[學習目標]1.能夠從實際問題中抽象出數(shù)學模型，然后運用正弦、余弦定理及三角函數(shù)的有關知識加以解決.2.鞏固深化解三角形實際問題的思維方法，養(yǎng)成良好的研究、探索習慣.3.進一步培養(yǎng)學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力．知識點一基線的定義在測量上，我們根據(jù)測量需要適當確定的線段叫做基線，一般地講，基線越長，測量的精確度越高．知識點二有關的幾個術語1.方位角：指以觀測者為中心，從正北方向線順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線所形成的水平角．如圖所示的θ1、θ2即表示點A和點B的方位角．故方位角的范圍是[0°，360°)．2．方向角：指以觀測者為中心，指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一種表示形式．如圖，左圖中表示北偏東30°，右圖中表示南偏西60°.思考上兩圖中的兩個方向，用方位角應表示為30°(左圖)，240°(右圖)．3．仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫做仰角；目標視線在水平視線下方時叫做俯角．如圖所示．4．視角：觀測者的兩條視線之間的夾角稱作視角．5．坡角：坡面與水平面的夾角叫坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度之比叫坡度(tanα＝eq\f(h,l))，如圖．知識點三解三角形應用題解三角形應用題時，通常都要根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解三角形，得到實際問題的解，求解的關鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．(1)解題思路(2)基本步驟運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟如下：①分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個或幾個三角形)；②建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在有關三角形中，建立一個解三角形的數(shù)學模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學模型的解；④檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解．(3)主要類型題型一測量距離問題例1(1)海上A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里答案D解析根據(jù)題意，可得右圖．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq\r(6)(海里)．(2)在某次軍事演習中，紅方為了準確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為eq\f(\r(3)a,2)的軍事基地C和D測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍方這兩支精銳部隊之間的距離．解∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∵eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，∴BC＝eq\f(\r(6),4)a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(6),4)a×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2.∴AB＝eq\f(\r(6),4)a.∴藍方這兩支精銳部隊之間的距離為eq\f(\r(6),4)a.反思與感悟求距離問題時應注意的三點(1)選定或確定所求量所在的三角形．若其他量已知，則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．(3)測量兩個不可到達的點之間的距離問題．首先把求不可到達的兩點A，B之間的距離轉(zhuǎn)化為應用余弦定理求三角形的邊長問題，然后在相關三角形中利用正弦定理計算其他邊．跟蹤訓練1如下圖，A、B兩點都在河的對岸(不可到達)，若在河岸選取相距20米的C、D兩點，測得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此時A、B兩點間的距離是多少？解由正弦定理得AC＝eq\f(20sin45°＋60°,sin[180°－30°＋45°＋60°])＝eq\f(20sin105°,sin45°)＝eq\f(20sin75,sin45°)＝10(1＋eq\r(3))(米)，BC＝eq\f(20sin45°,sin[180°－60°＋30°＋45°])＝eq\f(20sin45°,sin45°)＝20(米)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC×BCcos∠BCA)＝10eq\r(6)(米)．∴A、B兩點間的距離為10eq\r(6)米．題型二測量高度問題例2如圖所示，A、B是水平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D點是點C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山的高度為800(eq\r(3)＋1)m.反思與感悟在運用正弦定理、余弦定理解決實際問題時，通常都根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出實際問題的解．和高度有關的問題往往涉及直角三角形的求解．跟蹤訓練2(1)甲、乙兩樓相距a，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是________．答案eq\r(3)a，eq\f(2\r(3),3)a解析甲樓的高為atan60°＝eq\r(3)a，乙樓的高為eq\r(3)a－atan30°＝eq\r(3)a－eq\f(\r(3),3)a＝eq\f(2\r(3),3)a.(2)如圖，地平面上有一旗桿OP，為了測得它的高度h，在地面上選一基線AB，AB＝20m，在A點處測得P點仰角∠OAP＝30°，在B點處測得P點的仰角∠OBP＝45°，又測得∠AOB＝60°，求旗桿的高度h.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)解在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.∴OA＝OP·eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)h.在Rt△BOP中，∠OBP＝45°，∴OB＝OP·eq\f(1,tan45°)＝h.在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OB·cos60°，即202＝(eq\r(3)h)2＋h2－2·eq\r(3)h·h·eq\f(1,2)，解得h2＝eq\f(400,4－\r(3))≈176.4，∴h≈13m.題型三測量角度問題例3如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(eq\r(3)－1)海里的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10eq\r(3)海里/時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/時的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間．解設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(eq\r(3)－1)2＋22－2(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝eq\r(6).又∵eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sinA,BC)＝eq\f(2·sin120°,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，又∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，∴B點在C點的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，∴sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2).又∵∠BCD∈(0°，90°)，∴∠BCD＝30°，∴緝私船沿北偏東60°的方向行駛．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq\r(6).∴t＝eq\f(\r(6),10)小時≈15分鐘．∴緝私船應沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘．反思與感悟航海問題是解三角形應用問題中的一類很重要的問題，解決這類問題一定要搞清方位角，再就是選擇好不動點，然后根據(jù)條件，畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為三角形問題．跟蹤訓練3甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距anmile，乙船向正北方向行駛．若甲船的速度是乙船速度的eq\r(3)倍，問甲船應沿什么方向前進才能最快追上乙船？相遇時乙船行駛了多少nmile?解如圖所示，設兩船在C處相遇，并設∠CAB＝θ，乙船行駛距離BC為xnmile，則AC＝eq\r(3)x，由正弦定理得sinθ＝eq\f(BC·sin120°,AC)＝eq\f(1,2)，而θ<60°，∴θ＝30°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝a2＋a2－2a2(－eq\f(1,2))＝3a2，∴AC＝eq\r(3)a，BC＝a，∴甲船應沿北偏東30°方向前進才能最快追上乙船，兩船相遇時乙船行駛了anmile.1．在某測量中，設A在B的南偏東34°27′，則B在A的()A．北偏西34°27′ B．北偏東55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′答案A解析由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.2．一艘船上午9∶30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10∶00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是________海里/小時．()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2)) B．8(eq\r(6)－eq\r(2))C．16(eq\r(6)＋eq\r(2)) D．16(eq\r(6)－eq\r(2))答案D解析由題意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))，因此此船的航速為eq\f(8\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/小時)．3.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東5°B．北偏西10°C．南偏東5°D．南偏西10°答案B解析由題意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，從而可知燈塔A在燈塔B的北偏西10°.4．我艦在島A南偏西50°相距12海里的B處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島A沿北偏西10°的方向以每小時10海里的速度航行，若我艦要用2小時追上敵艦，則速度為________海里/小時．答案14解析由題可得右圖．不妨設我艦追上敵艦時在C點．則AC＝20，∠BAC＝120°，AB＝12，∴BC2＝122＋202－2·12·20·cos120°＝282，∴BC＝28，∴速度v＝eq\f(28,2)＝14(海里/小時)．5.如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)C.eq\r(3)－1D.eq\r(2)－1答案C解析在△ABC中，由正弦定理eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(AC,sin135°)，∴AC＝100eq\r(2).在△ADC中，eq\f(AC,sinθ＋90°)＝eq\f(CD,sin15°)，∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝eq\f(AC·sin15°,CD)＝eq\r(3)－1.6.2012年10月29日，颶風“桑迪”襲擊美國東部，如圖，在災區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救犬從A處沿正北方向行進xm到達B處發(fā)現(xiàn)一個生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，行進10m到達C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點，那么x＝________m.答案eq\f(10\r(6),3)解析由題意∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∵eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin60°)，∴x＝eq\f(10\r(6),3)(m)．1．正弦、余弦定理在實際測量中的應用的一般步驟：(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解