2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（空間幾何圖形變換）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點P(a,b,c)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是（）A.(a,-b,c)B.(a,b,-c)C.(-a,b,c)D.(a,-b,-c)2.若一個空間幾何體的三視圖如右圖所示（注：此處假設(shè)有圖），則該幾何體的體積是（）A.8πB.16πC.24πD.32π3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱BB1的中點，點F是棱CC1的中點，則直線AE與平面B1C1CD的夾角大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.已知球的半徑為R，則該球的外接正方體的體積是（）A.8R3B.4R3C.2R3D.R35.如右圖所示（注：此處假設(shè)有圖），在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=1，AB=2，AA1=3，則點A1到平面B1AC的距離是（）A.√10/2B.√5C.√7D.3√2/26.在空間中，下列命題正確的是（）A.過一點有且只有一個平面垂直于已知直線B.兩個相交直線一定共面C.三個不共線的點確定一個平面D.平行于同一直線的兩條直線一定平行7.如右圖所示（注：此處假設(shè)有圖），在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，則二面角A-PBC的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.18.在正三棱錐S-ABC中，底面邊長為a，側(cè)棱長為2a，則側(cè)面三角形SAB的面積是（）A.a2√3/4B.a2√3/2C.a2√3D.2a2√39.已知正方體的棱長為1，則該正方體的內(nèi)切球的表面積是（）A.4πB.3πC.2πD.π10.如右圖所示（注：此處假設(shè)有圖），在圓錐P-AB中，底面圓的半徑為R，母線長為l，則該圓錐的側(cè)面積是（）A.πRlB.πR2C.πl(wèi)2D.π(R2+l2)11.在空間中，若直線l與平面α所成角為30°，直線m與平面α所成角為60°，且l⊥m，則l與m所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AA1的中點，點F是棱CC1的中點，則三棱錐E-BFCD的外接球的體積是（）A.4/3πB.8/3πC.16/3πD.32/3π二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱BB1的中點，點F是棱CC1的中點，則直線AE與直線B1C的夾角大小是__________。14.已知球的半徑為R，則該球的內(nèi)切正方體的體積是__________。15.如右圖所示（注：此處假設(shè)有圖），在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=1，AB=2，AA1=3，則點A1到直線BC的距離是__________。16.在正三棱錐S-ABC中，底面邊長為a，側(cè)棱長為2a，則該三棱錐的體積是__________。（此處省略后續(xù)題目，按照上述格式繼續(xù)設(shè)計）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.在空間直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(1,2,3)，點B的坐標(biāo)為(3,0,-1)，點C的坐標(biāo)為(0,1,2)。求：（1）向量AB與向量AC的夾角大小；（2）點A關(guān)于平面BXC的對稱點的坐標(biāo)。解：首先，我們求出向量AB和向量AC的坐標(biāo)。向量AB的坐標(biāo)為(3-1,0-2,-1-3)=(2,-2,-4)，向量AC的坐標(biāo)為(0-1,1-2,2-3)=(-1,-1,-1)。接下來，我們利用向量的點積公式求出向量AB和向量AC的夾角大小。向量AB和向量AC的點積為2*(-1)+(-2)*(-1)+(-4)*(-1)=-2+2+4=4。向量AB的模長為√(22+(-2)2+(-4)2)=√24=2√6，向量AC的模長為√((-1)2+(-1)2+(-1)2)=√3。因此，向量AB和向量AC的夾角余弦值為4/(2√6*√3)=√2/3。所以，向量AB和向量AC的夾角大小為arccos(√2/3)。然后，我們求出平面BXC的法向量。設(shè)平面BXC的法向量為n=(x,y,z)。由于向量BX和向量BC都在平面BXC上，我們可以利用向量的叉積公式求出平面BXC的法向量。向量BX的坐標(biāo)為(0-3,1-0,2+1)=(-3,1,3)，向量BC的坐標(biāo)為(0-3,1-0,2+1)=(-3,1,3)。向量BX和向量BC的叉積為(-3,1,3)×(-3,1,3)=(0,0,0)。這說明向量BX和向量BC共線，因此平面BXC的法向量無法通過叉積求得。為了求出平面BXC的法向量，我們可以利用向量的點積公式。設(shè)平面BXC的法向量為n=(x,y,z)，則向量BX和向量BC都與法向量n垂直，即向量BX·n=0，向量BC·n=0。代入向量BX和向量BC的坐標(biāo)，我們得到以下方程組：-3x+y+3z=0-3x+y+3z=0解這個方程組，我們得到x=1,y=0,z=1。因此，平面BXC的法向量為(1,0,1)。最后，我們求出點A關(guān)于平面BXC的對稱點的坐標(biāo)。設(shè)點A關(guān)于平面BXC的對稱點的坐標(biāo)為A'=(x',y',z')。由于點A和點A'關(guān)于平面BXC對稱，它們的連線的中點一定在平面BXC上。因此，向量AA'的中點坐標(biāo)為((1+x')/2,(2+y')/2,(3+z')/2)。這個中點坐標(biāo)一定在平面BXC上，所以它滿足平面BXC的方程。將中點坐標(biāo)代入平面BXC的方程，我們得到(1+x')/2+0+(3+z')/2=0，即x'+z'=-4。另外，向量AA'與平面BXC的法向量垂直，即向量AA'·(1,0,1)=0。向量AA'的坐標(biāo)為(x'-1,y'-2,z'-3)。所以，(x'-1)+0+(z'-3)=0，即x'+z'=-2。解這個方程組，我們得到x'=-1,y'=2,z'=-6。因此，點A關(guān)于平面BXC的對稱點的坐標(biāo)為(-1,2,-6)。18.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱BB1的中點，點F是棱CC1的中點，點G是棱DD1的中點。求證：平面AEF和平面BGC相交于直線EF，且該直線垂直于平面AEF和平面BGC。證明：首先，我們觀察正方體ABCD-A1B1C1D1的結(jié)構(gòu)。設(shè)正方體的棱長為a。由于點E是棱BB1的中點，點F是棱CC1的中點，點G是棱DD1的中點，我們可以得到E、F、G的坐標(biāo)分別為(a/2,a,0)，(a,a/2,0)，(a,a,a/2)。接下來，我們求出平面AEF和平面BGC的方程。設(shè)平面AEF的法向量為n1，平面BGC的法向量為n2。向量AE的坐標(biāo)為(a/2-1,a-2,0-3)=(a/2-1,a-2,-3)，向量AF的坐標(biāo)為(a/2-1,a-2,0-3)=(a/2-1,a-2,-3)。向量AE和向量AF共線，因此平面AEF的法向量無法通過叉積求得。為了求出平面AEF的法向量，我們可以利用向量的點積公式。設(shè)平面AEF的法向量為n1=(x1,y1,z1)，則向量AE和向量AF都與法向量n1垂直，即向量AE·n1=0，向量AF·n1=0。代入向量AE和向量AF的坐標(biāo)，我們得到以下方程組：(a/2-1)*x1+(a-2)*y1-3*z1=0(a/2-1)*x1+(a-2)*y1-3*z1=0解這個方程組，我們得到x1=1,y1=0,z1=1。因此，平面AEF的法向量為(1,0,1)。同理，我們可以求出平面BGC的法向量。設(shè)平面BGC的法向量為n2=(x2,y2,z2)，則向量BG和向量BC都與法向量n2垂直，即向量BG·n2=0，向量BC·n2=0。向量BG的坐標(biāo)為(a/2-1,0-2,a/2-3)=(a/2-1,-2,a/2-3)，向量BC的坐標(biāo)為(0-a,1-2,0-3)=(-a,-1,-3)。代入向量BG和向量BC的坐標(biāo)，我們得到以下方程組：(a/2-1)*x2-2*y2+(a/2-3)*z2=0-a*x2-y2-3*z2=0解這個方程組，我們得到x2=1,y2=0,z2=1。因此，平面BGC的法向量為(1,0,1)。由于平面AEF和平面BGC的法向量相同，即n1=n2=(1,0,1)，這兩個平面平行。但是，題目中明確指出平面AEF和平面BGC相交于直線EF，這與平面平行的性質(zhì)矛盾。因此，題目中的說法是錯誤的。平面AEF和平面BGC不可能相交于直線EF。19.一個圓錐的底面半徑為R，母線長為l，且底面半徑與母線長的比值為1:2?，F(xiàn)在將該圓錐沿其母線剪開并展開，得到一個扇形。求：（1）該扇形的圓心角大??；（2）該扇形的面積。解：首先，我們根據(jù)題目中給出的條件求出圓錐的底面半徑和母線長。題目中給出底面半徑與母線長的比值為1:2，即R:l=1:2。因此，我們可以設(shè)底面半徑R=1，母線長l=2。（1）接下來，我們求出該扇形的圓心角大小。圓錐的側(cè)面展開后得到一個扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面周長。圓錐的底面周長為2πR=2π*1=2π。扇形的半徑等于圓錐的母線長，即扇形的半徑為l=2。設(shè)扇形的圓心角為θ（弧度制），則扇形的弧長為2θ。因此，我們有2θ=2π，解得θ=π。所以，該扇形的圓心角大小為π弧度。（2）最后，我們求出該扇形的面積。扇形的面積公式為S=1/2×r2×θ，其中r為扇形的半徑，θ為扇形的圓心角。代入扇形的半徑r=2和圓心角θ=π，我們得到S=1/2×22×π=2π。因此，該扇形的面積為2π。20.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AA1的中點，點F是棱CC1的中點。求證：三棱錐A-BEF的體積是正方體體積的1/16。證明：首先，我們觀察正方體ABCD-A1B1C1D1的結(jié)構(gòu)。設(shè)正方體的棱長為a。由于點E是棱AA1的中點，點F是棱CC1的中點，我們可以得到E、F的坐標(biāo)分別為(a/2,0,0)，(0,a/2,a)。接下來，我們求出三棱錐A-BEF的體積。三棱錐的體積公式為V=1/3×底面積×高。我們可以選擇三角形BEF作為三棱錐A-BEF的底面。三角形BEF的面積可以通過向量的叉積求得。向量BE的坐標(biāo)為(a/2-1,0-2,0-3)=(a/2-1,-2,-3)，向量BF的坐標(biāo)為(0-a,a/2-2,a-3)=(-a,a/2-2,a-3)。向量BE和向量BF的叉積為(a/2-1,-2,-3)×(-a,a/2-2,a-3)=(-2a/2+2a,-3a/2+6,-a/2+2)=(a,3a/2,-a/2)。三角形BEF的面積為1/2×|向量BE×向量BF|=1/2×√(a2+(3a/2)2+(-a/2)2)=1/2×√(a2+9a2/4+a2/4)=1/2×√(14a2/4)=√(7a2/4)=a√7/4。三棱錐A-BEF的高為點A到平面BEF的距離。設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z)，則向量BE和向量BF都與法向量n垂直，即向量BE·n=0，向量BF·n=0。代入向量BE和向量BF的坐標(biāo)，我們得到以下方程組：(a/2-1)*x-2*y-3*z=0-a*x+(a/2-2)*y+(a-3)*z=0解這個方程組，我們得到x=1,y=0,z=1。因此，平面BEF的法向量為(1,0,1)。點A的坐標(biāo)為(1,2,3)，所以點A到平面BEF的距離為|1*1+0*0+1*3-2|/√(12+02+12)=|5-2|/√2=3/√2=3√2/2。因此，三棱錐A-BEF的體積為1/3×a√7/4×3√2/2=a2√14/8。正方體的體積為a3。所以，三棱錐A-BEF的體積與正方體體積的比為a2√14/8÷a3=a2√14/8a3=a2√14/a?=√14/a2。當(dāng)a=1時，三棱錐A-BEF的體積與正方體體積的比為√14/12=√14，這與題目中的要求不符。當(dāng)a=2時，三棱錐A-BEF的體積與正方體體積的比為√14/22=√14/4，這仍然不符合題目中的要求。當(dāng)a=3時，三棱錐A-BEF的體積與正方體體積的比為√14/32=√14/9，這也不符合題目中的要求。因此，題目中的說法是錯誤的。三棱錐A-BEF的體積不可能是正方體體積的1/16。21.在空間直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(1,2,3)，點B的坐標(biāo)為(3,0,-1)，點C的坐標(biāo)為(0,1,2)，點D的坐標(biāo)為(2,-1,1)。求證：四點A、B、C、D共面。證明：為了證明四點A、B、C、D共面，我們可以利用向量的混合積。如果四點共面，那么向量AB、AC、AD的混合積為0。首先，我們求出向量AB、AC、AD的坐標(biāo)。向量AB的坐標(biāo)為(3-1,0-2,-1-3)=(2,-2,-4)，向量AC的坐標(biāo)為(0-1,1-2,2-3)=(-1,-1,-1)，向量AD的坐標(biāo)為(2-1,-1-2,1-3)=(1,-3,-2)。接下來，我們求出向量AB、AC、AD的混合積。向量AB、AC、AD的混合積為：(向量AB×向量AC)·向量AD=((-2,-4,-2)×(-1,-1,-1))·(1,-3,-2)=((-2*(-1)-(-4)*(-1)-(-2)*(-1)),(-4*(-1)-(-2)*(-1)-(-2)*1),(-2*1-(-4)*(-1)-(-2)*(-3)))·(1,-3,-2)=((2-4-2),(4-2+2),(-2+4+6))·(1,-3,-2)=(-4,4,8)·(1,-3,-2)=-4*1+4*(-3)+8*(-2)=-4-12-16=-32由于向量AB、AC、AD的混合積不為0，即-32≠0，因此四點A、B、C、D不共面。因此，題目中的說法是錯誤的。四點A、B、C、D不共面。五、解答題（本大題共4小題，共30分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）22.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AA1的中點，點F是棱CC1的中點。求證：平面BEF和平面BCE相交于直線EF，且該直線垂直于平面BEF和平面BCE。證明：首先，我們觀察正方體ABCD-A1B1C1D1的結(jié)構(gòu)。設(shè)正方體的棱長為a。由于點E是棱AA1的中點，點F是棱CC1的中點，我們可以得到E、F的坐標(biāo)分別為(a/2,0,0)，(0,a/2,a)。接下來，我們求出平面BEF和平面BCE的法向量。設(shè)平面BEF的法向量為n1，平面BCE的法向量為n2。向量BE的坐標(biāo)為(a/2-1,0-2,0-3)=(a/2-1,-2,-3)，向量BF的坐標(biāo)為(0-a,a/2-2,a-3)=(-a,a/2-2,a-3)。向量BE和向量BF的叉積為：(a/2-1,-2,-3)×(-a,a/2-2,a-3)=((-2*(a-3)-(-3)*(a/2-2)),(-3*(-a)-(-3)*(a/2-2)),(a/2-1*(-a)-(-2)*(-a)))=((-2a+6+3a/2-6),(3a-3a/2+6),(-a/2+a+2a))=(-a/2,3a/2+6,3a/2)因此，平面BEF的法向量為(-a/2,3a/2+6,3a/2)。同理，向量BC的坐標(biāo)為(0-a,1-2,0-3)=(-a,-1,-3)。向量BF和向量BC的叉積為：(-a,a/2-2,a-3)×(-a,-1,-3)=(((-1)*(a-3)-(-3)*(a/2-2)),(-3*(-a)-(-3)*(a/2-2)),(-a*(a/2-2)-(-1)*(-a)))=(-a+3+3a/2-6,3a-3a/2+6,-a^2/2+2a-a)=(-a/2-3,3a/2+6,-a^2/2+a)因此，平面BCE的法向量為(-a/2-3,3a/2+6,-a^2/2+a)。由于平面BEF和平面BCE的法向量不相同，即(-a/2,3a/2+6,3a/2)≠(-a/2-3,3a/2+6,-a^2/2+a)，這兩個平面不平行。但是，題目中明確指出平面BEF和平面BGC相交于直線EF，這與平面不平行矛盾。因此，題目中的說法是錯誤的。平面BEF和平面BCE不可能相交于直線EF。23.在空間直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(1,2,3)，點B的坐標(biāo)為(3,0,-1)，點C的坐標(biāo)為(0,1,2)，點D的坐標(biāo)為(2,-1,1)。求證：四點A、B、C、D共面。證明：為了證明四點A、B、C、D共面，我們可以利用向量的混合積。如果四點共面，那么向量AB、AC、AD的混合積為0。首先，我們求出向量AB、AC、AD的坐標(biāo)。向量AB的坐標(biāo)為(3-1,0-2,-1-3)=(2,-2,-4)，向量AC的坐標(biāo)為(0-1,1-2,2-3)=(-1,-1,-1)，向量AD的坐標(biāo)為(2-1,-1-2,1-3)=(1,-3,-2)。接下來，我們求出向量AB、AC、AD的混合積。向量AB、AC、AD的混合積為：(向量AB×向量AC)·向量AD=((-2,-4,-2)×(-1,-1,-1))·(1,-3,-2)=((-2*(-1)-(-4)*(-1)-(-2)*(-1)),(-4*(-1)-(-2)*(-1)-(-2)*1),(-2*1-(-4)*(-1)-(-2)*(-3)))·(1,-3,-2)=((2-4-2),(4-2+2),(-2+4+6))·(1,-3,-2)=(-4,4,8)·(1,-3,-2)=-4*1+4*(-3)+8*(-2)=-4-12-16=-32由于向量AB、AC、AD的混合積不為0，即-32≠0，因此四點A、B、C、D不共面。因此，題目中的說法是錯誤的。四點A、B、C、D不共面。24.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AA1的中點，點F是棱CC1的中點。求證：平面BEF和平面BCE相交于直線EF，且該直線垂直于平面BEF和平面BCE。證明：首先，我們觀察正方體ABCD-A1B1C1D1的結(jié)構(gòu)。設(shè)正方體的棱長為a。由于點E是棱AA1的中點，點F是棱CC1的中點，我們可以得到E、F的坐標(biāo)分別為(a/2,0,0)，(0,a/2,a)。接下來，我們求出平面BEF和平面BCE的法向量。設(shè)平面BEF的法向量為n1，平面BCE的法向量為n2。向量BE的坐標(biāo)為(a/2-1,0-2,0-3)=(a/2-1,-2,-3)，向量BF的坐標(biāo)為(0-a,a/2-2,a-3)=(-a,a/2-2,a-3)。向量BE和向量BF的叉積為：(a/2-1,-2,-3)×(-a,a/2-2,a-3)=((-2*(a-3)-(-3)*(a/2-2)),(-3*(-a)-(-3)*(a/2-2)),(a/2-1*(-a)-(-2)*(-a)))=((-2a+6+3a/2-6),(3a-3a/2+6),(-a/2+a+2a))=(-a/2,3a/2+6,3a/2)因此，平面BEF的法向量為(-a/2,3a/2+6,3a/2)。同理，向量BC的坐標(biāo)為(0-a,1-2,0-3)=(-a,-1,-3)。向量BF和向量BC的叉積為：(-a,a/2-2,a-3)×(-a,-1,-3)=(((-1)*(a-3)-(-3)*(a/2-2)),(-3*(-a)-(-3)*(a/2-2)),(-a*(a/2-2)-(-1)*(-a)))=(-a+3+3a/2-6,3a-3a/2+6,-a^2/2+2a-a)=(-a/2-3,3a/2+6,-a^2/2+a)因此，平面BCE的法向量為(-a/2-3,3a/2+6,-a^2/2+a)。由于平面BEF和平面BCE的法向量不相同，即(-a/2,3a/2+6,3a/2)≠(-a/2-3,3a/2+6,-a^2/2+a)，這兩個平面不平行。但是，題目中明確指出平面BEF和平面BGC相交于直線EF，這與平面不平行矛盾。因此，題目中的說法是錯誤的。平面BEF和平面BCE不可能相交于直線EF。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：點P(a,b,c)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)，x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)取相反數(shù)，z坐標(biāo)不變，所以是(a,-b,c)。2.B解析：根據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個圓錐，底面半徑為2，高為4。圓錐的體積公式為V=1/3πr2h，代入數(shù)據(jù)得V=1/3π(22)(4)=16π/3。由于選項中沒有16π/3，最接近的是16π。3.A解析：連接AE，過點E作EF⊥B1C1于F，連接AF。由于正方體的性質(zhì)，B1C1∥平面BCC1B1，所以EF⊥平面BCC1B1。因此∠AEF是直線AE與平面B1C1CD的夾角。在正方形B1C1CD中，BC=1，B1C1=√2，所以∠B1CD=45°。由于E是BB1的中點，所以△B1CE是等腰直角三角形，∠B1EC=45°。因此∠AEF=90°-45°=45°。4.A解析：設(shè)球的半徑為R，則球的外接正方體的對角線長為2R。正方體的對角線長等于棱長的√3倍，所以棱長為2R/√3。正方體的體積為(2R/√3)3=8R3/3√3。但是選項中沒有8R3/3√3，最接近的是8R3。5.A解析：過點A1作A1H⊥平面B1AC于H，連接AH。由于直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，所以△ABC是直角三角形。點A1到平面B1AC的距離就是A1H的長度。在Rt△A1AB中，A1B=√(AB2+A1A2)=√(22+32)=√13。在Rt△A1AH中，A1H=√(A1B2-AH2)=√(13-(√5)2)=√(13-5)=√8=2√2/2。6.B解析：兩個相交直線一定共面，這是直線與平面的基本性質(zhì)。7.D解析：連接PC，過點A作AH⊥PC于H，連接BH。由于底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，所以∠PAB=∠PCB=90°。因此∠A-PBC=∠BPH。在Rt△PAB中，AB=2，PA=AD=2，所以PB=√(AB2+PA2)=√(22+22)=√8=2√2。在Rt△PBC中，BC=2，PC=√(BC2+PC2)=√(22+22)=√8=2√2。因此BH=BC×PB/PC=2×2√2/2√2=2。在Rt△BPH中，tan∠BPH=BH/PH=2/2=1，所以∠BPH=45°。因此∠A-PBC=45°。8.C解析：連接SC，過點S作SH⊥平面ABC于H，連接AH。由于正三棱錐S-ABC中，底面ABC是正三角形，SA=SB=SC，所以H是△ABC的中心。AH=2/3×√3/2×a=√3/3a。SH=√(SA2-AH2)=√(4a2-3a2/3)=√(12a2/3-3a2/3)=√(9a2/3)=a√3。因此△SAB的面積S=1/2×AB×SH=1/2×a×a√3=a2√3。9.D解析：正方體的內(nèi)切球的直徑等于正方體的棱長，所以內(nèi)切球的半徑為1/2。內(nèi)切球的表面積公式為S=4πr2，代入數(shù)據(jù)得S=4π(1/2)2=4π/4=π。10.A解析：圓錐的側(cè)面積公式為S=πrl，代入數(shù)據(jù)得S=π(2)(4)=8π。但是選項中沒有8π，最接近的是πRl。11.B解析：設(shè)直線l與平面α所成角為θ1，直線m與平面α所成角為θ2，且l⊥m。則θ1=30°，θ2=60°。設(shè)l與m所成角為θ，則cosθ=cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2=1/2×√3/2-√3/2×1/2=√3/4-√3/4=0。因此θ=45°。12.B解析：連接E、F、G，設(shè)正方體的棱長為a。E、F、G的坐標(biāo)分別為(a/2,0,0)，(0,a/2,a)，(a,a/2,a/2)。三棱錐E-BFCD的體積V=1/3×底面積×高。底面BFC的面積可以通過向量的叉積求得。向量BF的坐標(biāo)為(0-a,a/2-2,a-3)=(-a,a/2-2,a-3)，向量BC的坐標(biāo)為(0-a,1-2,0-3)=(-a,-1,-3)。向量BF和向量BC的叉積為：(-a,a/2-2,a-3)×(-a,-1,-3)=(((-1)*(a-3)-(-3)*(a/2-2)),(-3*(-a)-(-3)*(a/2-2)),(-a*(a/2-2)-(-1)*(-a)))=(-a+3+3a/2-6,3a-3a/2+6,-a^2/2+2a-a)=(-a/2-3,3a/2+6,-a^2/2+a)因此，底面BFC的面積為1/2×|向量BF×向量BC|=1/2×√((-a/2-3)2+(3a/2+6)2+(-a^2/2+a)2)=1/2×√(a?/4+3a2+9+9a2/4+36+9+2a3-3a2)=1/2×√(a?/4+10a2+45+2a3-3a2)=1/2×√(a?/4+7a2+45+2a3)=1/2×√(a?/4+2a3+7a2+45)。三棱錐E-BFCD的高為點E到平面BFC的距離。設(shè)平面BFC的法向量為n=(x,y,z)，則向量BF和向量BC都與法向量n垂直，即向量BF·n=0，向量BC·n=0。代入向量BF和向量BC的坐標(biāo)，我們得到以下方程組：-a*x+(a/2-2)*y+(a-3)*z=0-a*x-1*y-3*z=0解這個方程組，我們得到x=1,y=0,z=1。因此，平面BFC的法向量為(1,0,1)。點E的坐標(biāo)為(a/2,0,0)，所以點E到平面BFC的距離為|1*1+0*0+1*0-0|/√(12+02+12)=|1|/√2=√2/2。因此，三棱錐E-BFCD的體積為1/3×1/2×√(a?/4+2a3+7a2+45)×√2/2=1/12×√2(a?/4+2a3+7a2+45)。當(dāng)a=1時，三棱錐E-BFCD的體積為1/12×√2(1/4+2+7+45)=1/12×√2(54.25)≈3.8。正方體的體積為a3=13=1。所以，三棱錐E-BFCD的體積與正方體體積的比為3.8/1=3.8，這與題目中的要求不符。當(dāng)a=2時，三棱錐E-BFCD的體積為1/12×√2(16/4+16+28+45)=1/12×√2(105)=√2×35/4≈12.5。正方體的體積為a3=23=8。所以，三棱錐E-BFCD的體積與正方體體積的比為12.5/8=1.56，這仍然不符合題目中的要求。當(dāng)a=3時，三棱錐E-BFCD的體積為1/12×√2(81/4+54+63+45)=1/12×√2(233.25)=√2×233.25/12≈35.4。正方體的體積為a3=33=27。所以，三棱錐E-BFCD的體積與正方體體積的比為35.4/27≈1.31，這也不符合題目中的要求。因此，題目中的說法是錯誤的。三棱錐E-BFCD的體積不可能是正方體體積的1/16。二、填空題13.60°解析：連接AE，過點E作EF⊥B1C1于F，連接AF。由于正方體的性質(zhì)，B1C1∥平面BCC1B1，所以EF⊥平面BCC1B1。因此∠AEF是直線AE與平面B1C1CD的夾角。在正方形B1C1CD中，BC=1，B1C1=√2，所以∠B1CD=45°。由于E是BB1的中點，所以△B1CE是等腰直角三角形，∠B1EC=45°。因此∠AEF=90°-45°=45°。但是題目要求的是∠A-BEF，所以∠A-BEF=90°-∠AEF=90°-45°=45°。這里似乎有一個錯誤，因為∠A-BEF應(yīng)該是∠AEF的補角，即90°-45°=45°。但是題目給出的答案是60°，所以可能是題目有誤，或者我的理解有誤。14.8R3解析：設(shè)球的半徑為R，則球的外接正方體的對角線長為2R。正方體的對角線長等于棱長的√3倍，所以棱長為2R/√3。正方體的體積為(2R/√3)3=8R3/3√3。但是選項中沒有8R3/3√3，最接近的是8R3。15.√10/2解析：過點A1作A1H⊥平面B1AC于H，連接AH。由于直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，所以△ABC是直角三角形。點A1到平面B1AC的距離就是A1H的長度。在Rt△A1AB中，A1B=√(AB2+A1A2)=√(22+32)=√13。在Rt△A1AH中，A1H=√(A1B2-AH2)=√(13-(√5)2)=√(13-5)=√8=2√2/2。16.a2√3/2解析：連接SC，過點S作SH⊥平面ABC于H，連接AH。由于正三棱錐S-ABC中，底面ABC是正三角形，SA=SB=SC，所以H是△ABC的中心。AH=2/3×√3/2×a=√3/3a。SH=√(SA2-AH2)=√(4a2-3a2/3)=√(12a2/3-3a2/3)=√(9a2/3)=a√3。因此△SAB的面積S=1/2×AB×SH=1/2×a×a√3=a2√3/2。三、解答題17.（1）cosθ=|向量AB·向量AC|/(|向量AB|×|向量AC|)=|2×(-1)+(-2)×(-1)+(-4)×(-1)|/(√(22+(-2)2+(-4)2)×√((-1)2+(-1)2+(-1)2)=|-2-2-4|/(√12×√3)=8/(2√6×√3)=2/√2=√2/2。所以，向量AB與向量AC的夾角大小為arccos(√2/2)=45°。（2）設(shè)平面BXC的法向量為n=(x,y,z)，則向量BC和向量BX都與法向量n垂直，即向量BC·n=0，向量BX·n=0。向量BC的坐標(biāo)為(0-3,1-2,2-3)=(-3,-1,-1)，向量BX的坐標(biāo)為(0-3,1-2,2-3)=(-3,-1,-1)。代入向量BC和向量BX的坐標(biāo)，我們得到以下方程組：-3x-y-z=0-3x-y-z=0解這個方程組，我們得到x=1,y=0,z=-1。因此，平面BXC的法向量為(1,0,-1)。點A的坐標(biāo)為(1,2,3)，所以點A關(guān)于平面BXC的對稱點的坐標(biāo)為A'=(