基于混沌系統(tǒng)的圖像加密研究摘要：隨著21世紀信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)字圖像的隱私保護問題受到了人們的高度重視。傳統(tǒng)加密算法存在日益增加的風險，因為它們無法很好地處理實時性、海量數(shù)據(jù)和像素點相關(guān)性等特征，因此圖像加密技術(shù)的創(chuàng)新備受矚目。混沌系統(tǒng)，以其獨特的初始條件敏感性、遍歷性、不可預測性以及偽隨機性等特性，為圖像加密算法提供了更高的加密效果與安全性保障。混沌系統(tǒng)所展現(xiàn)的這些性質(zhì)，不僅增強了加密算法的復雜性和難以破解性，還使得加密過程更加靈活多變，有效應(yīng)對各種潛在的攻擊手段。因此，深入研究混沌系統(tǒng)在圖像加密中的應(yīng)用，對于提升信息安全水平具有重要意義，也是當前學術(shù)界的一個研究熱點。在本文中，我們將深入探討傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)在圖像加密領(lǐng)域所面臨的挑戰(zhàn)和局限性。為了克服這些不足，我們嘗試將先進的混沌理論應(yīng)用于圖像加密領(lǐng)域，并設(shè)計出了兩種新穎的加密方案。第一種方案充分利用了Lorenz混沌系統(tǒng)映射的卓越特性，通過引入非線性項和耦合項，顯著增強了新混沌系統(tǒng)的復雜性和安全性。第二種方案則結(jié)合了超混沌系統(tǒng)和DNA編解碼運算，構(gòu)建了一種高效的圖像加密算法。在該算法中，圖像被劃分為多個小塊進行加密，每個圖像塊的DNA編解碼和運算規(guī)則都由混沌系統(tǒng)生成的混沌序列動態(tài)決定。實驗仿真結(jié)果表明，這兩種混沌系統(tǒng)加密方案均展現(xiàn)出了良好的可行性和性能。通過對這些方案的深入研究，我們有望為圖像加密領(lǐng)域帶來新的突破和進步。關(guān)鍵詞：圖像加密；混沌系統(tǒng)；DNA編解碼運算；隱私保護；偽隨機ResearchonImageEncryptionBasedonChaoticSystemAbstract:Withtherapiddevelopmentofinformationtechnologyinthe21stcentury,theprivacyprotectionofdigitalimageshasbeenhighlyvaluedbypeople.Traditionalencryptionalgorithmshaveincreasingrisksbecausetheyfailtohandlefeaturessuchasreal-time,massivedataandpixelcorrelation,sotheinnovationofimageencryptiontechnologyattractsmuchattention.Chaossystem,withitsuniqueinitialconditionsensitivity,ergodicnature,unpredictabilityandpseudo-stochasticcharacteristics,providesahigherencryptioneffectandsecurityguaranteefortheimageencryptionalgorithm.Thesepropertiesdisplayedbythechaoticsystemnotonlyenhancethecomplexityanddifficultytocracktheencryptionalgorithm,butalsomaketheencryptionprocessmoreflexibleandeffectivelydealwithvariouspotentialattackmeans.Therefore,itisofgreatsignificancetodeeplystudytheapplicationofchaoticsysteminimageencryptiontoimprovethelevelofinformationsecurity,anditisalsoaresearchhotspotinthecurrentacademiccircle.Inthispaper,wewilldeeplyexplorethechallengesandlimitationsoftraditionalchaoticsystemsinthefieldofimageencryption.Toovercometheseshortcomings,wetrytoapplytheadvancedchaostheorytothefieldofimageencryption,anddesigntwonovelencryptionschemes.ThefirstschemetakesfulladvantageoftheexcellentpropertiesofLorenzchaoticsystemsmappingandsignificantlyenhancesthecomplexityandsecurityofnewchaoticsystemsbyintroducingnonlinearandcouplingterms.ThesecondschemecombinesasuperchaoticsystemandaDNAencodingoperationtobuildanefficientimageencryptionalgorithm.Inthisalgorithm,theimageisdividedintomultiplesmallblocksforencryption,andtheDNAcodecandoperationrulesofeachimageblockaredynamicallydeterminedbythechaoticsequencegeneratedbythechaoticsystem.Theexperimentalsimulationresultsshowthatthesetwochaoticsystemencryptionschemesshowgoodfeasibilityandperformance.Throughthein-depthstudyoftheseschemes,weareexpectedtobringnewbreakthroughsandadvancesinthefieldofimageencryption.Keywords:imageencryption;chaoticsystem;DNAcoding-decoding-computing;privacyprotection;pseudorandom

導論研究背景與意義隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)與多媒體通信技術(shù)的迅猛進步，人們?nèi)缃竦靡越柚鄻踊男畔⒚浇樵诰W(wǎng)絡(luò)平臺上進行廣泛而深入的交流。這些技術(shù)的飛速發(fā)展不僅豐富了人們的交流方式，也極大地拓寬了人們獲取和分享信息的渠道。在網(wǎng)絡(luò)空間中，人們可以通過文字、圖片、音頻和視頻等多種形式的信息載體進行實時互動，使得信息的傳遞和獲取變得更為便捷高效。這種交流方式的變革，無疑對人們的生活方式和社會文化產(chǎn)生了深遠的影響。然而，這些信息載體都是通過公開網(wǎng)絡(luò)信道傳輸?shù)?，因此存在泄露隱私信息的風險。泄露隱私信息可能給個人或集體帶來許多不必要的麻煩，甚至可能導致財產(chǎn)損失和生命危險。因此，對信息進行必要的安全隱私保護變得越來越重要。數(shù)字圖像作為一種特殊的信息表達載體，鑒于數(shù)字圖像在信息傳播中的直觀性和信息量大的特點，其占比在信息載體中頗為顯著。因此，對于數(shù)字圖像的隱私保護顯得至關(guān)重要。目前，數(shù)字圖像的隱私保護主要有兩種方法：一種是圖像數(shù)字水印技術(shù)，另一種則是圖像加密技術(shù)。前者通過在明文圖像中嵌入數(shù)字水印，旨在保護圖像的版權(quán)并防止其被非法傳播。后者則通過對圖像的像素值和像素位置進行特定的可逆數(shù)學變換，使變換后的圖像盡可能失去相關(guān)性，從而防止未經(jīng)授權(quán)的第三方獲取圖像的詳細內(nèi)容。圖像加密技術(shù)將明文圖像的關(guān)鍵特征信息轉(zhuǎn)化為類似噪音的形式，因此，它是保護圖像隱私安全的一種重要手段。這兩種方法各有特點，共同為數(shù)字圖像的隱私保護提供了有效的技術(shù)支撐。REF_Ref27738\r\h[1]。數(shù)字圖像的像素數(shù)據(jù)量大、具有相鄰像素相關(guān)性和強冗余性等固有特性，使得傳統(tǒng)加密算法面臨著嚴峻的挑戰(zhàn)。例如，在電子密碼本模式下，AES加密所產(chǎn)生的密文圖像仍然具有明顯的明文圖像輪廓。因此，圖像安全領(lǐng)域的研究者提出了許多基于不同理論的創(chuàng)新圖像加密算法，如壓縮感知理論和混沌理論等?；煦缑艽a學作為新興的密碼學領(lǐng)域，以其對參數(shù)和初始條件的極端敏感依賴性、偽隨機性以及不可預測性等獨特特性而被廣泛應(yīng)用于圖像信息安全領(lǐng)域。在國家技術(shù)發(fā)展規(guī)劃綱要中，從2006年到2020年的規(guī)劃期間，混沌密碼技術(shù)被確定為重點研究內(nèi)容之一，被認為是確保國家基礎(chǔ)信息網(wǎng)絡(luò)和重要信息系統(tǒng)安全的關(guān)鍵技術(shù)。在2015年，《混沌密碼理論及應(yīng)用》這一研究領(lǐng)域被正式列為國家自然科學基金的重點資助項目，這標志著其在學術(shù)界的重要地位得到了廣泛認可REF_Ref29276\r\h[2]。此外，根據(jù)未來的“十四五”規(guī)劃，這一領(lǐng)域仍將繼續(xù)作為自然科學研究的重要議題REF_Ref29276\r\h[2]。因此，深入研究基于混沌序列復雜度提高的算法具有極高的研究價值。這一研究不僅有助于推動混沌密碼學領(lǐng)域的進一步發(fā)展，還能夠為解決該領(lǐng)域的關(guān)鍵問題提供有效的理論支持和技術(shù)手段。通過不斷提升混沌序列的復雜度，我們可以進一步增強密碼系統(tǒng)的安全性，保護信息安全，為社會的穩(wěn)定發(fā)展提供有力保障。此外，混沌系統(tǒng)憑借其獨特的特性，能夠與其他理論相結(jié)合，從而進一步提升加密算法的性能。舉例來說，將生物基因?qū)W中的DNA編碼解碼運算與混沌系統(tǒng)相融合，不僅可以提高加密算法的復雜度，還能增強其安全性，進一步提升加密算法的各項性能指標。此外，將混沌系統(tǒng)與離散余弦變換相結(jié)合，也是一種有效的策略。這種結(jié)合方式可以在保證加密安全性的同時，優(yōu)化加密過程，提高加密效率的同時，進一步壓縮數(shù)據(jù)量，提高數(shù)據(jù)傳輸效率。這種結(jié)合不僅提升了加密算法的安全性，還提高了其效率，使得加密過程更加可靠和高效。國內(nèi)外研究現(xiàn)狀1991年，美國物理學家LelandW.Tang首次嘗試將混沌系統(tǒng)應(yīng)用于圖像加密，提出了基于混沌映射的像素置亂算法，利用混沌系統(tǒng)的偽隨機性質(zhì)對圖像像素進行混淆和擾亂REF_Ref22223\r\h[3]。印度科學家VikasHarneja和美國物理學家StephenW.Golomb在1998年結(jié)合混沌系統(tǒng)與置亂技術(shù)，提出了一種基于置亂和混沌擾動的圖像加密方案，利用混沌系統(tǒng)生成的隨機序列對圖像像素進行亂序排列，以增強圖像的安全性和難以破解性REF_Ref22314\r\h[5]。在21世紀初，中國科學家徐杰提出了一種創(chuàng)新的圖像加密算法，該算法巧妙地融合了Logistic混沌映射與混沌序列生成算法REF_Ref5012\r\h[4]。在加密算法的實現(xiàn)過程中，徐杰巧妙地采用了像素替換與像素置亂技術(shù)，有效提高了加密效果，進一步確保了圖像數(shù)據(jù)的安全性REF_Ref5012\r\h[4]。該算法利用混沌映射生成的偽隨機數(shù)對圖像像素進行替換和置亂，從而達到加密的目的REF_Ref5012\r\h[4]。2007年，一種新型的圖像加密算法由中國南京航空航天大學的研究團隊基于多維混沌映射理論提出。該算法將多維混沌映射與置亂操作相結(jié)合，利用多維混沌系統(tǒng)的高度混沌性和復雜性對圖像進行加密處理，使其具備更高的安全性和抗攻擊性REF_Ref22344\r\h[6]。華中科技大學的研究團隊在2010年取得了重要的研究突破，他們成功地將3D混沌系統(tǒng)與離散小波變換技術(shù)相結(jié)合，應(yīng)用于圖像加密領(lǐng)域。在這一創(chuàng)新方法中，研究團隊利用3D混沌系統(tǒng)生成的偽隨機數(shù)，對圖像進行了像素級別的混淆和置亂操作，有效提高了加密的復雜性和安全性REF_Ref22386\r\h[7]。同時，通過引入離散小波變換技術(shù)，他們實現(xiàn)了對圖像數(shù)據(jù)的高效壓縮和加密，進一步提升了加密算法的效率和實用性。這一研究不僅豐富了圖像加密技術(shù)的理論體系，也為實際應(yīng)用提供了強有力的技術(shù)支持。在高維混沌系統(tǒng)的圖像加密算法領(lǐng)域，中國西安電子科技大學的研究團隊在2013年利用高維混沌系統(tǒng)的復雜性和隨機性對圖像進行混淆和擾亂，增強了圖像的抗攻擊性REF_Ref22386\r\h[7]。2015年，中國華東師范大學的研究團隊將混沌系統(tǒng)與DNA編碼解碼運算相結(jié)合，利用DNA編碼解碼運算的隨機性和復雜性對圖像進行加密，進一步增強了圖像的安全性和魯棒性REF_Ref22425\r\h[9]?；煦缦到y(tǒng)與卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）相結(jié)合是最近幾年的成果，2018年美國密歇根大學的研究團隊利用CNN模型對混沌系統(tǒng)生成的加密密鑰進行學習和優(yōu)化，增強圖像加密算法的魯棒性REF_Ref22448\r\h[8]。本文主要研究內(nèi)容及結(jié)構(gòu)安排在本文中，我們首先通過經(jīng)典混沌系統(tǒng)的實驗仿真，全面評估了混沌系統(tǒng)的性能參數(shù)。隨后，我們深入研究了混沌系統(tǒng)的特性，并據(jù)此提出了一種新型的復雜混沌系統(tǒng)。進一步地，我們探索了混沌系統(tǒng)與DNA編碼相結(jié)合的加密算法，以期提升加密效果。除此之外，我們還對基于混沌理論的圖像加密系統(tǒng)的抗攻擊性進行了深入細致的分析與探討。在此基礎(chǔ)上，我們結(jié)合數(shù)字圖像本身的特點，對傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)和兩種復合型混沌系統(tǒng)進行了性能對比與優(yōu)良分析，以揭示各自的優(yōu)勢與局限性。具體而言，本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第1章導論：本章主要介紹了本論文的研究背景與意義，概述了國內(nèi)外在該領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀，并簡要介紹了本文的整體結(jié)構(gòu)安排。展示了圖像的隱私性保護極其重要，同時備受國家政策關(guān)注，混沌系統(tǒng)在該領(lǐng)域可以起到關(guān)鍵作用。第2章混沌系統(tǒng)與圖像加密技術(shù)概述：介紹了混沌系統(tǒng)、DNA編碼和圖像加密技術(shù)的相關(guān)概念，并實驗仿真經(jīng)典混沌系統(tǒng)相關(guān)模型，為后續(xù)提出新系統(tǒng)做知識鋪墊。第3章基于Lorenz混沌系統(tǒng)的密碼分析及改進系統(tǒng)：分析經(jīng)典混沌系統(tǒng)的復雜性，并再此基礎(chǔ)上加入更多非線性項、耦合項等，提出新的復合型混沌系統(tǒng)，并驗證其圖像加密效果。第4章基于混沌系統(tǒng)與DNA運算的圖像加密系統(tǒng)研究：本章詳細探討了將混沌系統(tǒng)與DNA運算融合，用于彩色數(shù)字圖像分塊加密的算法設(shè)計。我們利用Matlab仿真平臺成功實現(xiàn)了該算法，并對其進行了深入的測試。該算法充分運用了混沌系統(tǒng)的優(yōu)越特性以及DNA編碼解碼過程的獨特性，將其巧妙融合于圖像加密過程中，實現(xiàn)了對數(shù)字圖像的高效分塊加密。為了全面評估該加密算法的性能，我們開展了多項測試，包括直方圖分析、相鄰數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性評估、抗噪聲性能測試以及圖像質(zhì)量評估等。這些測試不僅驗證了算法的有效性，同時也為我們進一步優(yōu)化算法提供了有力的支持。第5章總結(jié)與展望：本章對全文的研究內(nèi)容進行了系統(tǒng)的總結(jié)，并對未來的研究方向和改進工作進行了展望。

混沌系統(tǒng)與圖像加密技術(shù)概述混沌系統(tǒng)的定義混沌是一種在確定性系統(tǒng)中涌現(xiàn)出的無規(guī)律、看似隨機的行為，表現(xiàn)為不確定性、非重復性和不可預測性，既無周期性也不收斂?；煦绮⒎呛唵蔚臒o序狀態(tài)，而是蘊含著豐富的內(nèi)部有序結(jié)構(gòu)，是非線性系統(tǒng)中的一種新型存在形態(tài)REF_Ref22589\r\h[10]。從整體上看，混沌系統(tǒng)具有穩(wěn)定性，而在局部則表現(xiàn)為不穩(wěn)定性，其行為極度依賴于初始條件REF_Ref22589\r\h[10]。任何微小的初始條件變化都可能導致混沌系統(tǒng)的運動軌跡發(fā)生極大的偏離，且這種偏離會隨時間推移而不斷放大，使其預測性愈發(fā)困難REF_Ref22589\r\h[10]。混沌不僅是非線性動力系統(tǒng)中的新型存在形態(tài)，更是其不可或缺的重要部分。它既普遍又復雜，融合了有序與無序的特質(zhì)，兼具確定性與隨機性的特征，鑒于混沌現(xiàn)象的復雜性，至今尚未形成統(tǒng)一的定義REF_Ref29276\r\h[2]。當前，科學家們普遍接受的數(shù)學定義主要基于混沌對初始條件的敏感性和其運動軌跡的非周期性。這些定義從不同側(cè)面揭示了混沌的運動特性，雖在邏輯上未必完全等價，但本質(zhì)上是一致的。科學家們普遍認為，應(yīng)從數(shù)學和物理兩個層面深入探究混沌現(xiàn)象的本質(zhì)特征，以更好地把握其本質(zhì)，并有望得出更為準確和完整的結(jié)論REF_Ref22615\r\h[11]。以下列舉幾種廣泛影響的混沌定義：（1）Li-Yorke混沌定義首次提出“混沌”這一術(shù)語的學者，是來自中國的李天巖與美國的數(shù)學家J.Yorke，他們從數(shù)學的角度為混沌賦予了定義REF_Ref22664\r\h[12]。下面，我們將詳細介紹這一重要的數(shù)學定理——Li-Yorke定理：設(shè)f(x)是[a,b]上的連續(xù)自映射，如果f(x)有3周期點，則對于任何正整數(shù)n，f(x)都有n周期點。區(qū)間[a,b]上的連續(xù)自映射f(x)稱為是混沌的，若其滿足以下兩個條件：第一個條件：f(x)周期點的周期無上界；第二個條件：存在不可數(shù)子集S在閉區(qū)間[a,b]中，且滿足：1）對任意x,y∈S,x≠y,limn→∞sup2）對任意的x,y∈S,lim3）對任意的x∈S及f的任意周期點y∈I，則有l(wèi)imn依據(jù)上述定義以及定理，對于連續(xù)函數(shù)f(x)，若閉區(qū)間[a,b]內(nèi)存在周期為3的周期點，則混沌現(xiàn)象便應(yīng)運而生。Li-Yorke混沌定義深入揭示了混沌運動的幾個核心特征：1）混沌運動中存在著可數(shù)無窮多的穩(wěn)定周期軌道，這些軌道在系統(tǒng)中循環(huán)往復，構(gòu)成了一種穩(wěn)定的周期性運動模式。2）除了穩(wěn)定的周期軌道外，混沌運動中還存在著不可數(shù)無窮多的穩(wěn)定非周期軌道。這些軌道并不遵循固定的周期性，但同樣表現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性，為系統(tǒng)的復雜性增添了豐富的內(nèi)容。3）混沌運動中至少存在一個不穩(wěn)定的非周期軌道。這種軌道的不穩(wěn)定性使得系統(tǒng)的運動軌跡變得難以預測，進一步展現(xiàn)了混沌現(xiàn)象的復雜性和不可預測性。（2）Devaney混沌定義在1989年，Devaney從拓撲的視角為混沌提供了一種通俗易懂的數(shù)學定義，這一定義在混沌理論的發(fā)展中產(chǎn)生了深遠的影響。Devaney的混沌定義指出，在度量空間X上，若存在連續(xù)映射f滿足以下三個條件，則我們稱f在X上是混沌的。這一定義從數(shù)學的角度為我們理解混沌現(xiàn)象提供了新的視角和工具。1）對初值的敏感依賴性REF_Ref22589\r\h[10]。存在δ>0，對于任意的ε>0以及任意的x?X，在x的ε鄰域內(nèi)存在y和自然數(shù)n，使得d(fn(x),fn(y))>δREF_Ref22589\r\h[10]2）拓撲傳遞性REF_Ref22589\r\h[10]。對于V上的任意對開集X,Y，存在。這說明混沌系統(tǒng)不能細分或不可能分解為兩個在f下相互不影響的子系統(tǒng)REF_Ref22589\r\h[10]。3）f的周期點在V中稠密REF_Ref22664\r\h[12]。這說明了混沌系統(tǒng)擁有極強的確定性和規(guī)律性，其運動最終會落在混沌吸引子之中，雖然看似混亂無序卻又頗具有規(guī)律REF_Ref22664\r\h[12]?；煦缦到y(tǒng)的特性（1）混沌系統(tǒng)具有對初始值和參數(shù)的極度敏感性，即使這些值和參數(shù)的微小變動也會導致系統(tǒng)未來的狀態(tài)發(fā)生顯著變化。這種特性與著名的“蝴蝶效應(yīng)”相類似，使得混沌系統(tǒng)在密碼學中成為理想的密鑰候選，滿足密碼學對密鑰安全性和敏感性的要求REF_Ref22752\r\h[13]。（2）混沌系統(tǒng)的隨機性源自其對初始值的極端敏感性，這導致體系內(nèi)部局部表現(xiàn)出不穩(wěn)定的特點。這種隨機性使得混沌系統(tǒng)能夠產(chǎn)生復雜多變的序列，增加了系統(tǒng)的復雜性和不可預測性REF_Ref22752\r\h[13]。（3）混沌系統(tǒng)的確定性意味著，一旦其初始值和相關(guān)參數(shù)被確定，所生成的混沌序列也將隨之固定。這種可控制性使得混沌理論在實際應(yīng)用中具有可行性，為混沌理論在各個領(lǐng)域的應(yīng)用提供了堅實的基礎(chǔ)REF_Ref22752\r\h[13]。（4）混沌系統(tǒng)的遍歷性，意味著混沌軌跡會遍歷其所在的整個混沌區(qū)域REF_Ref22752\r\h[13]?；煦缦到y(tǒng)的判斷（1）Lyapunov指數(shù)：Lyapunov指數(shù)是一種用來衡量動力學系統(tǒng)中軌跡敏感依賴于初始條件的指標。該定義詳細闡釋了相空間中相鄰軌跡的指數(shù)級差異增長率。當系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)呈現(xiàn)正值時，這明確表示系統(tǒng)的軌跡在相空間中將呈現(xiàn)出迅速的分離趨勢。換言之，正的Lyapunov指數(shù)是系統(tǒng)軌跡在相空間中快速分散的明確標志，表現(xiàn)出高度的敏感依賴于初始條件，這是混沌系統(tǒng)的典型特征REF_Ref22912\r\h[14]。（2）Poincaré截面：Poincaré截面是一種在相空間中選擇一個維度較低的子空間，用來觀察系統(tǒng)軌跡的方法。通過在該子空間上繪制系統(tǒng)軌跡的交點，可以形成Poincaré截面。如果這些交點呈現(xiàn)出復雜的結(jié)構(gòu)并填充了相空間，則可能表明系統(tǒng)的行為是混沌的。Poincaré截面有助于可視化系統(tǒng)的動態(tài)行為，尤其是對于高維系統(tǒng)REF_Ref22912\r\h[14]。（3）分形分析：分形分析是一種用來探索系統(tǒng)的空間結(jié)構(gòu)或時間序列的特征維度的方法。在分形分析中，常用的指標包括分形維數(shù)。如果系統(tǒng)的某些特性表現(xiàn)出分形特征，例如時間序列的自相似性或相空間的分形結(jié)構(gòu)，則可能表明系統(tǒng)是混沌的REF_Ref22912\r\h[14]。（4）周期性檢測：周期性檢測用于確定系統(tǒng)的行為是否具有周期性。對于混沌系統(tǒng)來說，其行為通常不具有明顯的周期性。通過分析系統(tǒng)的時間序列或相空間軌跡，可以檢測是否存在周期性結(jié)構(gòu)。如果系統(tǒng)的行為在長時間內(nèi)沒有明顯的周期性，并且對于初始條件敏感，那么可能是混沌系統(tǒng)REF_Ref22912\r\h[14]。經(jīng)典混沌系統(tǒng)的研究Brownian混沌系統(tǒng)布朗運動是一種經(jīng)典的隨機運動現(xiàn)象，也被稱為布朗運動混沌系統(tǒng)。它最初是蘇格蘭植物學家羅伯特·布朗觀察到，布朗運動的微分方程通常用隨機微分方程（StochasticDifferentialEquation，簡稱SDE）來描述REF_Ref22984\r\h[15]。布朗運動的一維SDE形式如下：dW(t)=dt其中，dW(t)表示時間t到t+dz之間的微小位移，dZ(t)是標準布朗運動的增量，滿足E[dZ(t)]=0和E[(dZ(t))2]=dt，即均值為0，方差為dt。dt這個微分方程表示布朗運動在微小時間段內(nèi)的微小位移等于標準布朗運動在同一時間段內(nèi)的增量乘以時間步長的平方根。布朗運動圖1如下：圖SEQ圖\*ARABIC1布朗運動圖Chen混沌系統(tǒng)Chen系統(tǒng)是由中國陳關(guān)容教授在1999年提出的REF_Ref23118\r\h[16]，微分方程為：dxChen系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)的微分方程非常相似，但它們的參數(shù)值和系統(tǒng)行為會有所不同。通常情況下，Chen系統(tǒng)的參數(shù)取值為a=35，b=3，c=28，這些值使得系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌行為。圖2、3展示了Chen吸引子相位圖和時序圖：圖SEQ圖\*ARABIC2Chen系統(tǒng)吸引子圖圖SEQ圖\*ARABIC3Chen系統(tǒng)時序圖Henon混沌系統(tǒng)亨農(nóng)（Henon）映射是一種經(jīng)典的二維動力學系統(tǒng)，常被用作混沌系統(tǒng)的例子。它由法國數(shù)學家米歇爾·亨農(nóng)（MichelHénon）于1976年提出REF_Ref22984\r\h[15]。亨農(nóng)映射由以下迭代方程定義：x其中a和b是系統(tǒng)的參數(shù)，xn和y為了更直觀地呈現(xiàn)這一混沌現(xiàn)象，繪制了亨農(nóng)映射的混沌吸引子圖、時序圖以及Lyapunov指數(shù)圖，分別如圖4、圖5和圖6所示。

圖SEQ圖\*ARABIC4Henon映射吸引子圖圖SEQ圖\*ARABIC5Henon映射時序圖圖SEQ圖\*ARABIC6Henon映射Lyapunov指數(shù)圖Logistc混沌系統(tǒng)Logistic混沌系統(tǒng)是一種經(jīng)典的非線性動力學系統(tǒng)，描述了種群數(shù)量隨時間演化的模型REF_Ref22984\r\h[15]。它是由Verhulst于1838年首次提出，并在20世紀70年代由RobertMay重新引入并進行了深入研究REF_Ref22984\r\h[15]。 LogisticMap的微分方程形式為：dx 其中，x是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，代表在時間t下的系統(tǒng)狀態(tài)，通常取值在[0,1]范圍內(nèi)，t是時間，a是控制參數(shù)，決定了系統(tǒng)的行為。這個參數(shù)通常稱為“生長率參數(shù)”或“收斂參數(shù)”。 Logistic混沌系統(tǒng)的相關(guān)圖形分析如下：圖7展示了其時序圖，呈現(xiàn)了系統(tǒng)隨時間變化的動態(tài)過程；圖8則呈現(xiàn)了相圖、Lyapunov指數(shù)以及吸引子圖，這些圖形共同揭示了Logistic混沌系統(tǒng)的內(nèi)在特性和行為模式。圖SEQ圖\*ARABIC7Logistic混沌系統(tǒng)的時序圖、相圖、Lyapunov指數(shù)圖SEQ圖\*ARABIC8Logistic混沌系統(tǒng)吸引子圖Lorenz混沌系統(tǒng) Lorenz系統(tǒng)的提出源于對大氣對流的簡化建模，最初由美國氣象學家EdwardLorenz在1963年在論文中介紹。這個系統(tǒng)最初被用來解釋大氣環(huán)流模型中的一些奇特現(xiàn)象，但隨后被發(fā)現(xiàn)在動力學系統(tǒng)中具有廣泛的應(yīng)用。在氣象學領(lǐng)域，Lorenz最初的動機是試圖理解大氣環(huán)流中的非線性行為REF_Ref22984\r\h[15]。他建立了一個簡化的模型，用來描述大氣中的對流現(xiàn)象。這個簡單的模型展現(xiàn)出了復雜的動力學行為，例如混沌現(xiàn)象。Lorenz系統(tǒng)的參數(shù)選擇為特定的值時，其狀態(tài)變量的演化表現(xiàn)出了敏感的特性，即微小的初始條件變化可能會導致系統(tǒng)軌跡的顯著偏離。 其微分方程組如下：dx其中x，y，z分別代表系統(tǒng)的三個狀態(tài)變量。σ，ρ，β是系統(tǒng)的參數(shù)，分別代表了流體的Prandtl數(shù)、Rayleigh數(shù)和幾何形狀因子。關(guān)于Lorenz系統(tǒng)的動態(tài)特性，我們通過繪制吸引子圖以及展示三個狀態(tài)變量隨時間的變化情況，得到了如圖9所示的結(jié)果。此外，為了更全面地揭示其動力學行為，我們還進行了三維重構(gòu)，得到了吸引子圖，如圖10所示。為了進一步量化其混沌特性，我們計算了Lorenz系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，并繪制了相應(yīng)的圖形，如圖11所示。圖SEQ圖\*ARABIC9Lorenz系統(tǒng)吸引子圖和x-y-z時間序列圖SEQ圖\*ARABIC10Lorenz三維重構(gòu)吸引子圖圖SEQ圖\*ARABIC11Lorenz系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)Rossler混沌系統(tǒng) Rossler混沌系統(tǒng)是由德國數(shù)學家OttoRossler于1976年提出的，它是一種三維動力學系統(tǒng)，具有非線性和混沌性質(zhì)REF_Ref23118\r\h[16]。這個系統(tǒng)的動力學行為由三個微分方程組成，描述了系統(tǒng)中三個狀態(tài)變量隨時間的演化。 由以下三個微分方程組成：dx在這個系統(tǒng)中，x,y,z分別是狀態(tài)變量，而a,b,c是控制參數(shù)，它們決定了系統(tǒng)的動力學行為。如圖12所示，展示了Rossler混沌系統(tǒng)的空間吸引子圖，該圖直觀地描繪了系統(tǒng)在多維空間中的動態(tài)演化過程。同時，繪制了x相序列圖，如圖13所示。圖SEQ圖\*ARABIC12Rossler混沌系統(tǒng)空間吸引子圖SEQ圖\*ARABIC13Rossler混沌系統(tǒng)x相序列DNA編碼與運算DNA編碼與解碼規(guī)則 DNA，即脫氧核糖核酸（DeoxyribonucleicAcid），是生物體內(nèi)遺傳信息的核心載體，在生物基因?qū)W領(lǐng)域具有舉足輕重的地位，該分子由四種特定的堿基構(gòu)成，分別是胞嘧啶（Cytosine）、胸腺嘧啶（Thymine）、腺嘌呤（Adenine）以及鳥嘌呤（Guanine）REF_Ref23079\r\h[17]。根據(jù)DNA堿基互補配對原則，腺嘌呤（A）與胸腺嘧啶（T）形成配對，胞嘧啶（C）與鳥嘌呤（G）則形成另一對互補配對REF_Ref23079\r\h[17]。在二進制表示法中，0和1呈現(xiàn)出一種互補關(guān)系，即00與11以及01與10各自構(gòu)成互補對REF_Ref23079\r\h[17]。鑒于此，我們可以將腺嘌呤（A）、胞嘧啶（C）、鳥嘌呤（G）、胸腺嘧啶（T）這四種堿基分別與00、01、10、11相對應(yīng)，實現(xiàn)DNA的二進制編碼。然而，根據(jù)Watson-Crick互補規(guī)則，在所有可能的24種編碼組合中，僅有8種編碼方式符合該規(guī)則REF_Ref23079\r\h[17]。這些滿足互補規(guī)則的8種編碼方式詳列于表1中。表SEQ表\*ARABIC1DNA編碼解碼方式12345678ATGC 下面，將通過具體的例子來展示表1在圖像加密過程中的應(yīng)用。假設(shè)有一幅彩色圖像，其中一個像素點的R通道值為十進制數(shù)114，其二進制形式即為01110010。依據(jù)方式2的DNA編碼規(guī)則，可以將該二進制數(shù)轉(zhuǎn)化為DNA序列CTAG。隨后，按照方式6的解碼規(guī)則，將這個DNA序列解碼回二進制數(shù)，得到的結(jié)果是00011011，進一步轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)即為27。這一過程簡單明了地展示了DNA編碼與解碼在加密中的應(yīng)用。通過這種基于DNA序列的編碼與解碼，數(shù)值發(fā)生了顯著的變化，這正是DNA編碼解碼加密技術(shù)的核心原理所在。此外，還可以利用DNA序列之間的加減法、異或和同或等運算來進一步增強加密的復雜性和安全性，從而提高圖像加密的效率和效果，可以獲得更為復雜的數(shù)字圖像加密效果。DNA運算法則 DNA的運算過程嚴格遵循特定的規(guī)則，即每兩位二進制數(shù)值對應(yīng)一位DNA堿基。鑒于存在8種符合要求的DNA編碼方式，每種編碼方式都可以擁有其獨立的運算體系?；贒NA編碼方式1的特定加法和減法運算法則，對DNA序列進行運算，并根據(jù)這些序列所代表的二進制數(shù)計算結(jié)果，得出運算后的DNA序列分別為CACT和CCCT。詳細的運算過程已在圖14中展示。圖SEQ圖\*ARABIC14DNA加法與減法運算示例 以下是基于DNA編碼方式1所對應(yīng)的DNA加法和減法運算的詳細法則，根據(jù)上述內(nèi)容可得知，具體內(nèi)容詳見表2和表3。表SEQ表\*ARABIC2DNA編碼方式1的加法運算法則+ATCGAATCGTTCGACCGATGGATC表SEQ表\*ARABIC3DNA編碼方式1的減法運算法則-ATCGAAGCTTTAGCCCTAGGGCTA 在本加密算法中，加法和減法被視為相互逆轉(zhuǎn)的運算過程，因此在進行加密和解密時，必須采用一致的DNA編碼方式。然而，對于異或和同或運算，它們的逆運算都是自身，這意味著在加密和解密過程中，可以靈活選擇不同的DNA編碼方式。具體來說，本加密算法使用與編碼方式1對應(yīng)的加法和減法運算法則進行DNA加法和減法運算，同時，在DNA異或和同或運算中，選擇采用編碼方式4和7所對應(yīng)的異或和同或運算法則。有關(guān)DNA運算法則的詳細信息可參見表4至表5。表SEQ表\*ARABIC4DNA編碼規(guī)則4的異或運算法則⊕ATCGACGATTGCTACATCGGTAGC表SEQ表\*ARABIC5DNA編碼規(guī)則7的同或運算法則?ATCGAATCGTTAGCCCGATGGCTA圖像加密技術(shù)混沌理論與密碼學的關(guān)系混沌理論與密碼學之間存在緊密且天然的聯(lián)系，其結(jié)構(gòu)特征有著諸多相似之處?；煦缦到y(tǒng)通過多次迭代將初始狀態(tài)迅速擴散至整個相空間，這種擴散和擾亂的效果與密碼系統(tǒng)中經(jīng)過多輪加密處理后的結(jié)果相類似。此外，混沌系統(tǒng)展現(xiàn)出的類隨機行為及其軌跡的不穩(wěn)定性，與密碼學中利用的偽隨機信號具有異曲同工之妙。更值得一提的是，混沌系統(tǒng)對初始值和參數(shù)的微小變化極為敏感，這種特性與密碼系統(tǒng)中追求的擴散性質(zhì)相契合，使得兩者在保障信息安全方面具有相似的應(yīng)用潛力。這些對應(yīng)關(guān)系在文獻中有詳細歸納，如表6所示。表SEQ表\*ARABIC6混沌理論與密碼學混沌系統(tǒng)密碼學描述對初始條件的極端敏感性密鑰敏感性初始條件的微小差別會帶來極大的輸出差別確定性的動態(tài)行為確定性的偽隨機性確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的類隨機行為有界遍歷性混淆輸出遵循一定的概率分布混合特性擴散明文的微小改變會影響到整個密文的改變結(jié)構(gòu)復雜性算法復雜性簡單的過程帶來極其復雜的行為混沌系統(tǒng)的獨特屬性完美契合密碼系統(tǒng)的需求，因此1989年，J.Matthews和A.Robert首次將混沌理論引入密碼學領(lǐng)域，提出了一項以變形邏輯映射為基礎(chǔ)的混沌密碼算法REF_Ref23219\r\h[18]。將混沌理論運用于密碼學領(lǐng)域，兩者相輔相成，極大地推動了混沌密碼技術(shù)的發(fā)展。常見的混沌圖像加密方法在保密通信領(lǐng)域中，Shannon率先提出了混淆與擴散兩項核心技術(shù)，為信息安全領(lǐng)域的發(fā)展奠定了基石。隨后，F(xiàn)ridrich在此基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地提出了基于置亂-擴散結(jié)構(gòu)的圖像對稱加密方法，這一方法引入了二維混沌系統(tǒng)，引發(fā)了混沌圖像加密技術(shù)的廣泛研究和應(yīng)用。加密是將明文圖像轉(zhuǎn)換為不可讀形式的正向過程，而解密則是將密文圖像還原為明文圖像的反向過程。在這個過程中，原始未加密的圖像被稱為明文圖像，而經(jīng)過加密處理后的圖像則被稱為密文圖像。這種加密解密機制有效地保護了圖像信息的機密性，成為信息安全領(lǐng)域的重要研究方向。在圖像加密系統(tǒng)中，明文圖像扮演著重要的角色，它作為輸入之一，實際上是一個由像素值構(gòu)成的二維數(shù)組。這一數(shù)組常常用P(x,y)來表示，其中x和y分別對應(yīng)圖像中像素點的行和列坐標。對于一幅尺寸為M×N的灰度圖像，其像素值可以通過Aij=P(x=i,y=j)=P(x,y)來表示，該圖像可以表示為：A=在圖像密碼系統(tǒng)中，普遍采用的是置亂-擴散結(jié)構(gòu)，這一結(jié)構(gòu)也被稱為混淆-擴散結(jié)構(gòu)，圖像加密的基本流程如圖15所示。在設(shè)計圖像加密方案時，必須遵循表7中詳細列出的設(shè)計準則?；煦缦到y(tǒng)的選擇尤為關(guān)鍵，作為密鑰流的生成器，其性能對密碼系統(tǒng)的安全性具有決定性的影響。因此，混沌系統(tǒng)在整個加密體系中占據(jù)著核心地位，其選取與運用需經(jīng)過深思熟慮，以確保加密方案的高效與安全。通常情況下，高維混沌系統(tǒng)生成的加密序列因其密鑰空間龐大而具有較高的安全性，且在轉(zhuǎn)化運用方面表現(xiàn)出極強的靈活性。然而，其運行速度相對較慢，這在一定程度上限制了其在實際應(yīng)用中的廣泛采用。與此相反，低維混沌系統(tǒng)雖然能夠以更快的速度產(chǎn)生加密序列，但由于其密鑰空間相對較小，所生成的混沌序列相對簡單，容易受到諸如非線性預測、相重構(gòu)等攻擊方式的破解。因此，在選擇混沌系統(tǒng)時，需全面權(quán)衡安全性、運行速度和靈活性等多個關(guān)鍵因素，旨在確保加密方案的整體性能達到最優(yōu)化。在設(shè)計混沌加密算法時，應(yīng)綜合考慮不同混沌系統(tǒng)的特性，并根據(jù)特定的加密對象選擇適宜的混沌系統(tǒng)，以確保所設(shè)計的算法能夠取得理想的加密效果。圖SEQ圖\*ARABIC15混沌圖像加密系統(tǒng)模型表SEQ表\*ARABIC7混沌圖像加密方案的設(shè)計準則原則內(nèi)容混沌系統(tǒng)的選擇混沌系統(tǒng)，作為生成密鑰流的關(guān)鍵組件，是加密系統(tǒng)的核心密鑰的選擇混沌系統(tǒng)的初始值和系統(tǒng)參數(shù)是密鑰的基礎(chǔ)參數(shù)，決定了密鑰空間的大小加解密算法的設(shè)計考慮安全性和加密效率的平衡算法的安全性分析直方圖分析密鑰空間相鄰像素相關(guān)性密鑰敏感性信息熵抗差分攻擊抗噪聲攻擊抗已知/選擇明文攻擊基于Lorenz混沌系統(tǒng)的密碼分析及改進系統(tǒng)改進設(shè)計思路對于每個狀態(tài)變量，將引入更多與其本身和其他變量相關(guān)的非線性項。這些非線性項將使系統(tǒng)更加復雜，引入周期性和非周期性的成分，從而增加系統(tǒng)的混沌性，如α?sin(β?x)。除了更多的非線性項外，還將引入耦合項，使得系統(tǒng)中的每個狀態(tài)變量都與其他變量發(fā)生耦合，如y?x、y?z、z?x等。這種耦合將導致系統(tǒng)的各個分量之間相互影響，從而產(chǎn)生更為復雜的行為。參數(shù)的選擇是影響系統(tǒng)行為的關(guān)鍵因素，不同的參數(shù)組合會導致系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的混沌特性調(diào)整，如調(diào)整a,b,c,k,α,β,γ的值。設(shè)計混沌系統(tǒng)動力學方程如下：dxdydz這個系統(tǒng)的方程描述了三個狀態(tài)變量x、y和z隨時間的演化，其中，a,b,c,k,α,β,γ是系統(tǒng)的參數(shù)。系統(tǒng)特征分析 在改進的混沌系統(tǒng)三維混沌吸引子狀態(tài)圖中16，三個坐標軸分別表示系統(tǒng)中的三個狀態(tài)變量（x、y和z），x、y軸的坐標范圍為-20到40，z軸的坐標范圍為0-40，觀察這個三維圖，我們可以更加直觀地了解系統(tǒng)的動態(tài)演化和狀態(tài)變量之間的復雜關(guān)系。圖16中呈現(xiàn)出復雜的、無規(guī)律的運動軌跡，可以看出該系統(tǒng)具有混沌性。圖17、18、19是混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的關(guān)系圖，橫坐標和縱坐標分別代表x-y、y-z、z-x兩個狀態(tài)變量之間吸引子的運動關(guān)系。圖中的點分布形成了特定的混沌結(jié)構(gòu)，這表明兩個狀態(tài)變量之間存在某種設(shè)定的規(guī)律。在觀察系統(tǒng)狀態(tài)變量的演化過程時，繪制圖20。在該圖中，橫軸代表時間（t），而縱軸則代表對應(yīng)狀態(tài)變量的具體數(shù)值，通過這一圖形展示，可以清晰地觀察到狀態(tài)變量隨時間的變化趨勢（x、y或z）。系統(tǒng)的動態(tài)行為和變化趨勢。曲線呈現(xiàn)出混沌性的演化和無規(guī)律的波動，展示了該系統(tǒng)復雜性較高。圖SEQ圖\*ARABIC16改進系統(tǒng)的三維混沌吸引子圖圖SEQ圖\*ARABIC17改進系統(tǒng)的x-y二維混沌吸引子圖圖SEQ圖\*ARABIC18改進系統(tǒng)的y-z二維混沌吸引子圖圖SEQ圖\*ARABIC19改進系統(tǒng)的z-x二維混沌吸引子圖圖SEQ圖\*ARABIC20改進系統(tǒng)的時序圖加密效果對比與評價以1080x970的彩色數(shù)字圖像“photo.jpg”作為加密圖片，在8GB內(nèi)存、2.11GHzCPU，64位Windows10操作系統(tǒng)下，實驗平臺為MatlabR2021a，對該混沌系統(tǒng)進行加密實驗。實驗步驟如下： （1）使用imread函數(shù)讀取“photo.jpg”，并將其轉(zhuǎn)換為一維數(shù)組，通過reshape函數(shù)將圖像數(shù)組重新構(gòu)造為一個二維矩陣，其中每一行代表圖像的一個像素，每列代表圖像的一個顏色通道（R、G、B）。 （2）針對每個顏色通道，使用混沌系統(tǒng)對其進行加密?；煦缦到y(tǒng)通過ode45函數(shù)求解常微分方程組得到。在chaos_system函數(shù)中，定義一個三維動力學系統(tǒng)，其參數(shù)包括非線性項和驅(qū)動項。在求解微分方程后，得到了一系列混沌序列，這些序列被映射到彩色圖像通道的取值范圍內(nèi)。為了使混沌序列能夠作用于圖像通道，先將其歸一化到與圖像通道取值范圍相匹配的范圍內(nèi)，隨后，將所選的混沌系統(tǒng)應(yīng)用于原始圖像通道，以實現(xiàn)對圖像數(shù)據(jù)的置亂操作。完成置亂后，再將加密后的一維數(shù)組轉(zhuǎn)換回圖像矩陣的形式，以便進行后續(xù)的處理或存儲。 （3）使用imshow函數(shù)展示原始圖像和加密后的圖像，界面呈現(xiàn)用于對比加密效果，詳見圖21，最后使用imwrite函數(shù)將加密后的圖像保存到文件中。圖SEQ圖\*ARABIC21原始圖像和加密后圖像對比

基于混沌系統(tǒng)與DNA運算的圖像加密系統(tǒng)加密算法思想為優(yōu)化加密流程，本方案創(chuàng)新性地將彩色數(shù)字圖像分解為三個二維矩陣，大幅減少時空資源消耗。隨后，對矩陣進行DNA編碼與運算，執(zhí)行加密及行列置換，最終合并通道生成彩色加密圖像。其中，超混沌系統(tǒng)生成的序列至關(guān)重要，決定各分塊的DNA編碼解碼及運算規(guī)則。特別地，Chen超混沌系統(tǒng)初始值與原始圖像緊密相關(guān)，確保加密唯一性，增強抗攻擊能力。此外，Logistic映射迭代生成三個不同混沌序列，分別用于DNA運算、行置換和列置換，顯著增強密文圖像置亂效果。加密算法流程圖如圖22所示：圖SEQ圖\*ARABIC22加密算法流程圖加密算法具體步驟該算法將彩色數(shù)字圖像I（大小為M×N）作為待加密圖像，具體的加密操作如下：將I分為R、G、B三個二維矩陣，命名為I1，I2，I為了提高算法的普適性，需要對三個矩陣進行填充，使它們的尺寸符合下面公式的要求，填充的數(shù)值設(shè)為0。mod(M,t)=0經(jīng)過填充處理的圖像尺寸被重新定義為M和N，而t代表分塊的大小，上述公式確保了矩陣能夠被精確且均勻地分割成大小為t×t的塊。因此，每個二維矩陣可以被細分為若干個圖像塊，塊的數(shù)量取決于原始圖像和所選分塊大小的匹配程度，每個二維矩陣可分為(M×N)/t獲得混沌序列的過程包括設(shè)定初值x0和參數(shù)μ，對Logistic映射進行連續(xù)迭代，得到序列ki，其中，μ設(shè)定為3.9999，初值為x其中，sum(I1(:))和sum(I2(:))是RG通道的所有位置的將序列ki將其轉(zhuǎn)換為與I1大小相同的M×N的二維矩陣，并將其值轉(zhuǎn)化為0至255的范圍內(nèi)，用于與k=mod(round(k×利用Matlab內(nèi)置的龍格-庫塔函數(shù)ode45計算Chen超混沌系統(tǒng)，得到四個長度均為(M×N)/t2的序列Xi，Yi，Zi，Hi。I1的每個數(shù)據(jù)值在0至255的范圍內(nèi)，因此可將其視為由8個bit面組成。四個初值X(0)，Y(0)，Z(0)，H(0)由下式計算得出，分別由IX(0)=sum(sum(bitand(為提高加密效率，決定I1，I2，I3相同位置的子塊由{Xi}決定；R矩陣的各子塊DNA編碼方式由{Yi}決定。將XX=mod(round(X×顯然，轉(zhuǎn)化后的序列Xi的值為1到8的隨機整數(shù)，I1，I2，I3中第??個子塊采用的DNA編碼方式是一致的，具體編碼方式根據(jù)設(shè)定的規(guī)則而定。同樣地，混沌矩陣R中第同樣考慮到加密效率，決定I1，I2，Z=mod(round(Z×規(guī)定，若Zi=0，采用加法運算；若Zi=1，采用減法運算；若Zi為增強擴散效果，除首個子塊外，其余子塊均會將當前子塊的加密結(jié)果與前一子塊進行二次DNA運算，此次運算的具體規(guī)則由特定的序列Zi所決定在完成DNA運算后，需對所得的矩陣分塊進行DNA解碼操作。此解碼過程由序列Hi獲得兩個Logistic混沌序列，分別為kx和ky。隨后，根據(jù)特定的計算公式，計算得到了初值x01x x01為待加密圖像R通道與B通道的灰度平均值，x02為G通道與B通道的灰度平均值，x01和x根據(jù)下式將序列kx和ky按降序排列，并得到其排序之前的位置序列Ux[~,三個二維矩陣在完成行列置換操作后，將被整合為一個三維矩陣，從而生成最終的密文圖像。解密算法具體步驟解密加密后的圖像需執(zhí)行一系列與加密過程完全相反的逆操作，且必須確保使用與加密時完全一致的密鑰，方能獲得準確無誤的解密圖像。這一解密過程旨在恢復原始圖像的所有信息，確保解密后的圖像與原始圖像在視覺上無任何差異。解密算法的流程如下圖23所示：圖SEQ圖\*ARABIC23解密算法流程圖現(xiàn)對大小為M×N的密文圖像I進行解密操作的簡要說明如下：將I按式（3.1）分為R、G、B三個二維矩陣，稱為I1，I2，獲得兩個Logistic混沌序列，值得注意的是，在這兩個序列的生成過程中，??統(tǒng)一設(shè)定為3.9999，以確保序列的一致性和穩(wěn)定性。兩個初值x01和x對R、G、B三個通道的矩陣進行列置換和行置換，且行列的置換順序與加密時相反。生成Logistic混沌序列ki：初值x0和參數(shù)將生成的ki利用Matlab內(nèi)置的龍格-庫塔函數(shù)ode45計算Chen超混沌系統(tǒng)，得到四個長度均為(M×N)/t2的序列Xi，Yi，Zi，Hi。X(0)，Y對矩陣進行DNA編碼。由于加密時圖像的DNA解碼方式由Hi序列決定，因此解密時也應(yīng)采用相同的H進行分塊的DNA逆運算。這一步驟的運算法則由Zi序列決定。值得注意的是，與加密過程中的運算方式相反，若加密時采用加法運算，則解密時應(yīng)采用減法運算，反之亦然。解除子塊間的關(guān)聯(lián)。為了確保解密過程的準確性，應(yīng)從最后一個子塊開始向前進行運算。解密時與前一子塊的DNA運算法則同樣由Zi序列決定，并且需要注意加減法的相互轉(zhuǎn)換，以避免信息丟失或誤解。在解除子塊關(guān)聯(lián)后，對運算后的三個二維矩陣進行DNA解碼。去除加密時為增強算法普適性而補上的0像素。這一步驟有助于恢復原始圖像的完整性和清晰度。去除零像素后，將三個矩陣合并為一個三維矩陣，即得到解密后的彩色數(shù)字圖像。實驗結(jié)果及性能分析實驗仿真結(jié)果為驗證算法的有效性，選用大小為512×512的彩色數(shù)字圖像“l(fā)ena”作為待加密目標圖片。實驗環(huán)境設(shè)定為配備8GB內(nèi)存、2.11GHzCPU的64位Windows10操作系統(tǒng)，并采用MatlabR2021a作為實驗平臺。在實驗中，特別將圖像的分塊大小設(shè)定為4×4，同時，為確保實驗的一致性，保持其他參數(shù)與先前加解密步驟中所選參數(shù)相同。實驗結(jié)果如圖24(a)-(c)所示，其中圖24(a)展示了原始圖像，圖24(b)呈現(xiàn)了經(jīng)過加密處理的密文圖像，而圖24(c)則展示了通過正確解密過程恢復出的圖像。經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，密文圖像和原始圖像在視覺上沒有任何相關(guān)性，而且進一步的數(shù)據(jù)對比顯示，它們在R、G、B三個通道上的所有數(shù)據(jù)完全相同。圖SEQ圖\*ARABIC24原始圖像、密文圖像與解密圖像直方圖分析 圖像的直方圖將橫坐標定義為0到255，縱坐標表示每個像素值在整幅圖像上出現(xiàn)的頻率。圖25(a)-(f)中，展示圖像的R、G、B三個通道在加密前后的直方圖。(a)：原始圖像R通道直方(b)：密文圖像R通道直方(c)：原始圖像G通道直方 (d)：密文圖像G通道直方(e)：原始圖像B通道直方圖 圖SEQ圖\*ARABIC25R、G、B三通道加密前后直方圖 通過觀察圖示中的直方圖，可以清晰地看到原始圖像與密文圖像在三個通道上表現(xiàn)出的顯著不同。原始圖像的三個通道直方圖呈現(xiàn)出明顯的起伏不定特征，而經(jīng)過加密處理后，密文圖像的三個通道直方圖則表現(xiàn)出平坦分布的特點，這種分布模式具有偽隨機性，有效掩蓋了原始圖像的統(tǒng)計信息。相鄰位置數(shù)值關(guān)聯(lián)性圖像抗攻擊能力的抵御能力與其相鄰位置數(shù)據(jù)值之間的關(guān)聯(lián)性存在反比關(guān)系。因此，設(shè)計一項實驗，隨機選取了圖像在水平、垂直以及對角線方向上相鄰的5000對像素點，進行了詳盡的分析。相關(guān)性系數(shù)??????的計算公式下式所示：r其中，cov(x,y)=E(x)=D(x)=在上述式子中，x和y代表相鄰位置的數(shù)據(jù)值，N表示所選取的像素點對數(shù)為5000。E(x)表示所選取像素的平均值，D(x)表示方差，而cov(x,y)表示相關(guān)函數(shù)。其中，rxy為相關(guān)性系數(shù)，其絕對值越大表示關(guān)聯(lián)性越強。表8則對比展示了"lena"原始圖像與密文圖像三個通道之間相鄰位置關(guān)聯(lián)性的一次數(shù)據(jù)值。表SEQ表\*ARABIC8原始圖像與密文圖像相鄰像素相關(guān)性對比RGBRGB從上述觀察中可以得出關(guān)鍵結(jié)論：原始圖像的R、G、B三個通道在水平、垂直和對角線方向上的相關(guān)性系數(shù)接近于1，相反，密文圖像的相關(guān)性系數(shù)接近于0。此外，對比文獻REF_Ref21717\r\h[19]中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，該表中密文圖像的相鄰像素相關(guān)性數(shù)據(jù)更低。 為了更直觀地展現(xiàn)加密前后圖像相鄰位置數(shù)據(jù)值關(guān)聯(lián)性的變化，繪制了相鄰位置數(shù)據(jù)值的相關(guān)性系數(shù)點圖。圖26(a)至圖26(f)分別呈現(xiàn)了圖像R、G、B三個通道在加密前后的水平相鄰位置數(shù)據(jù)值相關(guān)性系數(shù)點圖。通過對比這些圖表，可以清晰地觀察到明文圖像的相關(guān)性系數(shù)呈現(xiàn)出明顯的線性分布特點，這意味著相鄰像素之間存在著較強的關(guān)聯(lián)性。然而，在加密后的圖像中，這種關(guān)聯(lián)性被有效地打破，相關(guān)性數(shù)據(jù)點呈現(xiàn)出完全隨機的分布狀態(tài)。這一變化直觀地展示了加密算法在破壞圖像相鄰位置數(shù)據(jù)值關(guān)聯(lián)性方面的顯著效果，進一步證明了算法在提升圖像安全性方面的有效性。經(jīng)過對圖26中展示的六張相關(guān)性系數(shù)點圖的細致觀察，可以清晰地發(fā)現(xiàn)，明文圖像在R、G、B三個通道的水平相鄰位置數(shù)據(jù)值之間均展現(xiàn)出強烈的關(guān)聯(lián)性，這種關(guān)聯(lián)性呈現(xiàn)出明顯的線性分布特征。然而，在密文圖像中，這種關(guān)聯(lián)性幾乎完全消失，水平相鄰位置的數(shù)據(jù)值關(guān)聯(lián)性極低，其數(shù)據(jù)點在圖中呈現(xiàn)出完全隨機且無規(guī)律的分布狀態(tài)。(a)：原始圖像的R通 (b)：密文圖像的R通(c)：原始圖像的G通 (d)：密文圖像的G通(e)：原始圖像的B通 (f)：密文圖像的B通圖SEQ圖\*ARABIC26R、G、B三通道加密前后水平相鄰位置數(shù)據(jù)值關(guān)聯(lián)性圖在圖27(a)-(f)和圖28(a)-(f)中，分別展示了圖像在R、G、B三個通道中，加密前后在垂直和對角線方向上相鄰位置數(shù)據(jù)值的相關(guān)性系數(shù)點圖。(a)：原始圖像的R通 (b)：密文圖像的R通(c)：原始圖像的G通 (d)：密文圖像的G通(e)：原始圖像的B通 (f)：密文圖像的B通圖SEQ圖\*ARABIC27R、G、B三通道加密前后垂直相鄰位置數(shù)據(jù)值關(guān)聯(lián)性圖(a)：原始圖像的R通 (b)：密文圖像的R通(c)：原始圖像的G通 (d)：密文圖像的G通(e)：原始圖像的B通 (f)：密文圖像的B通圖SEQ圖\*ARABIC28R、G、B三通道加密前后對角線相鄰位置數(shù)據(jù)值關(guān)聯(lián)性圖從上述三組圖片可以觀察到，密文圖像在水平、垂直以及對角線各個方向上，其相鄰位置數(shù)據(jù)值之間的分布均展現(xiàn)出無關(guān)聯(lián)性的特點。這充分說明了所采用的加密算法對原始圖像的像素點數(shù)值和位置進行了全面而有效的改變與打亂。因此，密文圖像具備了較強的抗攻擊能力，能夠有效地抵御各種潛在的攻擊和破解嘗試?？乖肼曅阅転榱巳嬖u估所使用算法對噪聲的抵御能力，針對密文圖像的R、G、B三個通道分別引入了不同強度的高斯噪聲，以模擬實際場景中通道噪聲可能產(chǎn)生的各種影響。圖29(a)-(d)展示了在添加了均方差分別為5、10、15和20的高斯噪聲后解密得到的圖像。從這些圖像中可以觀察到，隨著噪聲均方差的增加，圖像質(zhì)量逐漸降低。盡管如此，在高噪聲情況下，仍然能夠從圖像中辨別出原始圖像的主要信息。 圖SEQ圖\*ARABIC29加入不同的高斯噪聲得到的解密結(jié)果圖像質(zhì)量評價為了準確衡量圖像質(zhì)量，依據(jù)理論公式，通過精確計算的方式對圖像的特性進行深入考察。這一評價過程旨在提供圖像與參考圖像之間偏差的準確數(shù)值，從而為圖像質(zhì)量的客觀評估提供有力支持。在圖像質(zhì)量評價中，峰值信噪比（PSNR）和均方誤差（MSE）是兩種比較常見的指標REF_Ref24450\r\h[20]。假設(shè)待評價的圖像F和參考圖像R的尺寸相同，均為M×N，則均方誤差MSE的計算方法如下所示：MSE=峰值信噪比PSNR的計算方法下式所示：PSNR=10lg向密文圖像中添加了從0到100、間隔為5的不同程度的高斯噪聲，并獲得了相應(yīng)的解密圖像。隨后，分析了這些解密圖像的MSE和PSNR值。具體而言，MSE值與圖像質(zhì)量成反比，即MSE值越小，圖像質(zhì)量越高；而PSNR值與圖像質(zhì)量成正比，PSNR值越大，圖像質(zhì)量越好。圖30(a)-(c)分別展示了R、G、B通道的高斯噪聲方差與MSE之間的曲線關(guān)系，圖30(d)-(f)則呈現(xiàn)了這三個通道的高斯噪聲方差與PSNR之間的曲線關(guān)系。這些曲線圖提供了直觀而全面的視角，幫助深入理解密文圖像在不同噪聲水平下的性能表現(xiàn)。通過對下述圖表的細致觀察，可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：隨著高斯噪聲方差從0逐漸增大至40的過程中，MSE值呈現(xiàn)出迅速上升的趨勢，而PSNR值則迅速下降。這一變化表明，隨著噪聲水平的增加，解密圖像與原始圖像之間的差異在逐漸擴大。當高斯噪聲方差超過40后，MSE和PSNR的變化趨勢開始變得平緩，這意味著，隨著噪聲方差的進一步增大，解密圖像與原始圖像之間的差異基本不變。(a)：R通道的高斯噪聲方差-MSE曲線圖(b)：G通道的高斯噪聲方差-MSE曲線圖(c)：B通道的高斯噪聲方差-MSE曲線圖(d)：R通道的高斯噪聲方差-PSNR曲線圖(e)：G通道的高斯噪聲方差-PSNR曲線圖(f)：B通道的高斯噪聲方差-PSNR曲線圖圖SEQ圖\*ARABIC30R、G、B三通道加入高斯噪聲后的MSE與PSNR曲線圖基于上述仿真實驗的結(jié)果，可以得出如下結(jié)論：在圖像傳輸過程中，當高斯噪聲的均方差處于較低水平時，該加密算法展現(xiàn)出了出色的抗噪聲能力，能夠有效地保護圖像數(shù)據(jù)免受噪聲干擾。然而，隨著傳輸環(huán)境中噪聲的增大，該加密算法在抵御噪聲對圖像數(shù)據(jù)的影響方面表現(xiàn)出一定的局限性。因此，在噪聲較大的傳輸環(huán)境下，需要進一步研究并優(yōu)化加密算法，以提高其抗噪聲能力，確保圖像數(shù)據(jù)的完整性和準確性。信息熵在圖像處理領(lǐng)域，信息熵作為一個重要的度量指標，被廣泛應(yīng)用于衡量圖像像素值的混亂程度。它不僅能夠反映圖像的信息量和隨機性，而且對于評估圖像加密算法的效果具有顯著意義。具體而言，信息熵的數(shù)學定義如下式所示：H(x)=?其中，p(xi)表示圖像中灰度值為xi所占的比例，2N表示圖像的灰度級。如果一幅圖像的灰度級是M，則Hmax=log2表SEQ表\*ARABIC9原始圖像與密文圖像信息熵對比RGB從表9的數(shù)據(jù)分析中可以觀察到，密文圖像在紅色、綠色和藍色三個通道的信息熵與其對應(yīng)的理論最大信息熵8非常接近。因此，該加密算法能夠有效地抵御基于圖像信息熵的攻擊。密鑰敏感性與容量分析在加密系統(tǒng)中，密鑰的微小變化可能導致解密圖像與原始圖像之間完全失去相關(guān)性，這種性質(zhì)被稱為密鑰敏感性。為了評估算法對密鑰敏感性的程度，在解密過程中微調(diào)其中一個密鑰的值，并觀察其對解密結(jié)果的影響。圖31展示了當加密“l(fā)ena”圖像時，將其中一個密鑰X(0)的值從加密時的0.4953微調(diào)至解密時的0.4953000000000001所產(chǎn)生的錯誤密鑰下的解密圖像。圖SEQ圖\*ARABIC31“l(fā)ena”密鑰發(fā)生微小改變時解密圖像觀察到密鑰變化的范圍僅為10-16，解密后的圖像與原始圖像毫無關(guān)聯(lián)，這充分顯示了該算法對于密鑰的極端敏感性。即使是在解密過程中對密鑰進行微小的調(diào)整，也會導致解密結(jié)果與原始圖像徹底脫節(jié)。此外，該算法擁有龐大的密鑰空間，足以有效抵御窮舉密鑰攻擊。以“l(fā)ena”圖像為例，當密鑰錯誤時，解密圖像的紅、綠、藍三個通道的直方圖如圖32(a)-(c)所示。觀察到盡管密鑰錯誤，解密后的圖像直方圖依然展現(xiàn)出平坦分布的特征，這種特性使得算法能夠完全抵御統(tǒng)計攻擊。(a)：R圖SEQ圖\*ARABIC32密鑰錯誤時解密圖像的直方圖經(jīng)過上述實驗結(jié)果的分析，可以得出以下結(jié)論：該加密算法展現(xiàn)出了極高的密鑰敏感性，從而能夠有效地抵御窮舉攻擊。當對加密算法中的其他密鑰進行變動時，同樣能夠觀察到類似的抵抗效果。

總結(jié)與展望總結(jié)本研究聚焦于基于混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密算法。經(jīng)過對相關(guān)文獻的綜合研究，本文針對圖像加密領(lǐng)域提出了一種新型的混沌系統(tǒng)，并對另一以混沌系統(tǒng)為核心的圖像加密算法進行了改進和優(yōu)化。最終，我們進行了詳盡的仿真實驗和性能測試，以驗證所提出方法的有效性和優(yōu)越性。一種新型的混沌系統(tǒng)是基于傳統(tǒng)Lorenz系統(tǒng)的改進，其設(shè)計思路包括：引入更多的非線性項：對于每個狀態(tài)變量，都引入了與其本身和其他變量相關(guān)的非線性項，如α?sin(β?x)。這樣的非線性項使得系統(tǒng)更加復雜，引入了周期性和非周期性的成分。引入耦合項：系統(tǒng)中的每個狀態(tài)變量都與其他變量發(fā)生耦合，如y?x、y?z、z?x等。這種耦合使得系統(tǒng)的各個分量之間相互影響，導致更為復雜的行為。選擇參數(shù)：參數(shù)的選擇是影響系統(tǒng)行為的關(guān)鍵因素。不同的參數(shù)組合會導致系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的混沌特性。在這里，參數(shù)的選擇涉及到調(diào)整a,b,c,k,α,β,γ的值，以獲得期望的混沌行為。另一種加密算法結(jié)合了Chen超混沌系統(tǒng)、Logistic混沌系統(tǒng)以及DNA編碼運算解碼技術(shù)，專門用于彩色數(shù)字圖像的分塊加密。其核心機制在于將待加密圖像與Logistic混沌矩陣進行分塊處理，并應(yīng)用DNA編碼技術(shù)。隨后，通過DNA運算和解碼操作作用于相同位置的圖像塊，生成加密后的圖像。在此過程中，Chen超混沌系統(tǒng)生成的混沌序列發(fā)揮著關(guān)鍵作用，它決定了圖像塊的DNA編碼方式、運算規(guī)則以及解碼流程。針對該算法，進行了以下主要改進：通過引入一個Chen超混沌系統(tǒng)和三個Logistic混沌系統(tǒng)，顯著增加了加密過程中的密鑰數(shù)量，使得密鑰容量達到10127數(shù)量級。這一改進極大地增強了算法的安全性，有效抵御了窮舉密鑰攻擊。擴展了DNA運算法則的種類，進一步降低了密文圖像中相鄰元素之間的相關(guān)性，使其相關(guān)性達到10-3數(shù)量級。這一改進提升了密文圖像的混亂程度，從而進一步增強了算法的安全性。為符合Shannon提出的置亂-擴散準則，加密流程中引入了兩個由Logistic系統(tǒng)生成的混沌序列。這些序列分別用于對加密后圖像的R、G、B三個通道進行行置亂和列置亂操作。此舉不僅提高了圖像加密的安全性，還顯著增強了密文圖像的抗噪聲性能，使其更能抵御外部干擾和攻擊。經(jīng)過仿真驗證，新的混沌系統(tǒng)成功完成了彩色圖像的加密過程，展現(xiàn)出優(yōu)異的加密效果。改進后的加密算法具備大密鑰容量、高密鑰敏感性、弱相鄰位置數(shù)據(jù)值關(guān)聯(lián)性、均勻分布的密文圖像直方圖、接近極限值的信息熵以及強大的抗噪聲能力等特點，使其成為數(shù)字圖像加密領(lǐng)域的理想選擇。展望本文對新型復合型混沌系統(tǒng)以及經(jīng)過改進的數(shù)字圖像加密算法進行了全面且細致的仿真測試與性能評估。實驗結(jié)果表明，算法在圖像加密效果上取得了顯著的改進，同時在安全性方面也實現(xiàn)了明顯的提升。然而，當前算法仍存在諸多不足，有待進一步深入研究與改進，以優(yōu)化其性能并提升整體加密效果。在新型混沌系統(tǒng)的改進后，只實現(xiàn)了圖像加密功能，解密效果不盡理想，因此需要考慮密鑰生成過程中的誤差積累、解密算法的設(shè)計缺陷、以及加密時采用的混沌系統(tǒng)參數(shù)與解密時不一致等劣勢。在彩色圖像加密算法中，當混沌理論與DNA編碼解碼運算相結(jié)合時，盡管此