大學(xué)數(shù)論基礎(chǔ)試題和答案

單項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.以下哪個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)?A.4B.6C.7D.9答案：C2.12和18的最大公因數(shù)是?A.3B.6C.9D.12答案：B3.模5的最小非負(fù)完全剩余系是?A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4,5C.-2,-1,0,1,2D.5,6,7,8,9答案：A4.若a≡b(modm),則下列正確的是?A.m|(a-b)B.m|(a+b)C.a=bD.a>b答案：A5.小于10的正整數(shù)中,與10互質(zhì)的數(shù)有幾個(gè)?A.2B.3C.4D.5答案：C6.同余方程2x≡4(mod6)的解是?A.x≡1(mod6)B.x≡2(mod6)C.x≡3(mod6)D.x≡4(mod6)答案：B7.36的所有正因數(shù)個(gè)數(shù)是?A.7B.8C.9D.10答案：C8.整數(shù)15被7除的余數(shù)是?A.1B.2C.3D.4答案：B9.以下哪個(gè)是歐拉函數(shù)φ(8)的值?A.2B.3C.4D.5答案：C10.若a=3,b=5,m=7,a^bmodm的值是?A.4B.5C.6D.1答案：A多項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.以下哪些數(shù)是合數(shù)?A.8B.11C.15D.19答案:AC2.與14互質(zhì)的數(shù)有?A.3B.5C.9D.11答案:ABCD3.以下屬于同余關(guān)系性質(zhì)的有?A.自反性B.對稱性C.傳遞性D.反對稱性答案:ABC4.下列哪些是20的因數(shù)?A.2B.4C.5D.10答案:ABCD5.模4的完全剩余系可以是?A.0,1,2,3B.4,5,6,7C.-2,-1,0,1D.1,2,3,4答案:AB6.關(guān)于歐拉函數(shù)φ(n),正確的有？A.φ(1)=1B.φ(p)=p-1(p為質(zhì)數(shù))C.φ(pq)=(p-1)(q-1)(p,q為不同質(zhì)數(shù))D.φ(n)一定是偶數(shù)答案:ABC7.下列哪些是不定方程3x+2y=10的整數(shù)解?A.x=2,y=2B.x=4,y=-1C.x=0,y=5D.x=-2,y=8答案:ABCD8.以下哪些數(shù)是奇數(shù)?A.3B.6C.9D.12答案:AC9.同余方程ax≡b(modm)有解的條件是?A.(a,m)|bB.(a,m)=1C.a|bD.m|b答案：A10.以下哪些屬于數(shù)論研究內(nèi)容?A.質(zhì)數(shù)分布B.同余理論C.不定方程D.函數(shù)極限答案:ABC判斷題(每題2分,共10題)1.1是質(zhì)數(shù)。(×)2.若a|b且b|a,則a=b。（×)3.模m的完全剩余系中元素個(gè)數(shù)為m。(√)4.同余方程3x≡2(mod5)有解。(×)5.兩個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)。(√)6.歐拉函數(shù)φ(12)=4。(√)7.任何正整數(shù)都可以唯一分解為質(zhì)數(shù)的乘積。(√)8.若a≡b(modm),c≡d(modm),則a+c≡b+d(modm)。（√)9.不定方程x2+y2=z2只有一組正整數(shù)解。(×)10.5與13互質(zhì)。(√）簡答題(每題5分,共4題)1.簡述質(zhì)數(shù)的定義。答案:一個(gè)大于1的自然數(shù),除了1和它自身外,不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。2.求24和36的最大公因數(shù)(需寫出計(jì)算過程)。答案：用輾轉(zhuǎn)相除法,36÷24=1……12,24÷12=2,所以24和36的最大公因數(shù)是12。3.說明同余方程ax≡b(modm)有解的充要條件。答案:同余方程ax≡b(modm)有解的充要條件是(a,m)|b,即a與m的最大公因數(shù)能整除b。4.寫出歐拉函數(shù)φ(n)的計(jì)算公式(n為正整數(shù))。答案：若\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)是n的標(biāo)準(zhǔn)分解式,則\(\varphi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})\)。討論題(每題5分,共4題)1.討論質(zhì)數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用原理。答案:在密碼學(xué)中,大質(zhì)數(shù)用于RSA等加密算法。利用兩個(gè)大質(zhì)數(shù)相乘容易,分解乘積得到原質(zhì)數(shù)困難的特點(diǎn),實(shí)現(xiàn)加密密鑰公開,解密密鑰保密,保障信息安全。2.探討同余理論在日常生活中的應(yīng)用實(shí)例。答案:如在日歷計(jì)算中,通過同余確定星期幾;在循環(huán)系統(tǒng)設(shè)計(jì),如交通信號燈循環(huán)、余數(shù)校驗(yàn)碼等方面,利用同余判斷周期和進(jìn)行錯(cuò)誤檢測。3.說說不定方程在實(shí)際問題中的體現(xiàn)及解決思路。答案:在資源分配、組合問題等實(shí)際場景中會(huì)出現(xiàn)不定方程。通常先分析方程特點(diǎn),利用整除性質(zhì)、