名。現(xiàn)要隨機(jī)抽取3名學(xué)生參加活動(dòng)，則抽到的3名學(xué)生中恰好有2名男生和1名女生的概率是多少？A.1/3B.2/5C.3/10D.1/42.一個(gè)袋子里裝有5個(gè)紅球和4個(gè)黑球，從中不放回地依次取出3個(gè)球，則取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是多少？A.1/2B.2/3C.3/4D.4/53.已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，且P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.5，則P(X=3)是多少？A.0.2B.0.3C.0.5D.0.84.設(shè)隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布B(n,p)，其中n=4，p=0.5，則P(Y=2)的值是多少？A.1/16B.3/16C.6/16D.1/45.一個(gè)袋子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，則抽到的2個(gè)球顏色相同的概率是多少？A.1/5B.2/5C.3/5D.4/56.設(shè)隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(0,1)，則P(Z<0)的值是多少？A.0B.0.5C.1D.無法確定7.已知隨機(jī)變量W的分布列為：X123P0.20.50.3則E(W)是多少？A.1.9B.2C.2.1D.2.58.設(shè)隨機(jī)變量V的方差為4，則標(biāo)準(zhǔn)差是多少？A.1B.2C.4D.169.一個(gè)袋子里裝有6個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3個(gè)球，則抽到的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是多少？A.1/2B.2/3C.3/4D.4/510.設(shè)隨機(jī)變量M服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為f(x)=λe^(-λx)，x≥0，則P(M>1)的值是多少？A.e^(-λ)B.1-e^(-λ)C.λe^(-λ)D.1/λ二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.設(shè)隨機(jī)變量N的可能取值為2，4，6，且P(N=2)=1/3，P(N=4)=1/2，則P(N=6)是多少？12.一個(gè)袋子里裝有4個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從中不放回地依次取出2個(gè)球，則取出的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是多少？13.設(shè)隨機(jī)變量Q服從二項(xiàng)分布B(n,p)，其中n=3，p=0.7，則P(Q=2)的值是多少？14.一個(gè)袋子里裝有5個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3個(gè)球，則抽到的3個(gè)球中恰好有2個(gè)紅球和1個(gè)黑球的概率是多少？15.設(shè)隨機(jī)變量R服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，且P(R<μ)=0.5，則P(R>μ)是多少？三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的次品率為0.1?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品，求抽到的次品數(shù)X的分布列，并計(jì)算E(X)和D(X)。17.（本小題滿分15分）設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為λ的二項(xiàng)分布，且P(Y=2)=9P(Y=4)。求P(Y=3)的值。18.（本小題滿分15分）一個(gè)袋子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，求抽到的2個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)Z的分布列，并計(jì)算E(Z)。19.（本小題滿分15分）設(shè)隨機(jī)變量W服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，且P(W<μ-σ)=0.2，P(W>μ+σ)=0.8。求P(μ-2σ<W<μ+2σ)的值。20.（本小題滿分15分）某射手每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8?，F(xiàn)該射手連續(xù)射擊3次，求命中次數(shù)X的分布列，并計(jì)算命中次數(shù)至少為2次的概率。四、證明題（本大題共1小題，共25分。）21.（本小題滿分25分）設(shè)隨機(jī)變量M和N相互獨(dú)立，且M服從參數(shù)為λ1的泊松分布，N服從參數(shù)為λ2的泊松分布。證明隨機(jī)變量M+N服從參數(shù)為λ1+λ2的泊松分布。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，總共有C(30,3)種抽取方式。抽到的3名學(xué)生中恰好有2名男生和1名女生的抽取方式有C(20,2)×C(10,1)種。因此，抽到的3名學(xué)生中恰好有2名男生和1名女生的概率為[C(20,2)×C(10,1)]/C(30,3)=0.3，故選C。2.答案：B解析：從9個(gè)球中不放回地依次取出3個(gè)球，總共有P(9,3)種取出方式。取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的取出方式有P(9,3)-P(4,3)種。因此，取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率為[P(9,3)-P(4,3)]/P(9,3)=2/3，故選B。3.答案：A解析：由于離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值的概率之和為1，所以P(X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)=1-0.2-0.5=0.3，故選A。4.答案：C解析：由二項(xiàng)分布的性質(zhì)，P(Y=2)=C(4,2)×(0.5)^2×(1-0.5)^2=6/16，故選C。5.答案：B解析：從5個(gè)球中隨機(jī)抽取2個(gè)球，總共有C(5,2)種抽取方式。抽到的2個(gè)球顏色相同的抽取方式有C(3,2)+C(2,2)種。因此，抽到的2個(gè)球顏色相同的概率為[C(3,2)+C(2,2)]/C(5,2)=2/5，故選B。6.答案：B解析：由于正態(tài)分布曲線關(guān)于均值μ對(duì)稱，所以P(Z<0)=0.5，故選B。7.答案：B解析：E(W)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2，故選B。8.答案：B解析：隨機(jī)變量V的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的標(biāo)準(zhǔn)差，即√4=2，故選B。9.答案：C解析：從10個(gè)球中隨機(jī)抽取3個(gè)球，總共有C(10,3)種抽取方式。抽到的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的抽取方式有C(10,3)-C(4,3)種。因此，抽到的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率為[C(10,3)-C(4,3)]/C(10,3)=3/4，故選C。10.答案：B解析：由指數(shù)分布的性質(zhì)，P(M>1)=∫_1^+∞λe^(-λx)dx=e^(-λ)，故選B。二、填空題答案及解析11.答案：1/6解析：由于隨機(jī)變量N的所有可能取值的概率之和為1，所以P(N=6)=1-P(N=2)-P(N=4)=1-1/3-1/2=1/6。12.答案：5/7解析：從7個(gè)球中不放回地依次取出2個(gè)球，總共有P(7,2)種取出方式。取出的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的取出方式有P(7,2)-P(3,2)種。因此，取出的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率為[P(7,2)-P(3,2)]/P(7,2)=5/7。13.答案：0.441解析：由二項(xiàng)分布的性質(zhì)，P(Q=2)=C(3,2)×(0.7)^2×(1-0.7)^1=0.441，故答案為0.441。14.答案：3/10解析：從9個(gè)球中隨機(jī)抽取3個(gè)球，總共有C(9,3)種抽取方式。抽到的3個(gè)球中恰好有2個(gè)紅球和1個(gè)黑球的抽取方式有C(5,2)×C(4,1)種。因此，抽到的3個(gè)球中恰好有2個(gè)紅球和1個(gè)黑球的概率為[C(5,2)×C(4,1)]/C(9,3)=3/10。15.答案：0.5解析：由于正態(tài)分布曲線關(guān)于均值μ對(duì)稱，所以P(R>μ)=1-P(R<μ)=1-0.5=0.5。三、解答題答案及解析16.答案：分布列為：X012345P0.590490.328050.07290.00810.000450.00001E(X)=0.5，D(X)=0.45解析：由于次品率是0.1，所以次品數(shù)X服從參數(shù)為n=5，p=0.1的二項(xiàng)分布。根據(jù)二項(xiàng)分布的公式，可以計(jì)算出分布列，進(jìn)而計(jì)算出E(X)和D(X)。17.答案：P(Y=3)=0.126解析：由二項(xiàng)分布的性質(zhì)，P(Y=2)=C(4,2)×p^2×(1-p)^2，P(Y=4)=C(4,4)×p^4×(1-p)^0。又因?yàn)镻(Y=2)=9P(Y=4)，所以可以解出p=3/4。進(jìn)而可以計(jì)算出P(Y=3)的值。18.答案：分布列為：Z012P1/103/53/10E(Z)=1.2解析：從5個(gè)球中隨機(jī)抽取2個(gè)球，總共有C(5,2)種抽取方式。抽到的2個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)Z的可能取值為0，1，2。根據(jù)組合數(shù)的公式，可以計(jì)算出分布列，進(jìn)而計(jì)算出E(Z)。19.答案：P(μ-2σ<W<μ+2σ)=0.9544解析：由于正態(tài)分布曲線關(guān)于均值μ對(duì)稱，所以P(W<μ-σ)=0.2，即P(Z<-1)=0.2，其中Z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以查出P(Z<-2.05)=0.02，P(Z<-1.645)=0.05。因此，σ=1.645。同理，可以計(jì)算出P(W>μ+σ)=0.8，即P(Z>1)=0.8，進(jìn)而計(jì)算出P(Z<-1)和P(Z>1)的值。最后，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，可以計(jì)算出P(μ-2σ<W<μ+2σ)的值。20.答案：分布列為：X0123P0.0080.0960.3840.512命中次數(shù)至少為2次的概率為0.928解析：由于每次射擊命中目標(biāo)的概率是0.8，所以命中次數(shù)X服從參數(shù)為n=3，p=0.8的二項(xiàng)分布。根據(jù)二項(xiàng)分布的公式，可以計(jì)算出分布列，進(jìn)而計(jì)算出命中次數(shù)至少為2次的概率。四、證明題答案及解析21.答案：證明過程如下：由于M和N相互獨(dú)立，所以P(M=m，N=n)=P(M=m)×P(N=n)。又因?yàn)镸服從參數(shù)為λ1的泊松分布，N服從參數(shù)為λ2的泊松分布，所以P(M=m)=e^(-λ1)×(λ1)^m/m!，P(N=n)=e^(-λ2)×(λ2)^n/n!。因此，P(M=m，N=n)=e^(-λ1)×(λ1)^m/m!×e^(-λ2)×(λ2)^n/n!=e^(-(λ1+λ2))×[(