第06講二次根式運(yùn)算與分母有理化應(yīng)用（3知識(shí)點(diǎn)+6大核心考點(diǎn)+過關(guān)測(cè)）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01：二次根式的加法和減法1.法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．2.步驟：①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．3.合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．知識(shí)點(diǎn)02：二次根式的乘法和除法知識(shí)點(diǎn)03：分母有理化1.分母有理化：把分母中的根號(hào)化去的過程稱為分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號(hào).2.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘如果它們的積不含有二次根式，那么就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式?！绢}型1二次根式的加減運(yùn)算】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減運(yùn)算【分析】本題考查二次根式的加減運(yùn)算，先化簡(jiǎn)各式，再合并同類二次根式即可．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減運(yùn)算【分析】此題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．把二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式后，再合并即可．【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、同類二次根式、二次根式的加減運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，合并同類二次根式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．利用二次根式的性質(zhì)先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后再合并同類二次根式即可．【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式的加減運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式的加減計(jì)算，先化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減運(yùn)算、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查二次根式的加減混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減運(yùn)算．先化為最簡(jiǎn)二次根式，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則，進(jìn)行運(yùn)算即可求解．【題型2二次根式乘除運(yùn)算】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、二次根式的乘法【例22】化簡(jiǎn)：【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算、二次根式的除法、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查了二次根式乘的除法及二次根式的化簡(jiǎn)．（1）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（3）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【例23】計(jì)算：(2)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的除法、二次根式的乘法【分析】（1）根據(jù)二次乘法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次除法法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)二次乘法法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)二次除法法則計(jì)算即可．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，先計(jì)算二次根式的乘法，然后將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則、運(yùn)算順序及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式乘除混合運(yùn)算法則．根據(jù)二次根式乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．．【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算順序與運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計(jì)算，根據(jù)二次根式的乘除法計(jì)算法則求解即可．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)二次根式的乘除計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算求解即可．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、二次根式的乘除混合運(yùn)算、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查二次根式乘除混合運(yùn)算，涉及二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式被開方式非負(fù)、二次根式乘法運(yùn)算法則及二次根式除法運(yùn)算法則等，熟練掌握二次根式性質(zhì)及乘除運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次根式乘除運(yùn)算法則求解即可得到答案．另一種解法：【題型3分母有理化】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，二次根式的性質(zhì)，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，結(jié)合分母有理化性質(zhì)化簡(jiǎn)，再運(yùn)用加減，即可作答．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、分母有理化【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化進(jìn)行計(jì)算即可．．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，二次根式的性質(zhì)，先根據(jù)分母有理化，二次根式的乘法、二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再運(yùn)算加減，即可作答．．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)以及二次根式的混合運(yùn)算，將原式正確化簡(jiǎn)是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)將原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【題型4二次根式化簡(jiǎn)求值】【知識(shí)點(diǎn)】分式化簡(jiǎn)求值、已知字母的值，化簡(jiǎn)求值【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，先根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)，再代入字母的值進(jìn)行計(jì)算即可求解．【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算、已知字母的值，化簡(jiǎn)求值【分析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式和平方差公式，首先根據(jù)完全平方公式和平方差公式化簡(jiǎn)，然后利用二次根式的混合運(yùn)算法則求解，最后代數(shù)求解即可．【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，化簡(jiǎn)求值、二次根式的混合運(yùn)算、絕對(duì)值非負(fù)性【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性可得、的值，將所求式子化簡(jiǎn)后代入、的值進(jìn)行計(jì)算即可.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化、已知字母的值，化簡(jiǎn)求值【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，化簡(jiǎn)求值【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，化簡(jiǎn)求值【分析】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確化簡(jiǎn)代數(shù)式是解題關(guān)鍵．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知條件式，化簡(jiǎn)求值、通過對(duì)完全平方公式變形求值【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知條件式，化簡(jiǎn)求值、分母有理化、通過對(duì)完全平方公式變形求值【題型5比較二次根式的大小】【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、比較二次根式的大小、分母有理化【分析】本題考查解一元一次不等式，二次根式的分母有理化，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式，二次根式分母有理化．先移項(xiàng)，然后系數(shù)化為1，然后分母有理化，即可．【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化、求一元一次不等式的解集【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用，解不等式，根據(jù)解一元一次不等式的步驟求解即可．【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化、求一元一次不等式的解集【分析】本題考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次不等式的步驟：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，將系數(shù)化為．據(jù)此解答即可．也考查了分母有理化．【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、分母有理化【分析】本題考查了解一元一次不等式，分母有理化，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)化為，即可求解；掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)】比較二次根式的大小、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】觀察得代數(shù)式的被開方數(shù)的差相等，先將代數(shù)式轉(zhuǎn)變?yōu)榉质降男问剑容^分式的大小即可求解．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的大小比較，解題的關(guān)鍵是借助被開方數(shù)的差相等，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為分式的形式進(jìn)行比較．【變式55】閱讀下列解題過程，回答問題：【知識(shí)點(diǎn)】比較二次根式的大小、分母有理化【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式比較大?。海?）仿照題意求解即可；故答案為：．【題型6二次根式的應(yīng)用】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用、二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化【分析】按照移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、把系數(shù)化為1進(jìn)行求解即可．【點(diǎn)睛】本題考查了解方程，涉及二次根式的混合運(yùn)算，掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用【分析】先把方程中的根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)一元一次方程的解法解方程即可得出答案.【點(diǎn)睛】本題考查含有二次根式的一元一次方程的解法，在解題過程中需注意先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，這樣有利于計(jì)算的簡(jiǎn)便，最后的結(jié)果也必須用最簡(jiǎn)二次根式的形式表示.【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算在幾何圖形中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)．【變式63】（2223八年級(jí)上·上海青浦·期中）觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題中所給的式子進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)題中式子的驗(yàn)證過程找出規(guī)律即可．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)找規(guī)律的題目，主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，觀察時(shí)，既要注意等式的左右兩邊的關(guān)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．一、單選題1．（2425八年級(jí)上·上海浦東新·期末）下列計(jì)算正確的是（

）【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和除法法則是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的減法運(yùn)算對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的加法運(yùn)算對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．故選：B．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘法【分析】本題主要考查了有理化因式．根據(jù)有理化因式的定義“兩個(gè)根式相乘的積不含根號(hào)”即可解答．故選：B．3．（2425八年級(jí)上·上?！て谥校┌咽阶臃帜赣欣砘^程中，錯(cuò)誤的是（

）【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化、平方差公式分解因式、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握式子恒等變形的方法，注意分子分母同乘或除以一個(gè)不為零的數(shù)或式子，原式的值才不變，本題據(jù)此依次判斷即可．故選：C．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、二次根式有意義的條件，掌握分式有意義的條件、二次根式有意義的條件和二次根式的乘除法公式是解決此題的關(guān)鍵．故選：C．二、填空題【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用、無理數(shù)的大小估算【分析】根據(jù)題意，先求出，然后求出S，代入公式即可求S，再根據(jù)二次根式比較大小的方法，即可求解．∵S介于整數(shù)n和之間，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，估算二次根式的值，解題的關(guān)鍵是理解題意，求出，S；掌握二次根式比較大小的方法．【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化、求一元一次不等式的解集【分析】本題主要考查了解不等式以及分母有理化，熟練掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵．不等式移項(xiàng)，然后合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，利用分母有理化求解即可．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握化簡(jiǎn)二次根式為最簡(jiǎn)二次根式．先把二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可．故答案為：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的除法【分析】此題考查了二次根式的除法，利用二次根式的除法法則計(jì)算即可．故答案為：【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘法【分析】此題考查了二次根式的乘法，利用二次根式的乘法法則計(jì)算即可．．故答案為：2．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的除法、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題主要考查二次根式的除法運(yùn)算，根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘法【分析】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算、平方差公式及積的乘方的逆用；因此此題可根據(jù)積的乘方、平方差公式及二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行求解．【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用、二次根式的應(yīng)用故答案為：8．三、解答題【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，先計(jì)算二次根式乘法和化簡(jiǎn)二次根式，再計(jì)算二次根式加減法即可．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．先計(jì)算二次根式的乘法和分母有理化，再加減求解即可．【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，涉及二次根式性質(zhì)、平方差公式等知識(shí)，首先利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，再由二次根式混合運(yùn)算求解即可得到答案．熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式混合運(yùn)算法則及平方差公式是解決問題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、求一元一次不等式的解集【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，解一元一次不等式：（1）先化簡(jiǎn)二次根式和計(jì)算二次根式除法，再計(jì)算二次根式加減法即可得到答案；（2）先化簡(jiǎn)二次根式，再按照移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解不等式即可得到答案．【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、分母有理化、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、十字相乘法【分析】本題考查了分母有理化，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，因式分解等