3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1．能用模擬方法估計(jì)事件的概率．(重點(diǎn))2．設(shè)計(jì)科學(xué)的試驗(yàn)來(lái)估計(jì)概率．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生閱讀教材P137～P139的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．[0,1]上均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生利用計(jì)算器的RAND函數(shù)可以產(chǎn)生[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，試驗(yàn)的結(jié)果是區(qū)間[0,1]內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，而且出現(xiàn)任何一個(gè)實(shí)數(shù)是等可能的，因此，可以用計(jì)算器產(chǎn)生的0到1之間的均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬．2．隨機(jī)模擬方法的基本思想是估計(jì)概率．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)數(shù)只能用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生．()(2)計(jì)算機(jī)或計(jì)算器只能產(chǎn)生[0,1]的均勻隨機(jī)數(shù)，對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果在[2,5]上的試驗(yàn)，無(wú)法用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬估計(jì)試驗(yàn)．()(3)x是[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，則利用變量代換y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)．()【答案】(1)×(2)×(3)√2．用隨機(jī)模擬方法求得某幾何概型的概率為m，其實(shí)際概率的大小為n，則()A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值【解析】隨機(jī)模擬法求其概率，只是對(duì)概率的估計(jì)．【答案】D3．在區(qū)間(10,20]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中，隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則這個(gè)實(shí)數(shù)a<13的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,7)C.eq\f(3,10) D.eq\f(7,10)【解析】∵a∈(10,13)，∴P(a<13)＝eq\f(13－10,20－10)＝eq\f(3,10).【答案】C4．在邊長(zhǎng)為2的正方形當(dāng)中，有一個(gè)封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，向該正方形中隨機(jī)撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入陰影區(qū)域內(nèi)，那么陰影區(qū)域的面積近似為____________.圖3-3-8【解析】設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，則eq\f(S,4)≈eq\f(60,100)，S≈eq\f(12,5).【答案】eq\f(12,5)[小組合作型]用隨機(jī)模擬法估計(jì)長(zhǎng)度型幾何概率取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？【精彩點(diǎn)撥】用模擬方法并進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)化求概率．【嘗試解答】法一：(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組(共N個(gè))0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND；(2)經(jīng)過(guò)伸縮變換，a＝a1*3；(3)統(tǒng)計(jì)出[1，2]內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N1；(4)計(jì)算頻率fn(A)＝eq\f(N1,N)，即為概率P(A)的近似值．法二：做一個(gè)帶有指針的圓盤，把圓周三等分，標(biāo)上刻度[0,3](這里3和0重合)．轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤記下指針指在[1,2](表示剪斷繩子位置在[1,2]范圍內(nèi))的次數(shù)N1及試驗(yàn)總次數(shù)，則fn(A)＝eq\f(N1,N)即為概率P(A)的近似值．1．用隨機(jī)數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題中事件A及基本事件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍．法二用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，這種方法可以親自動(dòng)手操作，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，試驗(yàn)次數(shù)不可能很大；法一用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果，同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù)試驗(yàn)，可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí)．2．用隨機(jī)模擬方法估計(jì)幾何概型的步驟：①確定需要產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的組數(shù)，如長(zhǎng)度、角度型只用一組，面積型需要兩組；②由基本事件空間對(duì)應(yīng)的區(qū)域確定產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍；③由事件A發(fā)生的條件確定隨機(jī)數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系式；④統(tǒng)計(jì)事件A對(duì)應(yīng)的隨機(jī)數(shù)并計(jì)算A的頻率來(lái)估計(jì)A的概率．[再練一題]1．在區(qū)間[0,3]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求該實(shí)數(shù)大于2的概率.【解】(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生n個(gè)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，x＝RAND；(2)作伸縮變換：y＝x*(3－0)，轉(zhuǎn)化為[0,3]上的均勻隨機(jī)數(shù)；(3)統(tǒng)計(jì)出[2,3]內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)m；(4)則概率P(A)的近似值為eq\f(m,n).用隨機(jī)模擬法估計(jì)面積型幾何概率如圖3-3-9，在一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的正方形內(nèi)部畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形，向大正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，求所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率．圖3-3-9【精彩點(diǎn)撥】把二維型的圖形放在一個(gè)確定的坐標(biāo)平面或者平面上，用均勻隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生兩組隨機(jī)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，或者用實(shí)物(如黃豆)計(jì)算其頻率，從而可估計(jì)概率．【嘗試解答】記事件A＝{所投點(diǎn)落入小正方形內(nèi)}．(1)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)經(jīng)過(guò)伸縮平移變換，a＝a1*3－1.5,b=b1*3－1.5,得［－1.5，1.5］上的均勻隨機(jī)數(shù).(3)統(tǒng)計(jì)落入大正方形內(nèi)點(diǎn)數(shù)N(即上述所有隨機(jī)數(shù)構(gòu)成的點(diǎn)(a，b)數(shù))及落入小正方形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1(即滿足－1<a<1且－1<b<1的點(diǎn)(a，b)數(shù))．(4)計(jì)算頻率fn(A)＝eq\f(N1,N)，即為概率P(A)的近似值．一般地，若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)連續(xù)變量如本例中的x，y來(lái)描述，用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的基本事件，利用坐標(biāo)平面能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型.[再練一題]2.如圖3-3-10，在墻上掛著一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個(gè)同心圓，半徑分別為2cm，4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時(shí)不算，可重投，問(wèn)：投中大圓內(nèi)的概率是多少？投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內(nèi)的概率是多少？投中大圓之外的概率是多少？圖3-3-10【解】記事件A＝{投中大圓內(nèi)}，事件B＝{投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內(nèi)}，事件C＝{投中大圓之外}．(1)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)a1＝RAND，b1＝RAND；(2)經(jīng)過(guò)伸縮平移變換，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到兩組[－8,8](3)統(tǒng)計(jì)投中大圓內(nèi)的次數(shù)N1(即滿足a2＋b2＜36的點(diǎn)(a，b)的個(gè)數(shù))，投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的次數(shù)N2(即滿足4＜a2＋b2＜16的點(diǎn)(a，b)的個(gè)數(shù))，投中木板的總次數(shù)N(即滿足－8＜a＜8，－8＜b＜8的點(diǎn)(a，b)的個(gè)數(shù))；(4)計(jì)算頻率fn(A)＝eq\f(N1,N)，fn(B)＝eq\f(N2,N)，fn(C)＝eq\f(N－N1,N)，即分別為概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值．利用隨機(jī)模擬試驗(yàn)估計(jì)不規(guī)則圖形的面積利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算圖3-3-11中陰影部分(曲線y＝2x與x軸、x＝±1圍成的部分)的面積．圖3-3-11【精彩點(diǎn)撥】在坐標(biāo)系中畫出正方形，用隨機(jī)模擬的方法可以求出陰影部分面積與正方形面積之比，從而求得陰影部分的近似值．【嘗試解答】(1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)進(jìn)行平移和伸縮變換，a＝a1[N1，N)，即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值．(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的次數(shù)N1(滿足條件b<2a的點(diǎn)(a，b(4)計(jì)算頻率eq\f(N1,N)，即為點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值．(5)用幾何概率公式求得點(diǎn)落在陰影部分的概率為P＝eq\f(S,4).∴eq\f(N1,N)≈eq\f(S,4).∴S＝eq\f(4N1,N)即為陰影部分面積的近似值．1．解決本題的關(guān)鍵是利用隨機(jī)模擬法和幾何概率公式分別求得幾何概率，然后通過(guò)方程求得陰影部分面積的近似值．2.eq\f(S不規(guī)則圖形,S規(guī)則圖形)＝eq\f(N1,N)，應(yīng)當(dāng)作公式記住，當(dāng)然應(yīng)理解其來(lái)歷，其中N為總的試驗(yàn)次數(shù)，N1為落在不規(guī)則圖形內(nèi)的試驗(yàn)次數(shù)．[再練一題]3．如圖3-3-12所示，在一個(gè)長(zhǎng)為4，寬為2的矩形中有一個(gè)半圓，試用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算半圓面積，并估計(jì)π的值．圖3-3-12【解】記事件A為“點(diǎn)落在半圓內(nèi)”．(1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)a1＝RAND，b1＝RAND；(2)進(jìn)行平移和伸縮變換，a＝(a1－0.5)*4，b＝b1]4－x2)的點(diǎn)(a，b)的個(gè)數(shù))；(4)計(jì)算頻率eq\f(N1,N)就是點(diǎn)落在陰影部分的概率的近似值；(5)用幾何概型公式求概率，P(A)＝eq\f(S半圓,8)，所以eq\f(S半圓,8)≈eq\f(N1,N)，即S半圓＝eq\f(8N1,N)，為半圓面積的近似值．又2π＝eq\f(8N1,N)，所以π≈eq\f(4N1,N).[探究共研型][a，b]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)探究1如何產(chǎn)生[a，b]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)？【提示】利用計(jì)算機(jī)(或計(jì)算器)產(chǎn)生[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1＝RAND，然后利用伸縮和平移變換，令x＝x1]探究2產(chǎn)生[a，b]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)時(shí)，[a，b]上的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，都是等可能的嗎？【提示】產(chǎn)生[a，b]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)時(shí)，試驗(yàn)的結(jié)果是[a，b]上的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，并且任何一個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能的．將[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a1轉(zhuǎn)化為[－2,6]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a，需實(shí)施的變換為()A．a(chǎn)＝a1*18 B.a＝a1*8+2C．a(chǎn)＝a1*82 D.a＝a1*6【精彩點(diǎn)撥】結(jié)合兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度及對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)值對(duì)a1實(shí)施變換．【嘗試解答】因?yàn)殡S機(jī)數(shù)x∈[0,1]，而基本事件都在[－2,6]上，其區(qū)間長(zhǎng)度為8，所以首先把a(bǔ)1變?yōu)?a1，又因區(qū)間左端值為－2，所以8a1再變?yōu)?a1－2，故變換公式為a＝【答案】C[再練一題]4．b1是[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，b＝3(b1－2)，則b是區(qū)間________上的均勻隨機(jī)數(shù)．【解析】0≤b1≤1，則函數(shù)b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是區(qū)間[－6，－3]上的均勻隨機(jī)數(shù)．【答案】[－6，－3]1．用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，可以解決()A．只能求幾何概型的概率，不能解決其他問(wèn)題B．不僅能求幾何概型的概率，還能計(jì)算圖形的面積C．不但能估計(jì)幾何概型的概率，還能估計(jì)圖形的面積D．最適合估計(jì)古典概型的概率【解析】很明顯用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，不但能估計(jì)幾何概型的概率，還能估計(jì)圖形的面積，但得到的是近似值，不是精確值，用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬，不適合估計(jì)古典概型的概率．【答案】C2．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1<0A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)【解析】因?yàn)?<a<1，所以事件3a－1<0，即a<eq\f(1,3)的概率是eq\f(1,3)，故選C.【答案】C3．設(shè)x是[0,1]內(nèi)的一個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)，經(jīng)過(guò)變換y＝2x＋3，則x＝eq\f(1,2)對(duì)應(yīng)變換成的均勻隨機(jī)數(shù)是()A．0 B．2C．4 D．5【解析】當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝2×eq\f(1,2)＋3＝4.【答案】C4．如圖3-3-13，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為________．圖3-3-13【解析】由題意知，這是個(gè)幾何概型問(wèn)題，eq\f(S陰,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18.∵S正＝1，∴S陰＝0.18.【答案】0.185．設(shè)有一個(gè)正方形網(wǎng)格，其中每個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)都等于6cm，現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到網(wǎng)格上，用隨機(jī)模擬方法求硬幣落下后與格線有公共點(diǎn)的概率.【解】記事件A＝{硬幣與格線有公共點(diǎn)}，設(shè)硬幣中心為B(x，y)．步驟：(1)利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生兩組0到1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，x1＝RAND，y1＝RAND.(2)經(jīng)過(guò)平移和伸縮變換，則x＝(x1－0.5)*6，y＝(y1－0.5)*6，得到兩組[－3,3]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)．(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N及硬幣與格線有公共點(diǎn)的次數(shù)N1(滿足條件|x|≥2或|y|≥2的點(diǎn)(x，y)的個(gè)數(shù))．(4)計(jì)算頻率eq\f(N1,N)，即為硬幣落下后與格線有公共點(diǎn)的概率．學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(二十一)均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．與均勻隨機(jī)數(shù)特點(diǎn)不符的是()A．它是[0,1]內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)B．它是一個(gè)隨機(jī)數(shù)C．出現(xiàn)的每一個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能的D．是隨機(jī)數(shù)的平均數(shù)【解析】A、B、C是均勻隨機(jī)數(shù)的定義，均勻隨機(jī)數(shù)的均勻是“等可能”的意思，并不是“隨機(jī)數(shù)的平均數(shù)”．【答案】D2．要產(chǎn)生[－3,3]上的均勻隨機(jī)數(shù)y，現(xiàn)有[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x，則y可取為()A．－3x B．3xC．6x－3 D．－6x－3【解析】法一：利用伸縮和平移變換進(jìn)行判斷；法二：由0≤x≤1，得－3≤6x－3≤3，故y可取6x－3.【答案】C3．歐陽(yáng)修《賣油翁》中寫到：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．若銅錢是直徑為1.5cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為0.5cm的正方形孔，若你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽略不計(jì))正好落入孔中的概率為()A.eq\f(4,9π) B.eq\f(9,4π)C.eq\f(4π,9) D.eq\f(9π,4)【解析】由題意知所求的概率為P＝eq\f(0.5×0.5,π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.5,2)))2)＝eq\f(4,9π).【答案】A4．一次試驗(yàn)：向如圖3-3-14所示的正方形中隨機(jī)撒一大把豆子，經(jīng)查數(shù)，落在正方形的豆子的總數(shù)為N粒，其中有m(m<N)粒豆子落在該正方形的內(nèi)切圓內(nèi)，以此估計(jì)圓周率π的值為()圖3-3-14A.eq\f(m,N) B.eq\f(2m,N)C.eq\f(3m,N) D.eq\f(4m,N)【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，依題意，P＝eq\f(πa2,4a2)＝eq\f(m,N)，得π＝eq\f(4m,N)，故選D.【答案】D5．若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖3-3-15所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()圖3-3-15A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,8)【解析】設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A)＝eq\f(陰影面積,長(zhǎng)方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).【答案】B二、填空題6．如圖3-3-16，矩形的長(zhǎng)為6，寬為3，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆為125顆，則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積約為________．圖3-3-16【解析】∵矩形的長(zhǎng)為6，寬為3，則S矩形＝18，∴eq\f(S陰,S矩)＝eq\f(S陰,18)＝eq\f(125,300)，∴S陰＝eq\f(15,2).【答案】eq\f(15,2)7．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則使關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a＝0無(wú)實(shí)根的概率為________.【解析】∵方程無(wú)實(shí)根，∴Δ＝1－4a<0，∴a>eq\f(1,4)，即所求概率為eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)8．如圖3-3-17，在一個(gè)兩邊長(zhǎng)分別為a，b(a＞b＞0)的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形的上、下底分別為eq\f(1,4)a與eq\f(1,2)a，高為b，向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，那么所投點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為________．圖3-3-17【解析】∵圖中梯形的面積為s＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋\f(1,2)a))×b＝eq\f(3,8)ab，矩形的面積為S＝ab，∴落在梯形內(nèi)部的概率為：P＝eq\f(s,S)＝eq\f(\f(3,8)ab,ab)＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)三、解答題9．對(duì)某人某兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行考核，每項(xiàng)指標(biāo)滿分100分，設(shè)此人每項(xiàng)得分在[0,100]上是等可能出現(xiàn)的．單項(xiàng)80分以上，且總分170分以上才合格，求他合格的概率．【解】設(shè)某人兩項(xiàng)的分?jǐn)?shù)分別為x分、y分，則0≤x≤100,0≤y≤100，某人合格的條件是80＜x≤100，80＜y≤100，x＋y＞170，在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出上述區(qū)域(如圖陰影部分所示)．由圖可知：0≤x≤100,0≤y≤100構(gòu)成的區(qū)域面積為100×100＝10000，合格條件構(gòu)成的區(qū)域面積為S五邊形BCDEF＝S矩形AB