破解嵌套函數(shù)的零點問題函數(shù)的零點問題是命題的熱點，常與函數(shù)的性質等相關問題交匯.對于嵌套函數(shù)的零點，通常先“換元解套”，設中間函數(shù)為t，通過換元將復合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，再借助函數(shù)圖象、性質求解.一、嵌套函數(shù)零點個數(shù)的判斷【例1】已知函數(shù)f（x）＝lnx－1x，x>0，x2+2x，x≤A.2 B.3C.4 D.5解析：D令t＝f（x）＋1＝lnx－1x+1，x>0，（x+1）2，x≤0.當t＞0時，f（t）＝lnt－1t，則函數(shù)f（t）在（0，＋∞）上單調遞增，因為f（1）＝－1＜0，f（2）＝ln2－12＞0，所以由函數(shù)零點存在定理可知，存在t1∈（1，2），使得f（t1）＝0；當t≤0時，f（t）＝t2＋2t，由f（t）＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函數(shù)t＝f（x）＋1的圖象，直線t＝t1，t＝－2，t＝0如圖所示，由圖象可知，直線t＝t1與函數(shù)t＝f（x）＋1的圖象有兩個交點；直線t＝0與函數(shù)t＝f（x）＋1的圖象有兩個交點；直線t＝－2與函數(shù)t＝f（x）＋點評（1）判斷嵌套函數(shù)零點個數(shù)的主要步驟：①換元解套，轉化為t＝g（x）與y＝f（t）的零點；②依次解方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x的值或判斷圖象交點個數(shù).（2）抓住兩點：①轉化換元；②充分利用函數(shù)的圖象與性質.（2024·青島模擬）已知函數(shù)f（x）＝ex，x<0，4x3－6x2+1，x≥0，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)g（x）＝A.4 B.5C.6 D.3解析：A當x≥0時，f（x）＝4x3－6x2＋1的導數(shù)為f'（x）＝12x2－12x，當0＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，x＞1時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，可得f（x）在x＝1處取得最小值，最小值為－1，且f（0）＝1，作出函數(shù)f（x）的圖象，g（x）＝3[f（x）]2－10f（x）＋3，令t＝f（x），則g（x）＝g（t）＝3t2－10t＋3，令g（x）＝g（t）＝0，則3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或13，當t＝13，即f（x）＝13時，g（x）有三個零點；當t＝3時，可得f（x）＝3有一個實根，即g（x）有一個零點，綜上，g（x二、求嵌套函數(shù)零點中的參數(shù)【例2】函數(shù)f（x）＝ln(-x－1),x＜－1，2x+1，x≥－1，若函數(shù)答案：[－1，＋∞）解析：設t＝f（x），令g（x）＝f[f（x）]－a＝0，則a＝f（t）.在同一平面直角坐標系內作y＝a，y＝f（t）的圖象（如圖）.易知當a＜－1時只有一個零點，當a≥－1時，y＝a與y＝f（t）的圖象有兩個交點.設交點的橫坐標為t1，t2（不妨設t2＞t1），則t1＜－1，t2≥－1.當t1＜－1時，t1＝f（x）有一解；當t2≥－1時，t2＝f（x）有兩解.綜上，當a≥－1時，函數(shù)g（x）＝f[f（x）]－a有三個不同的零點.點評（1）求解本題的關鍵是抓住分段函數(shù)圖象的性質，由y＝a與y＝f（t）的圖象，確定t1，t2的取值范圍，進而由t＝f（x）的圖象確定零點的個數(shù)；（2）處理含參數(shù)的嵌套函數(shù)方程，還應注意讓參數(shù)的取值“動起來”，抓臨界位置，動靜結合.已知函數(shù)f（x）＝4sinπx，0<x≤1，2x－1＋x，x>1，若關于x的方程[f（x）]2－（2－m答案：（－3，－1）解析：作出函數(shù)f（x）的大致圖象，如圖所示，則f（x）的定義域為（0，＋∞），值域為[0，＋∞），令t＝f（x），則[f（x）]2－（2－m）f（x）＋1－m＝0可化為t2－（2－m）t＋1－m＝（t－1＋m）（t－1）＝0，t∈[0，＋∞），則t1＝1或t2＝1－m，則關于x的方程[f（x）]2－（2－m）·f（x）＋1－m＝0恰有5個不同的實數(shù)解，等價于t＝f（x）的圖象與直線t＝t1，t＝t2的交點個數(shù)之和為5，由圖可得函數(shù)t＝f（x）的圖象與直線t＝t1的交點個數(shù)為2，所以t＝f（x）的圖象與直線t＝t2的交點個數(shù)為3，即此時2＜1－m＜4，解得－3＜m＜－1.1.（2024·巢湖模擬）函數(shù)f（x）＝（3x－27）·ln（x－1）的零點為（）A.2，3 B.2C.（2，0） D.（2，0），（3，0）解析：A由f（x）＝0，得（3x－27）ln（x－1）＝0，即3x－27＝0或ln（x－1）＝0，解得x＝3或x＝2，所以函數(shù)f（x）＝（3x－27）ln（x－1）的零點為2，3，故選A.2.設函數(shù)f（x）＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的過程中，計算得到f（1）＜0，f（3）＞0，則方程的近似解落在區(qū)間（）A.（1，32） B.（32C.（2，52） D.（52解析：A取x1＝2，因為f（2）＝4×8＋2－8＝26＞0，所以方程近似解x0∈（1，2），取x2＝32，因為f（32）＝4×278＋32－8＝7＞0，所以方程近似解x0∈3.（2024·隴南模擬）若x0是方程2x＝12－3x的解，則x0所在的區(qū)間為（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，4）解析：C因為函數(shù)f（x）＝2x＋3x－12為增函數(shù)，又f（2）＝22＋6－12＝－2＜0，f（3）＝23＋9－12＝5＞0，所以函數(shù)f（x）的零點所在區(qū)間是（2，3），即x0∈（2，3）.故選C.4.（2024·肇慶模擬）函數(shù)f（x）＝2x－2x－a的一個零點在區(qū)間（1，2）內，則實數(shù)a的取值范圍是（A.0＜a＜3 B.1＜a＜3C.1＜a＜2 D.a≥2解析：A因為函數(shù)y＝2x，y＝－2x在（0，＋∞）上單調遞增，所以函數(shù)f（x）＝2x－2x－a在（0，＋∞）上單調遞增，由函數(shù)f（x）＝2x－2x－a的一個零點在區(qū)間（1，2）內得f（1）＝－a＜0，f（2）＝3－a＞0，解得0＜a＜35.（2024·淮南第一次聯(lián)考）若函數(shù)f（x）＝log4（x－1),x>1，A.[－3，0） B.[－1，0）C.[0，1） D.[－3，＋∞）解析：A因為函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上單調遞增，且f（2）＝0，即f（x）在（1，＋∞）上有一個零點，函數(shù)f（x）＝log4（x－1),x>1，－3x－m，x≤1存在2個零點，當且僅當f（x）在（－∞，1]上有一個零點，x≤1時，f（x）＝0?m＝－3x，即函數(shù)y＝－3x在（－∞，1]上的圖象與直線y＝m有一個公共點，而y＝－3x在（－∞，1]上單調遞減，且有－3≤－3x＜0，則當－3≤m＜0時6.（多選）已知函數(shù)f（x）＝13x－log2x，0＜a＜b＜c，f（a）f（b）f（c）＜0，實數(shù)d是函數(shù)f（x）的一個零點.給出下列四個判斷，其中可能成立的是（A.d＜a B.d＞bC.d＞c D.d＜c解析：ABD由y＝13x在（0，＋∞）上單調遞減，y＝log2x在（0，＋∞）上是增函數(shù)，可得f（x）＝13x－log2x在定義域（0，＋∞）上是減函數(shù)，當0＜a＜b＜c時，f（a）＞f（b）＞f（c），因為f（a）f（b）·f（c）＜0，f（d）＝0，所以①f（a），f（b），f（c）都為負值，則a，b，c都大于d；②f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0，則a，b都小于d，c大于d.綜合①②可得d7.（2024·海寧模擬）函數(shù)f（x）＝36－x2·cosx答案：6解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f（x）的定義域為[－6，6].令f（x）＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝π2＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x為－3π2，－π2，π2，3π2.故f8.設函數(shù)f（x）＝1－1x（x＞（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；（2）當0＜a＜b且f（a）＝f（b）時，求1a＋1b（3）若方程f（x）＝m有兩個不相等的正根，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示.（2）因為f（x）＝1－1故f（x）在（0，1]上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，由0＜a＜b且f（a）＝f（b），得0＜a＜1＜b，且1a－1＝1－1b，所以1a＋（3）由函數(shù)f（x）的圖象可知，當0＜m＜1時，方程f（x）＝m有兩個不相等的正根，即實數(shù)m的取值范圍為（0，1）.9.定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝f（x），則f（x）在[－3，3]上的零點個數(shù)至少為（）A.6 B.7C.12 D.13解析：D因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，又由f（x＋1）＝f（x）得f（x）的周期為1，所以f（－3）＝f（－2）＝f（－1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝f（3）＝0.又f12＝f－12，f12＝－f－12，因此f12＝f－12＝0，則f－52＝f－32＝f－12＝f12＝f32＝f52＝0，10.已知函數(shù)f（x）＝ex＋x，g（x）＝lnx＋x，h（x）＝sinx＋x的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為（）A.c＜b＜a B.b＜a＜cC.a＜c＜b D.c＜a＜b解析：C函數(shù)f（x）＝ex＋x，g（x）＝lnx＋x，h（x）＝sinx＋x的零點轉化為y＝ex，y＝lnx，y＝sinx與y＝－x的圖象的交點的橫坐標，因為零點分別為a，b，c，在坐標系中畫出y＝ex，y＝lnx，y＝sinx與y＝－x的圖象如圖，可知a＜0，b＞0，c＝0，滿足a＜c＜b.故選C.11.對于函數(shù)f（x）和g（x），設α∈{x｜f（x）＝0}，β∈{x｜g（x）＝0}，若存在α，β，使得｜α－β｜＜1，則稱f（x）與g（x）互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)f（x）＝ex－1＋x－2與g（x）＝x2－ax＋1互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.2B.[2，＋∞）C.[－2，2]D.（－∞，－2]∪[2，＋∞）解析：B∵f（x）＝ex－1＋x－2，∴f（x）在R上為增函數(shù)，又f（1）＝e0＋1－2＝0，∴f（x）有唯一零點為1，令g（x）的零點為x0，依題意知｜x0－1｜＜1，即0＜x0＜2，即函數(shù)g（x）在（0，2）上有零點，令g（x）＝0，則x2－ax＋1＝0在（0，2）上有解，即a＝x＋1x在（0，2）上有解，∵x＋1x≥2，當且僅當x＝1x，即x＝1時取等號，∴12.（多選）已知函數(shù)f（x）＝－x2－2x，x≤0，｜log2x|,x>0，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（A.x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1C.1＜x4＜2 D.0＜k＜1解析：BCD由函數(shù)f（x）＝－x2－2x，x≤0，｜log2x|,x>0，作出其函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1；當y＝1時，｜log2x｜＝1，解得x＝12或x＝2；所以12＜x3＜1＜x4＜2；由f（x3）＝f（x4），得｜log2x3｜＝｜log2x4｜，即log2x3＋log2x4＝0，13.（2024·南京模擬）函數(shù)f（x）＝1｜x－1｜－1－cosπx在[－1，答案：4解析：令f（x）＝1｜x－1｜－1－cosπx＝0，即1｜x－1｜＝1＋cosπx，函數(shù)y＝1｜x－1｜和y＝1＋cosπx都關于x＝1對稱，所以函數(shù)y＝1｜x－1｜和y＝1＋cosπx的交點也關于x＝1對稱，如圖畫出兩個函數(shù)在區(qū)間[－1，3]的函數(shù)圖象，由圖象知，兩個函數(shù)圖象在[－1，3]上有4個交點，14.已知函數(shù)f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）＞0，f（1）＞0，證明a＞0，并用二分法證明方程f（x）＝0在區(qū)間[0，1]內有兩個實根.證明：∵f（1）＞0，∴3a＋2b＋c＞0，即3（a＋b＋c）－b－2c＞0，∴－b－2c＞0，即－b－c＞c.又a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，∴a＞c.∵f（0）＞0，∴c＞0，則a＞0.取區(qū)間[0，1]的中點12則f（12）＝34a＋b＋c＝34a＋（－a）＝－1∵f（0）＞0，f（1）＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，12）和（12，1）又f（x）為一元二次函數(shù)，最多有兩個零點，故方程f（x）＝0在區(qū)間[0，1]內有兩個實根.15.已知函數(shù)f（x）是定義在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函數(shù)，且當x∈（0，＋∞）時，f（x）＝（x－1）2，0<x≤2，f（x－2）+1，A.4 B.5C.6 D.7解析：C因為當x∈（0，2]時，f（x）＝（x－1）2，當x＞2時，f（x）＝f（x－2）＋1，所以將f（x）在區(qū)間（0，2]上的圖象向右平移2個單位長度，同時再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)f（x）在（2，4]上的圖象.同理可得到f（x）在（4，6]，（6，8]，…上的圖象.再由f（x）的圖象關于y軸對稱得到f（x）在（－∞，0）上的圖象，從而得到f（x）在其定義域內的圖象，如圖所示，令g（x）＝0，得f（x）＝0或f（x）＝1，由圖可知直線y＝0與y＝1和函數(shù)y＝f（x）的圖象共有6個交點，所以函數(shù)g（x）共有6個零點.故選C.16.已知f（x）是定義在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝3x－7，0<x≤2，（1）若函數(shù)g（x）恰有三個不相同的零點，求實數(shù)a的值；（2）記h（a）為函數(shù)g（x）的所有零點之和.當－1＜a＜1時，求h（a）的取值范圍.解：（1）作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖，由圖象可知，當且僅當a＝2或a＝－2時，直線y＝a與函數(shù)y＝f（x